Cinématique - p l a f . o r g

Sciences physiques
EXERCICES
M 01
08
M01. Petit exo sur les coordonnées cartésiennes.
Un point matériel M se déplace avec une vitesse qui s'exprime dans un repère cartésien par :
v (3t² + t ; 0 ; 2 + 3t). A t = 0, il est en M0 (2, 3, 2).
1) Calculer l'accélération du point M.
2) Donner l'équation horaire de sa trajectoire.
M 02. La cinématique en s'amusant.
Soit un mouvement dont les composantes sont : x = 1 + 3 t
et
y = 1 + 4 t.
Déterminer l'équation (cartésienne) de la trajectoire, la vitesse et l'accélération (modules) du mobile.
M 03. Mouvement dans le champ de pesanteur, petite étude cinématique.
Les équations paramétriques du mouvement d'un point matériel lancé dans l'espace sont :
x = 2t
y=0
z =–5t² + 4t.
Les distances sont mesurées en mètres, les durées en secondes et l'axe Oz est vertical ascendant. On prendra t
0.
1) Donner l'équation cartésienne de la trajectoire.
2) Déterminer le vecteur vitesse du point matériel :
a) lorsque ce point passe par le sommet de la trajectoire,
b) lorsque ce point rencontre le plan z = 0,
3) Déterminer le vecteur accélération du point matériel mobile.
M 04. La cinématique c'est fantastique.
Les coordonnées cartésiennes d'une particule à l’instant t sont données par les équations suivantes, dites équations
horaires :
1) x = 1 + t
y = 1 - 2t
z = -t
y = sin t
z=0
2) x = 3 + 2t
Dans chacun des deux cas, reconnaître et tracer la trajectoire.
M 05. Oscillateur harmonique.
On donne le mouvement rectiligne sinusoïdal : x = a cos ωt + b sin ωt ; a et b constantes choisies positives pour le
raisonnement.
1) Montrer qu'il existe deux quantités A et ϕ telles qu'à tout instant t, x puisse être écrit : x = A cos (ωt + ϕ).
2) Etablir la relation entre l'abscisse x et l'accélération d'un tel mouvement.
M 06. Attention, piège !
Une particule M initialement au repos en x0 se déplace en ligne droite avec une accélération :
a=−
k
.u
x²
où x désigne l'abscisse de la particule et
u un vecteur unitaire (voir figure). k = constante.
Calculer sa vitesse au point d'abscisse x.
M 08. Coordonnées cylindriques : dérivation des vecteurs de base.
1) Dans un repère cylindrique, de quelle(s) variable(s) r, θ, ou z dépendent les vecteurs de base ?
2) Exprimer ur et uθ en fonction de u x et u y .
3) Dériver ur et uθ par rapport à θ.
4) En déduire que
duθ
dur
= θɺuθ et
= −θɺur
dt
dt
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CE RÉSULTAT EST À CONNAÎTRE
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Sciences physiques
EXERCICES
M 1509
M 09. Vitesse et accélération dans un repère cylindrique.
Montrer que pour un point de coordonnées cylindriques (r, θ, z),
ɺ z
ɺ r + rθɺuθ + zu
v = ru
et
a = (ɺɺ
r − rθɺ²)ur + ( 2rɺθɺ + rθɺɺ)uθ + ɺɺ
zuz
M 10. Vitesse dans un repère sphérique.
Montrer que pour un point de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ),
ɺ r + rθɺuθ + rϕɺ sin θ uϕ
v = ru
M 11. Accélération dans un repère de Frénet.
1) On montre que
v
duT
=
u , avec ρ : rayon de courbure de la trajectoire en M. On rappelle que v = v .uT
dt
ρ N
En
dv
v²
uT + uN
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dt
ρ
2) Que devient l'expression précédente dans le cas d'un mouvement uniforme ? dans le cas d'un mouvement
rectiligne ?
déduire que :
a=
M 12. Ça m'rappelle mon premier vélo.
Une roue circulaire (C), de rayon R, roule sans glisser sur Ox, tout en restant
dans le plan Ox, Oy (voir figure). Un point A de la roue coïncide à l'instant t =
0, avec l'origine O du repère. Le centre C a une vitesse constante v0.
1) Déterminer les coordonnées de A à l'instant t, en fonction de ϕ.
2) Calculer le module du vecteur vitesse de A en fonction de ϕ et v0, et étudier
ses variations au cours du temps. On sera amené à exprimer ϕ(t).
3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul ?
M 13. Étude d'un mouvement circulaire en coordonnées polaires.
Soit un point M se déplaçant dans le plan xOy, avec une vitesse de module variable, sur un cercle de centre O et de
rayon R, dans le sens rétrograde.
1) Calculer la vitesse et l'accélération de M en coordonnées polaires en fonction de R, θɺ et θɺɺ .
2) On introduit le vecteur rotation ω = θɺu z . Montrer que l'on a la relation :
v = ω ∧ OM
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M 14. Étude d'un mouvement circulaire en coordonnées de Frénet.
Reprendre l'énoncé précédent.
1) Exprimer la vitesse et l'accélération de M en coordonnées de Frénet en fonction de R, ω , et sa dérivée par rapport
au temps.
2) Exprimer uT et u N en fonction de ur et uθ , puis ω en fonction de θɺ , pour retrouver les expression précédentes
de la vitesse et de l'accélération de M en coordonnées polaires.
M 15. Ces bonnes vieilles poulies...
On considère un système de deux poulies reliées par une courroie
(figure). La première poulie a un rayon R1 = 5 cm et tourne à la
vitesse angulaire constante ω1 = 180 rad.s-1, la seconde a un rayon
R2.= 30 cm.
1) Calculer la vitesse angulaire de la seconde poulie.
2) La courroie porte une marque C. Calculer l'accélération du point C au cours du mouvement.
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Sciences physiques
EXERCICES
M 1624
M 16. Terre dans le référentiel géocentrique.
La Terre tourne uniformément autour de son axe. Le jour sidéral est égal à 8,616.104 s.
1) Exprimer la durée d'un jour sidéral en heures et minutes.
2) Calculer la vitesse angulaire de rotation de la Terre.
3) Trouver, en fonction de la latitude ϕ, les modules de la vitesse et de l'accélération d'un point à la surface de la
Terre.
4) Calculer ces grandeurs en un point de l'Equateur (R = 6,35.106 m). Pourquoi ne ressent-on pas les effets de cette
grande vitesse ?
M 17. Machine tournante.
Le rotor d'une machine tourne à 1 200 tr.min-1. A l'instant t = 0, Il est soumis à une accélération angulaire αɺɺ0
supposée constante qui provoque son arrêt en 300 tours.
1) Exprimer en fonction du temps la vitesse angulaire αɺ et l'angle α dont tourne le rotor à partir de l'instant t = 0.
2) Calculer la valeur de αɺɺ0 et la durée du freinage.
Rép : 30 s, -2400 tr.min-2
M 18. Tige qui glisse finit par tomber (sagesse populaire).
Une tige rectiligne AB se déplace dans un plan vertical Oxy, son extrémité A reposant sur le sol horizontal Ox et son
extrémité B s'appuyant sur un mur vertical Oy. La tige part à t = 0 d'une position verticale, et on déplace l'extrémité A
sur le sol, à la vitesse constante v0.
1) Calculer la vitesse de B à l'instant t, en fonction de v0 de t et de la longueur l de la tige.
2) Déterminer la trajectoire du point C de la tige tel que BC = b (constante). Dans quel cas cette trajectoire est-elle un
cercle (arc de cercle) ?
M 20. Calcul d'un rayon de courbure.
Un mobile M décrit une hélice circulaire d'axe Oz, définie par les équations, en coordonnées cartésiennes :
H
x = R.cosθ
y = R.sinθ
z=
θ = hθ. Le mouvement est défini par la loi θ(t) = ω.t ( ω = constante)
2π
R et h sont deux constantes.
1) Déterminer la vitesse et l'accélération du point M : vecteurs et modules. En déduire l'expression du rayon de
courbure ρ de la trajectoire. Placer v et a sur un schéma de la trajectoire.
2) Reprendre la même étude en coordonnées cylindriques.
M 23. Oscilloscope et courbes de Lissajoux.
Sur l'écran d'un oscilloscope, les coordonnées d'un électron sont : x = Acos(ωt + ϕ/2) ; y = Acos( ωt - ϕ/2) ; z = 0,
où le paramètre ϕ peut prendre diverses valeurs en fonction des tensions appliquées aux plaques de l'appareil.
1) Déterminer la trajectoire de l'électron. On aura intérêt à utiliser les coordonnées X et Y de l'électron dans le repère
XOY, dont les axes OX et OY sont à 45° respectivement des axes Ox et Oy. On donnera les équations horaires X = f(t),
Y = f(t).
2) Pour quelles valeurs de ϕ la trajectoire est-elle une droite ? un cercle ?
3) Dessiner les diverses trajectoires pour 0 ϕ 2π.
M 24. Fermat et Descartes sont dans un bateau...
Soit une plage rectiligne. Un individu se repose en A1 sur le sable, à une distance de la
mer : A1H1 = b1. Il peut courir sur la plage à la vitesse v1 et nager à la vitesse v2 < v1. Il
désire rejoindre le plus rapidement possible une bouée immobile en A2. Quel trajet
A1IA2, défini par α1 et α2, doit-il emprunter ? On posera D = H1H2.
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