Topologie des espaces métriques I ÉCOLE POLYTECHNIQUE – Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 1/1 Définition Soit X un ensemble et d : X × X → R+ . Définition On dit que d est une distance sur X si : (i) d(x, y ) = 0 si et seulement si x = y (séparation) ; (ii) ∀x, y ∈ X , d(x, y ) = d(y , x) (symétrie) ; (iii) ∀x, y , z ∈ X , d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z) (inégalité triangulaire). On dit alors que (X , d) est un espace métrique. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 2/1 Exemples Exemple : Sur tout ensemble non vide X , on peut définir la distance discrète ( 0 si x = y d(x, y ) := 1 si x = 6 y. Exemple : Soit (E , k k) un espace vectoriel normé et X ⊂ E . On peut munir X de la distance d(x, y ) := kx − y k. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 3/1 Exemple Exemple : On peut munir C (R; K) de la distance de la convergence uniforme d∞ (f , g ) := min 1, sup |f (x) − g (x)| . x∈R Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 4/1 Exemple Dém : Soient f , g , h ∈ C (R; K). Si d(f , h) = 1 ou si d(h, g ) = 1, il est clair que d(f , g ) ≤ d(f , h) + d(h, g ). Sinon, on a |f (x) − g (x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g (x)|, pour tout x ∈ R et par conséquent |f (x) − g (x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g (x)| ≤ d(f , h) + d(h, g ). x∈R x∈R et finalement, d(f , g ) ≤ d(f , h) + d(h, g ). Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 5/1 Boules ouvertes et boules fermées Si (X , d) est un espace métrique, ∀x ∈ X et ∀r > 0, on note B(x, r ) := {y ∈ X : d(x, y ) < r }, la boule ouverte Bf (x, r ) := {y ∈ X : d(x, y ) ≤ r }, la boule fermée, de centre x ∈ X et de rayon r > 0. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 6/1 Exemple Exemple : Sur Z, on considère la distance ( 0 si n=m 1 si n 6= m. d(n, m) := Pour cette distance B(n, 1/2) = Bf (n, 1/2) = {n} et Bf (n, 1) = Z, pour tout n ∈ Z. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 7/1 Exemple Exemple : Sur l’ensemble X := [0, 1[ , muni de la distance usuelle d(x, y ) := |x − y |, on vérifie que B(0, 1/2) = [0, 1/2[ , B(1/2, 1/2) = ]0, 1[ , B(1/2, 1) = [0, 1[ , et Bf (0, 1/2) = [0, 1/2] , Bf (1/2, 1/2) = [0, 1[ , Topologie des espaces métriques I Bf (1/2, 1) = [0, 1[. Frank Pacard 8/1 Topologie des espaces métriques Définition U ⊂ X est un ouvert de (X , d) si ∀x ∈ U, ∃r > 0, B(x, r ) ⊂ U. On appelle topologie associée à la métrique d l’ensemble Td constitué des ouverts de (X , d). ∅, X sont des ouverts de (X , d). Pour tout x ∈ X et r > 0, B(x, r ) est un ouvert de (X , d). Dém : Si y ∈ B(x, r ), on a |z − x| ≤ |z − y | + |y − x|, donc B(y , r − |y − x|) ⊂ B(x, r ). Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 9/1 Propriétés Proposition Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert de (X , d). Dém : Soit (Oi )i∈I une famille quelconque d’ouverts de (X , d) et x ∈ S Oi . i∈I Il existe j ∈ I tel que x ∈ Oj , qui est un ouvert. Donc, il existe r > 0 tel que [ B(x, r ) ⊂ Oj ⊂ Oi , i∈I ce qui montre que S i∈I Oi est un ouvert. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 10 / 1 Propriétés Proposition Une intersection finie d’ouverts est un ouvert de (X , d). Dém : Soit (Oi )i∈I une famille finie d’ouverts de (X , d) et x ∈ T i∈I Oi . Pour tout j ∈ I , il existe rj > 0 tel que B(x, rj ) ⊂ Oj . Notons r := mini∈I ri . La famille I est finie donc r > 0. Par construction B(x, r ) ⊂ Oi pour tout i ∈ I . Donc \ B(x, r ) ⊂ Oi , i∈I ce qui montre que T i∈I Oi est un ouvert. Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 11 / 1 Topologie des espaces métriques Définition F ⊂ X est un fermé de (X , d) si son complémentaire X − F est un ouvert de (X , d). ∅, X , sont des fermés de (X , d). Pour tout x ∈ X et r > 0, Bf (x, r ) est un fermé de (X , d). Une réunion finie de fermés est un fermé de (X , d). Une intersection quelconque de fermés est un fermé de (X , d). Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 12 / 1 Topologie des espaces métriques Attention : On considère X = R, muni de la distance usuelle. On a \ ] − 1j , 1 + 1j [ = [0, 1], j≥1 et [ [ 1j , 1 − 1j ] = ]0, 1[ , j≥2 ce qui montre qu’une intersection (réunion) quelconque d’ouverts (de fermés) n’est pas nécessairement un ouvert (un fermé). Topologie des espaces métriques I Frank Pacard 13 / 1