F(w) = G(w)*exp(jj(w))

Etude du circuit RLC série : Sujet 5
LACROIX Axel LARDET Florie
LUCACIU Sonia RAJERISON Nasiantsoa
Partie 0 : Modélisation du circuit :
Régime forcé
Régime général
Le générateur G délivre une tension sinusoïdale d’expression :
u(t)=U*cos(*t)
Le générateur et la bobine comportent les résistances :r et r’, la résistance totale du circuit sera : Rtotal=R+r+r’
On obtient le tableau suivant :
Bobine
Condensateur
Résistor
Notation réelle
d ² q (t )
di(t )
uL(t)=L*
=L*
dt ²
dt
q (t )
uC(t)=
C
dq (t )
uR(t)=(R+r+r’)*
dt
Notation complexe
uL=j*L*i
1
*i
j * C *
uR=Rtotal*i
uC=
La loi d’Ohm dans le circuit nous donne :
u(t)=uL(t)+uC(t)+uR(t)
L*
d ² q (t )
dq (t ) q (t )
+(R+r+r’)*
+
= Um*cos(*t)
dt ²
dt
C
On obtient ainsi l’équation différentielle régissant le circuit.
Partie1:Usage des impédances en régime harmonique, résolution de l’équation différentiel du circuit
Résoudre un circuit RLC série c’est déterminer l’amplitude et le déphasage de i(t) par rapport à u(t).
Pour un régime harmonique, en prenant la tension comme origine, on peut écrire : u(t)=UMcosωt et
i(t)=IMcos(ωt-φ)
On se rend compte que mathématiquement, c’est beaucoup plus facile de passer à des notations
complexes :u(t)=UMexp(jωt), dont la partie réelle,le module et l’argument ont une signification physique.
Par analogie : i(t)=IMexp(jωt-φ).Dans ce cas, l’impédance complexe Z est de la forme : Z=RT+j(Lω1/Cω) (on retrouve ||Z||=Zen notation réelle ).
Et comme (exp(jωt))’ =jωexp(jωt) et (exp(jωt-φ))’=jωexp(jωt-φ), en remplaçant dans l’équation
différentielle qui régit le circuit, on obtient rapidement :
I=U/[RT^2+(Lω-1/Cω)^2]^0.5 et
tan φ=(Lω-1/Cω)/RT
Si en plus, on est dans un régime harmonique forcé, le second membre de l’équation différentielle n’est
pas nul :ug(t)=UgMcost. En notations complexes : ug(t)=UgMexp(jt).
1
Dans ce cas, la solution de l’équation est : s=s1+s2 , où s1- solution générale de l’équation sans second
membre et s2 – la solution particulière de l’équation complète.
On s’aperçoit qu’en régime permanent (t suffisamment grand ), s1≈0 ,donc s≈s2.
Partie2 : Modélisation du signal générateur, calcul de G(et de φ(
Nous sommes bien dans le cas d’un régime harmonique forcé. La tension délivrée par le générateur basse
fréquence est sinusoïdale :définie par son amplitude et sa fréquence.
Le générateur va imposer sa fréquence au circuit, la fréquence propre du circuit prendra la valeur de la fréquence
du GBF.
On sait que si z est l’impédance totale du circuit :
u=z*i
Il existe une pulsation pour laquelle le circuit va entrer en résonance. La valeur de cette pulsation dépend des
caractéristiques des composants du circuit (inductance ,capacité). Pour cette valeur particulière l’impédance
totale du circuit va devenir minimale, on sait que :
Z=R+j*L*+
1
j * C *
On remarque que les impédances du condensateur et de la bobine sont des fonctions de la pulsation du GBF.
L’intensité du circuit va devenir maximale, comme l’impédance devient minimale :
jt
Um * e
u
Um
et i= =
de plus uc=zc*i (1) d’où Uc=
(1)
z R  j ( L  1 )
1
C *  * R ²  ( L 
)²
C
C
Pour la pulsation à la résonance, la partie imaginaire de l’impédance totale est nulle donc :
1
 la tension Uc va alors devenir maximale.
C *
Uc
On en déduit la fonction gain en tension :G(=20*log
=20*log[
U
H () =
L*
1
Uc
U
]
1
C *  * R ²  ( L 
)²
C
Si la résistance du circuit est faible, la pulsation de résonance est très proche de la pulsation pour laquelle u c sera
maximale : ’=0 , et dans ce cas G(0)=Gmax=20*log[1/(R*C*
Avec Q facteur de qualité de la bobine.
Rappel : u=z*i d’où Um*ej(*t+z*Im*ej(*t) avec i origine des phases:
1
Um
(cos( )  j sin(  )) après identification des parties réelles et complexes, on

C Im
1
1
 cond/générateur=  1
L 
L 
C

C

 tension/int=  2
obtient : tan  2 
d’où  2( )  Arc tan
R
R
1
L 
C
De (1) on tire que :  cond/générateur=-  /2-  tension/int d’où  1=-  /2- Arc tan
R
d’ où z=R+j(L
Partie3 :Variation de la tension uc(t) aux bornes du condensateur, en fonction de la pulsation
Pulsation de résonance en tension ωo’ :
Uc admet un max si (RtCω)²+(LCω²-1)² admet un minimum, c’est à dire lorsque la dérivée de ce terme
par rapport à ω s’annule. Après calcul on obtient le maximum de Uc pour : ωo’=√(1/LC-RT²/2L²).
Le maximum de Uc, appelé résonance en tension aux bornes du condensateur, il se produit pour une
pulsation ωo’ différente de ωo, pulsation de résonance en courant .
facteur de qualité Q
En général, Q détermine l’amortissement du circuit oscillant. Plus Q est faible, plus l’oscillation s’amortit
rapidement, la courbe de résonance est alors plus large et la bande passante sera grande, on dit que la résonance
est floue. A l’inverse, quand Q est grand, la résonance est aiguë.
Q est défini par le rapport de la réactance Xc ou Xl à la résonance sur la résistance totale Rt du circuit :
2
Q = Lωo / Rt ou1 / (Cωo*Rt) = √ (L/C)*1/Rt
Cas intéressant : Q>>1 ou la résistance Rt est faible.
La résonance aux bornes du condensateur a lieu pour ωo’ = ωo * ( 1- Rt² / 2L² )½ ≈ ωo : résonance en courant.
On a alors la même résonance, que ce soit en courant ou aux bornes du condensateur.
bande passante Δω
on étudie Uc = Zc* i = i /Cω
Au voisinage de la résonance, Uc= i /Cωo
Or, lors de l’analyse en intensité, la bande passante
correspondante a été obtenue pour I>Imax/√2 soit Uc =
I/Cωo >Imax/ (Cωo*√2 ) = Ucmax/√2.
On en déduit que la bande passante de la résonance aux
bornes du condensateur pour de très bonnes valeurs du
facteur de qualité Q>>1 est bien approximée par celle de la
résonance en courant, on en déduit Δω = ωo/Q.
Le facteur de qualité Q est défini
par : Q= ωo’/ ω2- ω1.
Les solutions positives de l’équation UC=Umax/ √2 :
ω1=
 2 C ( R 2 C  2 L   R 4 C 2 4 R 2 C L
2 C L
)
La bande passante est l’intervalle des
fréquences (ω1,ω2) t.q. UC>Umax/ √2.
Δω= ω2- ω1
 2 C ( R 2 C  2 L 
 R 4 C 2 4 R 2 C L )
2 C L
La tension aux bornes du condensateur peut devenir importante, il y a surtension. Il est donc nécessaire, pour ne
pas endommager le composant, que Uc<<tension de claquage du composante. Ce phénomène de surtension aux
bornes du condensateur peut être quantifié par Q. A la surtension, ω = ωo et la tension aux bornes du
condensateur est la valeur maximale Gmax = Q = Ucmax / U.
ω2 =
Illustration du circuit RLC série
Filtre passe-bas d’ordre 2
Les circuits non purement résistifs, tels que les filtres RC et RLC, possèdent la propriété de modifier le
contenu en fréquence d’un signal donné. Le rôle d’un filtre est de supprimer ou d’atténuer fortement le signal
pour certaines fréquences, et de le transmettre presque intégralement pour d’autres.
La fonction de transfert F(j), rapport du signal de sortie sur le signal d’entrée, permet de caractériser la
réponse en fréquence de ce type de circuit, par l’intermédiaire du gain G() et du déphasage () déjà décrits
précédemment. L’ensemble des courbes G(dB)=f(log()) et =f(log()) constituent le diagramme de Bode.
Pour ce filtre, F(j) s’écrit :
ZC
1
1
F(j) Us 


Ue R  ZL ZC jCω (R  jL  1 ) 1LCω² jRCω
jCω
F() = G()*exp(j())
G() est la norme de la fonction de transfert, et (= est son argument.
G()=
1
, et tan=  RC 
1 LC²
R²C²²(1LC²)²
Représentation graphique :
3
DEPHASAGE
GAIN
Ce circuit est donc un filtre passe-bas. Les fréquences inférieures à la fréquence de coupure seront
transmises, les autres seront atténuées. La fréquence de coupure est la fréquence pour laquelle le gain Gmax est
divisé par √2 en échelle linéaire, ou chute de -3dB en échelle logarithmique. Pour ce filtre, la fréquence de
coupure peut être assimilée à la fréquence propre :
fC  fo
1
2π LC
Cela signifie que la bande passante est très petite. Seule les fréquences les plus basses plus basses
pourront être transmise. Un filtre d’ordre 2 est donc plus efficace qu’un filtre d’ordre 1. En fait, il atténue de -40
dB par décade à partir de sa fréquence de coupure, alors que le filtre d’ordre 1 n’atténue que de -20 dB.
Ces filtres sont beaucoup utilisé pour le filtrage audio, mais également dans de
nombreux domaines pour éliminer le bruit.
Synthèse
On a un circuit « RLC série » sortie condensateur, fonctionnant en régime harmonique forcé.
Caractériser un circuit « RLC série » c’est trouver l’amplitude et le déphasage de i(t) par rapport à u(t).
Pour cela, on cherche les meilleures notations mathématiques pour résoudre l’équation différentielle le régissant.
La solution de l’équation différentielle du régime harmonique forcé est égale à la somme de celle
obtenue en régime général et une solution particulière, qui est la seule importante en régime permanent.
Le signal sinusoïdal générateur d’un circuit RLC a pour caractéristiques sa phase et son amplitude.
L’amplitude et le déphasage de la tension uc aux bornes du condensateur, sont des fonctions de la
pulsation d’excitation. Grâce à la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales, on peut représenter
mathématiquement l’amplitude et la phase de la tension de sortie et déduire les grandeurs G(et φ(
qui sont liées à la fonction de transfert.
La résonance en tension ωo’ peut se trouver par plusieurs moyens : avec la représentation graphique de
G(ω) et de φ(ω) ou avec les conditions sur le maximum de Uc.
On peut assimiler la pulsation de résonance en tension avec la pulsation de résonance en courant si la
résistance totale du circuit est faible.
Le facteur de surtension G(max) coïncide avec le facteur de qualité Q à la résonance en tension.
Le circuit RLC utilisé en régime harmonique est un filtre qui permet de laisser passer seulement
certaines fréquences. Sortie capacité, il s’agit d’un filtre passe-bas. Seules les fréquences inférieures à la
fréquence de coupure seront transmises. Cette fréquence de coupure est égale à la fréquence propre du circuit.
Ainsi, la bande passante est très petite, et peu de fréquences pourront franchir le filtre.
Exemple d’application:R=20 Ω, L=0,6 H, C=6 μF
Pulsation de résonnance: 527 rad*s-1
0
30
0
200
400
600
800
1000
-0,5
25
Courbe gain G(
20
-1
-1,5
15
Series1
10
-2
5
-2,5
0
0
200
400
600
800
1000
Déphasage condensateur
avec tension du générateur
φ cond/générateur 2
Série1
-3
-5
-3,5
4