Exercice 27: Pythagore, Thalès ,trigonométrie

CORRECTION Exercice 27 : Pythagore, Thalès ,trigonométrie
agrandissement
L’unité de longueur est le centimètre. Tracer un segment [AB] tel que AB = 12.
Placer le point H du segment [AB] tel que AH = 1.
Tracer ensuite un demi-cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire en H à la droite (AB).
On note C le point d’intersection de cette perpendiculaire avec le demi-cercle.
a. nature du triangle ABC
On sait que [AB] est un diamètre du cercle ( C ) et que le point C est sur ce cercle
Or si un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle alors c’est un triangle
rectangle en ce point
Donc ABC est un triangle rectangle en C
b. Exprimons de deux façons le cosinus de l’angle BÂC puis calculons AC
Dans le triangle ABC rectangle en C, exprimons cos BÂC
AC AC

Cos BÂC =
AB 12
 Dans le triangle CAH rectangle en H, exprimons cos CÂH ( CÂH = CÂB)
AH
1

Cos BÂC =
AC AC
AC
1

On en déduit
, d’où AC² = 12
12
AC
Comme AC est une longueur , on en déduit AC = 12 = 2²  3  2²  3  2 3
AC = 2 3
c . calculons la mesure arrondie au degré de l’angle BÂC.
Dans le triangle ABC rectangle en C
2 3
3

Cos BÂC =
12
6
 3
 ; BÂC  73°
BÂC = cos 1 

 6 
d ; Après avoir placé le point D de la droite (BC) tel que B, C et D soient dans cet ordre et
que CD = 6.
 Calculons la valeur exacte de la longueur AD
Dans le triangle ACD rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore
AD² = AC² + CD²
 
2
AD² = 2 3  6 2
AD² = 4  3 + 36
AD² = 12 + 36
AD² = 48
AD =

48  2 2  2 2  3  2  2  3  4 3
AD = 4 3
Calculer la mesure, en degrés, de l’angle ADC.
Dans le triangle ADC rectangle en C. utilisons le sinus de l’angle ADC
AC 2 3 1
Sin ADC =


AD 4 3 2
ADC = 30°
1
e. Après le point E du segment [AD] tel que AE = 2 et le point F du segment [AC] tel que
AEF = 30° puis
 prouvons que les droites (EF) et (DC) sont parallèles.
On sait que ADC = AEF = 30°
Ces deux angles sont construis avec deux droites (DC) et (EF) coupées par une sécante (AD) ; ils
sont donc correspondants
Or deux angles correspondants égaux déterminent des droites parallèles
Donc (DC) // (EF)

28
Calculons la longueur AF.
On sait que (DC) // (EF) ; E  [AD] et F  [AC]
Les triangles ainsi formés AEF et ADC ont leurs côtés correspondants proportionnels d’après le
théorème de Thalès d’où
AE AF EF
2
AF EF
2
AF


;
;



AD AC DC
6
4 3 2 3
4 3 2 3
On sait que
2 2 3
AF =
; AF = 1 cm
4 3
D
C
E
F
B
A
H
2