BCPST1 – DUCOS – 2016/2017 – MATHEMATIQUES : DEVOIR DE

BCPST1 – DUCOS – 2016/2017 – MATHEMATIQUES : DEVOIR DE VACANCES
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Exercice 1 :
On définit la suite (u n) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, u n =
1 xn
0 1  x dx .
1. Calculer u 0 .
2.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n + 1 + u n =
1
.
n 1
b. En déduire la valeur exacte de u 1 .
a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la
3.
suite (u n) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
Variables
i et n sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée
Saisir n
Initialisation Affecter à u la valeur ………
Traitement
Pour i variant de 1 à ………
Affecter à u la valeur …………………
Fin de Pour
Sortie
Afficher u
b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
n
0
1
2
3
4
5
10
50
100
un
0,6931
0,3069
0,1931
0,1402
0,1098
0,0902
0,0475
0,0099
0,0050
Quelle(s) conjecture(s) concernant le comportement de la suite (u n) peut-on émettre ?
4.
a. Démontrer que la suite (u n) est décroissante.
b. Démontrer que la suite (u n) est convergente.
c. Démontrer que la suite (u n) converge vers 0.
Exercice 2 :
Soit a un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d’étudier la suite (u n) définie par :
u 0 = a et, pour tout n de N, u n + 1 = e 2 u n − e u n .
1. Etudier les variations puis déterminer le signe de la fonction g définie pour tout réel x par :
g (x) = e 2 x – e x – x .
2. Etudier le sens de variation de la suite (u n).
3. Etudier la suite (u n) dans le cas où a = 0.
4. Dans cette question, on suppose que a < 0.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n ≤ 0.
b. Démontrer que la suite (u n) est convergente.
5. Dans cette question, on suppose que a > 0.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n + 1 – u n ≥ g (a) .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n ≥ a + n ×g (a).
c. Déterminer la limite de la suite (u n).
6. Compléter la partie « Traitement » de l’algorithme suivant qui a pour but de déterminer le plus petit entier
n tel que u n > M. Dans cet algorithme a et M désignent des réels strictement positifs.
Variables
n est un entier
u et M sont deux réels
Initialisation n prend la valeur 0
Saisir la valeur de a
Saisir la valeur de M
u prend la valeur ……
Traitement
Tant que ……
……
……
Fin tant que
Sortie
Afficher n
Exercice 3 :
1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : u(x) = ln(x) + x – 3 .
Démontrer que l’équation : u(x) = 0, admet une unique solution α, comprise entre 2 et 3 ; et déterminer le
signe de u(x) en fonction de x.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln x +
2  ln x
.
x
a. Déterminer la limite de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
3. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et  la courbe
représentative de la fonction ln.
a. Etudier la position relative des courbes C et .
b. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes C et , les droites d’équations x = 1 et x = e 2 .
Exercice 4 :
Soient f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et telle que, pour tout x réel : f(x) =
et (I n) la suite définie pour tout entier naturel n par : I n =
x
x
e x
n
0 f (x) dx .
Question préliminaire : Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, e x − x ≥
1.
;
ex
.
2
a. Démontrer que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Etudier le sens de variation de la suite (I n).
2.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, I n ≤
n
0 2 x e
x
dx .
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, I n ≤ 2.
Indication : On pourra chercher à calculer la dérivée de la fonction : x  (− x − 1) e – x .
3. Montrer que la suite (I n) est convergente.
Exercice 5 :
On pose v 1 = ln(2) et considère la relation de récurrence définie pour tout n  N*, par :
v n + 1 = ln(2 – e  v n ).
1. Démontrer par récurrence que pour tout n  N*, v n est bien défini et strictement positif.
2. On peut donc ainsi définir une suite (v n) n ≥ 1 . On considère alors la suite (u n) n ≥ 1 , définie par : u n = e v n .
a. Démontrer par récurrence que pour tout n  N*, u n =
n 1
.
n
b. En déduire que la suite (v n) converge et déterminer sa limite.
3. On définit enfin la suite (S n) telle que, pour tout n  N*, S n =
n
 vk
= v1 + v2 + … + vn .
k 1
a. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S n pour une valeur
de n choisie par l’utilisateur :
Variables
n, k entiers
S, v réels
Initialisation Saisir la valeur de n
v prend la valeur ………
S prend la valeur ………
Traitement
Pour k variant de …… à …… faire
…… prend la valeur ……
…… prend la valeur ……
Fin Pour
Sortie
Afficher S
b. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de (S n). Les valeurs arrondies au dixième
sont données dans le tableau ci-dessous :
n
10
100
1000
100000 100000 1000000
Sn
2,4
4,6
6,9
9,2
11,5
13,8
Quelle(s) conjecture(s) pouvez-vous émettre quant au comportement de la suite (S n) ?
c. Démontrer que pour tout n  N* : S n = ln(n + 1), et conclure.