Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths Alors le degré de CHAPITRE 2 est noté f) Opération sur les degrés FONCTIONS POLYNÔMES Soient et deux fonctions polynômes non nulles. Alors : 2.1. Généralités sur les fonctions polynômes et a) Définition d’un monôme On appelle monôme de degré tout terme Le coefficient du monôme de plus haut degré le coefficient dominant de . Remarque est appelé L’inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler. Exemple pratique 1 g) Égalité de deux fonctions polynômes est un monôme Soient b) Définition d’un binôme est un binôme ou c) Définition d’un trinôme Étant donnés trois nombres réels avec On nomme fonction polynôme du second degré ou trinôme du second degré ou fonctions quadratiques, toute fonction définie sur ℝ par . Exemple pratique 3 La fonction définie par est un trinôme. d) Définition d’une fonction polynôme (plusieurs monômes) On nomme fonction polynôme ou fonction polynomiale (à coefficient réel) de degré ( , toute relation définie sur ℝ dont l’écriture peut se ramener sous la forme Copy – Writer © SAMATE L@mine / Mathematikos – Octobre 2012 La fonction définie par fonction polynôme de degré 1. deux fonctions polynômes. signifie que : On appelle binôme (ou fonction affine), toute fonction de la forme Exemple pratique 2 et et les coefficients des termes de même degré de Remarque et sont égaux 1) Les fonctions constantes fonctions polynômes de degré 0. sont des 2) La fonction est une fonction polynôme nulle. Elle n’a pas de degré. On note par convention 3) Toutes les fonctions puissances d’exposants entiers sont des fonctions polynômes de degré avec la convention de base Attention !!! -La fonction n’est pas une fonction polynôme. -La fonction polynôme est polynôme. Puisqu’après une simplification on obtient -La fonction polynôme n’est pas une fonction polynôme des réels avec Exemple pratique 4 La fonction définie par est une fonction polynôme de degré 3 ou fonctions cubiques. e) Définition du degré d’une fonction polynôme Soit une fonction polynôme non nulle, on appelle degré de et on note ou , le plus grand entier naturel tel que . NB : Il serait d’usage de confondre fonction polynôme et polynôme. 2.2. Rappel sur la forme canonique d’un trinôme Recherche de la formule Soit degré avec une fonction polynôme du second . Pour tout réel , on peut écrire Polycopié de cours –Chapitre 2 : Fonctions polynômes – 11ème Sciences – Lycée TATA Sikasso Page 8 Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths 2) Effectuer la division euclidienne du polynôme Le terme par début du développement de 2.4. Zéro ou racine d’une fonction polynôme alors a) Activité 2 en groupe de travail Alors on obtient successivement On donne la fonction . soit et le nombre réel Calculer Conclusion Cette écriture se nomme forme canonique de On dit que le réel Remarque est un zéro de b) Définition En posant On nomme zéro ou racine réelle de la fonction polynôme (à coefficient réels) le réel λ tel que . devient Exemple pratique 5 On considère la fonction polynôme Mettre . sous la forme canonique. 2.3. Division euclidienne de deux polynômes a) Activité 1 en groupe de travail 1) Effectuer les divisions suivantes : a) 15 par 5 b) 11 par 2 2) Réécrire les dividendes en fonction des diviseurs, des quotients et des restes (s’ils existent). Conclusion On dit que l’on a effectué une division euclidienne Copy – Writer © SAMATE L@mine / Mathematikos – Octobre 2012 Alors et Exemple pratique 7 Vérifier que le nombre réel polynôme Remarque er -Les fonctions polynômes du 1 degré (où et sont des réels avec ) admettent toutes un seul zéro . -Certains polynômes n’ont aucun zéros réels par exemple . -Une fonction polynôme sans zéros réels est nécessairement de signe constant. 2.5. Factorisation d’un polynôme a) Activité 3 en groupe de travail On considère la fonction polynôme de degré 3 telle que . b) Définition Étant donnés et deux polynômes à coefficients réels avec . Il existe un unique couple de polynômes à coefficient réels tels que on dit que le polynôme divise Conclusion b) Théorème 1 Étant donné un polynôme Exemple pratique 6 1) Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme Prouver que On dit que l’on a factorisé . Remarque Si est un zéro du degré . Si à coefficient réels de alors on peut factoriser . par C'est-à-dire Polycopié de cours –Chapitre 2 : Fonctions polynômes – 11ème Sciences – Lycée TATA Sikasso où est une fonction Page 9 Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths polynôme de degré . Principe de l’algorithme Remarque Le polynôme Soit le polynôme de degré 3 défini par peut aussi à son tour être factorisé. . Exemple pratique 8 Si le réel On considère le polynôme défini par que 1) Calculer L’algorithme d’Hörner donne les coefficients de 2) Trouver une factorisation de serait de degré tableau suivant : c) Théorème 2 est un zéro de alors il existe un polynôme ie tel , alors on a le Coef de 1) Un polynôme P de degré à coefficients réels possède au plus racines réelles. 2) Une fonction polynôme P de degré à coefficient réels admettant plus de (ou une infinité) de racines réelles est la fonction polynôme nulle. Coef de Exemple pratique 11 On considère le polynôme Principe de la méthode Soit un polynôme P à coefficient réels de degré a une racine réelle alors on peut factoriser par où est une fonction polynôme de degré . La détermination de revient à déterminer certains réels par indentification dont le nom de la méthode. Exemple pratique 9 Soit le polynôme a) Vérifier que b) Factoriser par la méthode des coefficients indéterminés. e) Factorisation par la Méthode de la division euclidienne Principe de la méthode a . Le quotient est un polynôme Q et le reste est nul. Ainsi est une fonction polynôme de n-1 b) Trouver une factorisation de f par la méthode de l’algorithme d’hörner. 2.6. Factorisation d’une fonction polynôme du second degré Factoriser un trinôme c’est le mettre sous forme d’un produit de binômes de degré 1. La factorisation du polynôme avec consiste à le mettre sous cette dite forme en se servent de sa forme canonique. On distingue trois suivant er 1 cas : Si ème 2 n’est pas factorisable cas : Si Alors pour tout réel , on a : Puisque , alors Soit sous forme factorisée Exemple pratique 10 Soit le polynôme défini par a) Calculer Dans ce cas Soit un polynôme P à coefficient réels de degré une racine réelle alors est divisible par où Copy – Writer © SAMATE L@mine / Mathematikos – Octobre 2012 d) Factorisation de polynôme par la méthode des coefficients indéterminés ème 3 . a) Effectuer la division euclidienne du polynôme cas Si peut s’écrire par le En se rappelant que polynôme on a soit b) En déduire une factorisation de . f) Méthode de l’algorithme de Hörner Polycopié de cours –Chapitre 2 : Fonctions polynômes – 11ème Sciences – Lycée TATA Sikasso Page 10 Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths Avec Si et admet deux zéros distincts et tels que Si Exemple pratique 12 pour tout réel 1) Factoriser les fonctions polynômes suivantes : a) pour tout réel b) , , Si c) Une formule utile Quels que soient les réels pour tout réel et , pour tout réel , , 3) Fonction polynôme de degré supérieur à 2 2.7. Signe de l’image d’un réel par une fonction polynôme Si Activité 4 en groupe de travail est un polynôme de degré 3 admettent 3 racines réelles , On considère la fonction définie par et telles que . On a le tableau : Si le coefficient dominant est positif Trouver les signes de l’image des réels suivants par a) b) c) d) e) f) Si le coefficient dominant est négatif 1) Fonctions polynôme de degré 1 Soit la fonction définie par Cette fonction s’annule pour Pour tous nombre réel et er 1 cas : Si , Pour tout , ème 2 cas : Si Pour tout Pour tout , , 2) Fonction polynôme du second degré Soit la fonction polynôme du second degré avec Pour tout nombre réel , le signe de er 1 cas : Si -Si alors pour tout réel -Si alors pour tout réel , ème 2 cas : Si -Si alors pour tout réel -Si alors pour tout réel , ème 3 est tel que : Copy – Writer © SAMATE L@mine / Mathematikos – Octobre 2012 Pour tout Pour tout réel , par rapport à la position de , et , on conclut le signe . par rapport à Exemple pratique 13 1) Soit le polynôme défini par Trouver le signe de sans calculer sa valeur. 2) On définit le polynôme de degré 3 par . On suppose que g admet les Déterminer le signe de et . . 2.8. Histoire de mathématiciens Euclide e Euclide, (III siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du plus célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les Éléments. Euclide se distingue également en théorie des nombres, démontrant notamment que l’ensemble des nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer la division avec le reste, appelée aujourd’hui division euclidienne. Horner Horner (1786 – 1837) mathématicien anglais. Il trouve un moyen rapide de factoriser les polynômes sans à faire avec la méthode des coefficients indéterminés. cas : Si Polycopié de cours –Chapitre 2 : Fonctions polynômes – 11ème Sciences – Lycée TATA Sikasso Page 11