découverte: sinus et tangente d`un angle

C HAPITRE 4
D ÉCOUVERTE : S INUS ET TANGENTE D ’ UN ANGLE
y
A1
b
O
b
40°
b
x
B1
Sur la figure ci-dessus, les demi-droites [Ox) et [O y) forment un angle de mesure 40◦ . Le point A 1 est sur
[O y), et le point B 1 est le projeté orthogonal de A 1 sur [Ox).
1. Commencez par placer quatre points A 2 , A 3 , A 4 et A 5 un peu au hasard sur la demi-droite [O y), puis
placez leurs projetés orthogonaux sur la demi-droite [Ox) (B 2 , B 3 , B 4 et B 5 respectivement). Soyez
précis !
2. Complétez le tableau suivant : vous mesurerez les longueurs directement à la règle graduée sur la
figure, et calculerez les quotients à l’aide de votre calculatrice (en arrondissant les résultats au centième)
O Ai
OB i
Ai Bi
OB i
O Ai
Ai Bi
O Ai
Ai Bi
OB i
Pour i = 1
Pour i = 2
Pour i = 3
Pour i = 4
Pour i = 5
3. Que pensez-vous des résultats obtenus sur la quatrième colonne ? Pouvez-vous les expliquer ?
OB
4. Il est manifeste que les rapports O Ai pour i = 1, 2, 3, 4, 5 sont égaux, et la valeur de ce rapport ne
i
dépend que de l’angle entre les demi-droites [Ox) et [O y) (voir page suivante). Ces rapports sont
y. On l’obtient à la calculatrice à l’aide
égaux à un nombre que l’on appelle cosinus de l’angle xO
de la touche cos . A la calculatrice, donnez la valeur arrondie au millième de cos 40◦ ≃ . . . . . . . . . et
comparez aux quotients que vous avez trouvés dans la quatrième colonne du tableau.
3ème
Page 1/2
Activité de découverte
Voici maintenant une autre figure, presque identique à la première, si ce n’est que l’angle entre les deux
demi-droites vaut maintenant 28◦ :
y
A1
b
O
b
28°
b
x
B1
1. Comme précédemment, placez quatre points A 2 , A 3 , A 4 et A 5 un peu au hasard sur la demi-droite
[O y), puis placez leurs projetés orthogonaux sur la demi-droite [Ox) (B 2, B 3 , B 4 et B 5 respectivement),
et complétez soigneusement le tableau suivant :
O Ai
OB i
Ai Bi
OB i
O Ai
Ai Bi
O Ai
Ai Bi
OB i
Pour i = 1
Pour i = 2
Pour i = 3
Pour i = 4
Pour i = 5
2. On peut constater, comme précédemment, que les rapports de la quatrième colonne sont (presque)
égaux entre eux, et que la valeur de ces rapports est différente de ceux obtenus précédemment.
Comme seul l’angle formé par les deux demi-droites a changé, c’est que la valeur de ces rapports
ne dépend que de la mesure de cet angle ; ces rapports sont égaux au cosinus de l’angle de mesure
28◦ , qui vaut (à la calculatrice) cos 28◦ ≃ . . . . . . . . .
3. Que pensez-vous des résultats obtenus dans les deux dernières colonnes ?
A B
4. Pour chacune des deux configurations, il est manifeste que les rapports OiA i pour i = 1, 2, 3, 4, 5 sont
i
égaux, et la valeur de ce rapport ne dépend que de l’angle entre les demi-droites [Ox) et [O y). Ces

rapports sont égaux à un nombre que l’on appelle sinus de l’angle xO
y . On l’obtient à la calculatrice
à l’aide de la touche sin . A la calculatrice, donnez la valeur arrondie au millième de sin 40◦ ≃ . . . . . . . . .
et de sin 28◦ ≃ . . . . . . . . .
A B
i i
pour i =
5. Pour chacune des deux configurations, il est tout aussi manifeste que les rapports OB
i
1, 2, 3, 4, 5 sont égaux, et la valeur de ce rapport ne dépend que de l’angle entre les demi-droites [Ox)

et [O y). Ces rapports sont égaux à un nombre que l’on appelle tangente de l’angle xO
y. On l’obtient
à la calculatrice à l’aide de la touche tan . A la calculatrice, donnez la valeur arrondie au millième de
tan 40◦ ≃ . . . . . . . . . et de tan28◦ ≃ . . . . . . . . .
3ème
Page 2/2
Activité de découverte