Le Monde Perdu

II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
II. La décomposition d’un nombre entier
en facteurs (premiers)
Philippe TILLEUIL
Le Monde Perdu
S.B.P.M. — 27 août 2014
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Les critères de divisibilité
I. Les critères de divisibilité
Comment déterminer les diviseurs (premiers) d’un nombre entier naturel
N?
1. Pour commencer . . .
Il √
suffit de tester la divisibilité de N par tous les nombres premiers inférieurs
à N.
→ Intérêt d’une table de nombres premiers.
2. Les critères « bien connus »
Divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 25, 125, . . .
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Les critères de divisibilité
3. La divisibilité par 11
Il est bien connu que, par exemple 572 est un multiple de 11, parce que ( !)
5 + 2 = 7.
Et pareillement, 517 est un multiple de 11 parce que ( ! !) 5 + 7 > 10 et
4 + 7 = 11.
Quelques expérimentations sur des multiplications « écrites » par 11
permettent de se convaincre du bien-fondé de ces petits trucs. Mais il peut
être utile de disposer d’un critère général.
Question
Enoncer et démontrer un critère de divisibilité par 11, en termes de l’écriture décimale d’un
nombre entier.
Solution. L’écriture décimale du nombre en question doit être telle que la
différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des
chiffres de rang pair soit divisible par 11 (le rang étant compté à partir de
la droite). . .
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Les critères de divisibilité
4. La divisibilité par 7
Observons !
On a évidemment :
1=M ·7+1
Ensuite, par division euclidienne incomplète sur la base de numération :
10 = M · 7 + 3
102 = M · 7 + 9 = M · 7 + 2
103 = M · 7 + 6
104 = M · 7 + 4
105 = M · 7 + 12 = M · 7 + 5
106 = M · 7 + 36 = M · 7 + 1
107 = M · 7 + 24 = M · 7 + 3
108 = M · 7 + 16 = M · 7 + 2
...
Philippe TILLEUIL
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Les critères de divisibilité
Les restes se reproduisent périodiquement, et la période (sur l’exposant)
est égale à 6.
106 − 1 est a priori un multiple de 7
En effet
106 − 1 = 103 + 1 · 103 − 1
= (10 + 1) · 102 − 10 + 1 · (10 − 1) · 102 + 10 + 1
et 102 − 10 + 1 = 91 = 7 · 13.
Quel que soit l’entier naturel k : 106+k − 10k est un multiple de 7
Evident, puisque
106+k − 10k = 10k · (106 − 1)
N.B. : c’est quasiment l’idée de la preuve du « petit » théorème de Fermat. . .
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Les critères de divisibilité
Plus subtil . . . ?
102 = M · 7 + 2
103 = M · 7 + 6
104 = M · 7 + 4
105 = M · 7 + 12 = M · 7 + 5
106 = M · 7 + 36 = M · 7 + 1
107 = M · 7 + 24 = M · 7 + 3
...
Décalés de 3 (quant à l’exposant), les restes ont 7 comme somme.
Cela revient à montrer que quel que soit l’entier naturel ` : la somme
103+` + 10` est un multiple de 7. Or, comme précédemment :
103+` + 10` = 10` · (103 + 1) = 10` · (10 + 1) · 102 − 10 + 1 = etc.
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Les critères de divisibilité
Un exemple :
29436576 = M · 7 + 2 · 3 + 9 · 1 + 4 · 5 + 3 · 4 + 6 · 6 + 5 · 2 + 7 · 3 + 6 · 1
=M ·7+2·3+9·1−4·2−3·3−6·1+5·2+7·3+6·1
= M · 7 + 15 − 23 + 37 = M · 7 + 29 = M · 7 + 1
Un nombre N est divisible par 7 si, après avoir partagé N en tranches de
trois chiffres à partir de la droite et après avoir multiplié respectivement par
1, 3 et 2 les premiers, deuxièmes et troisièmes chiffres de chaque tranche,
la différence entre la somme des produits provenant des tranches de rangs
impairs et la somme des produits provenant des tranches de rangs pairs,
est divisible par 7.
Sic !
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Le « petit » théorème de Fermat
II. Le « petit » théorème de Fermat
Il permet (entre autres) de raccourcir la recherche des facteurs premiers de
« grands » nombres par rapport aux méthodes brutales décrites jusqu’ici.
1. De « grands » nombres
On va se limiter à certains nombres de la forme
an + b n
ou
an − b n
avec a, b et n des entiers naturels.
On a beaucoup de résultats numériques à leur sujet (on les signalera plus
loin) . . .
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Le « petit » théorème de Fermat
. . . Mais d’abord des formules algébriques :
a2 − b2 = (a − b) · (a + b)
a3 − b3 = (a − b) · a2 + ab + b2
a4 − b4 = (a − b) · a3 + a2 b + ab2 + b3
..
.
an+1 − bn+1 = (a − b) · an + an−1 b + an−2 b2 + · · · + abn−1 + bn
ainsi que
a2 + b 2 =
3
?
3
a + b = (a + b) · a2 − ab + b2
a4 + b 4 =
..
.
?
a2n+1 + b2n+1 = (a + b) · a2n − a2n−1 b + a2n−2 b2 + · · · − ab2n−1 + b2n
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Le « petit » théorème de Fermat
*Question*
Décomposez en facteurs premiers le nombre 260 − 1.
Solution.
260 − 1 = 230 − 1 · 230 + 1 = 215 − 1 · 215 + 1 · 230 + 1
= 25 − 1 · 210 + 25 + 1 · 25 + 1 · 210 − 25 + 1 · 230 + 1
= 31 · 7 · 151 · 3 · 11 · 3 · 331 · 230 + 1
D’autre part
230 + 1 = 210 + 1 · 220 − 210 + 1 = 1025 · 1047553 = 52 · 1047553
et
230 + 1 = 26 + 1 · 224 − 218 + 212 − 26 + 1 = 65 · 224 − · · · + 1
= 5 · 13 · 224 − · · · + 1
ce qui implique : 1047553 = 13 · 80581. Il reste à décomposer
80581 = 61 · 1321, d’où finalement :
260 − 1 = 32 · 52 · 7 · 11 · 13 · 31 · 41 · 61 · 151 · 331 · 1321
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Le « petit » théorème de Fermat
N.B. : un exemple de situation moins simple.
? Question ?
Si p est un nombre premier, quelle est la décomposition en facteurs premiers de 2p + 1 ?
Dès que p > 3 : 2p + 1 est divisible (algébriquement) par 3.
On a envie de parier. . .
2p + 1
décomposition (f.p.)
2 +1=9
25 + 1 = 33
27 + 1 = 129
211 + 1 = 2049
213 + 1 = 8193
217 + 1 = 131073
219 + 1 = 524289
32
3 · 11
3 · 43
3 · 683
3 · 2731
3 · 43691
3 · 174763
p
3
5
7
11
13
17
19
3
. . . mais on aurait tort, par exemple : 229 = 3 · 59 · 3033169 et
259 = 3 · 2833 · 37171 · 1824726041.
Etc. ?
On s’intéressera au cas de 2p − 1 un peu plus loin . . .
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2. Une conjecture de Fermat
n
22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
6
1
2 +1=3
22 + 1 = 5
24 + 1 = 17
28 + 1 = 257
16
2 + 1 = 65537
232 + 1 = 4294967297
264 + 1 = 18446744073709551617
premier ?
oui
oui
oui
oui
oui
Fermat ?
Fermat ?
Question
n
Si n est un entier naturel, le nombre 22 + 1 est-il toujours un nombre premier ?
n
Fermat conjecturait que 22 + 1 est toujours un nombre premier.
N.B. : Euler montre (avec les méthodes de Fermat) que :
232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
Le nombre 6700417 est premier ; 641 est le 116ème nombre premier.
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Le « petit » théorème de Fermat
3. Le « petit » théorème de Fermat
Théorème
Si p est un nombre premier, et a un nombre entier naturel premier avec p,
alors
p divise ap−1 − 1
De manière équivalente :
p divise ap − a
puisque a est supposé premier avec p.
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Le « petit » théorème de Fermat
Preuve 1. On démontre l’énoncé : p divise ap − a, et pour cela on
raisonne par induction.
Idée !
Si p est premier, alors le nombre entier
p i
=
p · (p − 1) · · · (p − i + 1)
i · (i − 1) · · · 2 · 1
est divisible par p dès que 1 6 i 6 p − 1.
Dès lors, si a = 2 :
p
p
p
2p − 2 = (1 + 1)p − 2 = 1 +
+
+ ··· +
+1−2
1
2
p−1
p
p
p
=
+
+ ··· +
1
2
p−1
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L’induction est basée sur la relation analogue :
(a + 1)p − (a + 1)
p
p
p
p−2
=a +a
·
+a
·
+ ··· + a ·
+ 1 − (a + 1)
1
2
p−1
p
p
p
p
p−1
p−2
= (a − a) + a
·
+a
·
+ ··· + a ·
1
2
p−1
p
p−1
N.B. : on a ainsi démontré que, si p est premier et quel que soit le nombre a
p divise ap − a
mais si a n’est pas premier avec p, on ne sait pas en déduire que p divise ap−1 − 1.
Par exemple, p = 5 divise 105 − 10, mais ne divise pas 104 − 1.
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Preuve 2. On démontre l’énoncé : p divise ap−1 − 1.
On considère les divisions euclidiennes par p des p − 1 premiers
multiples de a :
1 · a = Q1 · p + R1
avec
1 6 R1 6 p − 1
2 · a = Q2 · p + R2
..
.
avec
1 6 R2 6 p − 1
i · a = Qi · p + Ri
..
.
avec
1 6 Ri 6 p − 1
(p − 1) · a = Qp−1 · p + Rp−1
avec
1 6 Rp−1 6 p − 1
Puisque a est premier avec p, tous ces restes sont différents 2 à 2.
N.B. : 1 6 i 6 p − 1.
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On multiplie membre à membre :
1 · 2 · 3 · · · (p − 1) · ap−1 = M · p + R1 · R2 · R3 · · · Rp−1
ou
(p − 1)! · ap−1 = M · p + (p − 1)!
ou encore
(p − 1)! · ap−1 − 1 = M · p
Or p est nécessairement premier avec (p − 1)!, dès lors . . . Philippe TILLEUIL
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4. Une généralisation d’Euler du « petit » théorème de Fermat
Si n est un nombre entier naturel, on note φ(n) le nombre d’éléments dans
l’ensemble
{1, 2, . . . n − 1}
qui sont premiers avec n.
Si p est un nombre premier :
φ(p) = p − 1
et par exemple :
φ(60) = 16
puisque le sous-ensemble recherché est
{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59}
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Laquelle des deux preuves précédentes s’adapte-t-elle au mieux à la
question suivante ?
Question
Si n est un nombre entier naturel, et a un autre nombre entier naturel premier avec n,
démontrez qu’on a toujours
n divise aφ(n) − 1
Par exemple : 60 divise 7φ(60) − 1 = 716 − 1 ; par ailleurs 17 divise aussi
716 − 1, etc.
N.B. : φ(n) est pair dès que n > 3.
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Le « petit » théorème de Fermat
5. L’ordre d’un nombre entier par rapport à un nombre premier
Si p est un nombre premier, et a un nombre entier naturel premier avec p,
on étudie les restes de la division par p des puissances de a :
a0 = 0 · p + 1
a1 = q1 · p + r1
a2 = q2 · p + r2
..
.
ai = qi · p + ri
Quelle que soit la valeur de i, on a :
1 6 ri 6 p − 1
et grâce à « petit » Fermat :
rp−1 = 1
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Le « petit » théorème de Fermat
Définition. On appelle ordre de a pour le nombre premier p, et on note
ordp (a) le plus petit exposant (non nul !) de a tel que
rordp (a) = 1
De manière équivalente, c’est le plus petit exposant (non nul !) de a tel que
aordp (a) = qordp (a) · p + 1, ou encore
p divise aordp (a) − 1
Par exemple, si a = 12 et p = 11, on a ord11 (12) = 1 car 121 − 1 = 11.
Si a = 3 et p = 11, on a ord11 (3) = 5 puisque
3−1=2
32 − 1 = 8
33 − 1 = 26
34 − 1 = 80
35 − 1 = 242 = 22 · 11
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Corollaire de « petit » Fermat
Soient p un nombre premier, a un nombre entier naturel premier avec p et
n un nombre entier naturel quelconque, alors
p divise an − 1 =⇒ n est un multiple de ordp (a)
Preuve. On a
a0 = 0 · p + 1
a1 = q1 · p + r1
a2 = q2 · p + r2
..
.
ai = qi · p + ri
avec, quelle que soit la valeur de i : 1 6 ri 6 p − 1. On va démontrer que
la suite des restes se reproduit par blocs de longueur égale à ` := ordp (a).
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Le « petit » théorème de Fermat
On calcule, quelle que soit la valeur de l’exposant i :
ri+` − ri = ai+` − qi+` · p − ai − qi · p
= ai+` − ai − p · (qi+` − qi )
= ai · a` − 1 − p · (qi+` − qi )
Or, a` − 1 est — par définition de l’ordre ` — un multiple de p.
Ainsi, les restes se reproduisent effectivement par blocs de longueur égale à
` = ordp (a).
Or, si p divise an − 1 et comme
an = qn · p + rn
c’est donc que rn = 1. Dès lors, n doit être un multiple de ` = ordp (a).
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Le « petit » théorème de Fermat
6. Deux applications de la technique de Fermat
Question
Déterminez un diviseur (premier) de 237 − 1.
Solution. Si p est un nombre premier qui divise 237 − 1, alors grâce au
corollaire précédent :
ordp (2) divise 37
Donc ordp (2) = 37, puisque 37 est premier. Mais, à cause du « petit »
Fermat :
ordp (2) divise p − 1
Ainsi, 37 doit diviser p − 1 ; de manière équivalente, il existe un entier k tel
que
p = 37 · k + 1
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Le « petit » théorème de Fermat
De plus, si k est impair, p sera pair ; on peut donc se limiter à des k pairs,
de telle sorte que des diviseurs premiers de 237 − 1 doivent donc être de la
forme
p = 74 · k 0 + 1
k0
p
premier ?
diviseur de 237 − 1 ?
1
2
3
75
149
223
non
oui
oui
—
non
oui
N.B. : 237 − 1 = 223 · 616318177 et 616318177 est un nombre premier ; 223 est le 48ème
nombre premier.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Le « petit » théorème de Fermat
Question
Déterminez un diviseur (premier) de 232 + 1.
Solution (d’Euler, et non de Fermat. . . )
Si p est un nombre premier qui divise 232 + 1, alors il divise aussi
(232 + 1) · (232 − 1) = 264 − 1
Grâce au corollaire précédent :
ordp (2) divise 64
et à cause du « petit » Fermat :
ordp (2) divise p − 1
Donc, si au mieux : ordp (2) = 64, alors 64 doit diviser p − 1 ; de
manière équivalente, il doit exister un entier k tel que
p = 64 · k + 1
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Le « petit » théorème de Fermat
Il reste à tester . . .
k
p
premier ?
diviseur de 232 + 1 ?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
65
129
193
257
321
385
449
513
577
641
non
non
oui
oui
non
non
oui
non
oui
oui
—
—
non
non
—
—
non
—
non
oui !
N.B. : le 5ème essai est le bon, alors que 641 est le 116ème nombre premier.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
III. Quelques factorisations algébriques
Il est bien connu que
une expression telle que x 2 + y 2 n’est pas algébriquement
décomposable en facteurs du 1er degré (à cœfficients dans Z ou Q,
mais . . . ),
les nombres du type x 2 + y 2 sont parfois arithmétiquement
décomposables en facteurs, par exemple : 52 + 12 = 2 · 13 alors que
62 + 12 = 37 est premier.
A fortiori pour x 4 + y 4 = (x 2 )2 + (y 2 )2 .
Néanmoins, on sait parfois décomposer algébriquement ce genre
d’expression en facteurs . . .
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
*Question*
Décomposez en facteurs les expressions suivantes :
4x 4 + 1, ou plus généralement 4x 4 + y 4 ;
27x 6 + 1, ou plus généralement 27x 6 + y 6 .
L’utilisation de ce genre
de décomposition en
arithmétique élémentaire
est due à Léon F.-A.
Aurifeuille (1821 ou 1822
- 1882).
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
Solution.
Le cas de 4x 4 + 1
La décomposition est basée sur l’identité
X 2 + 1 = X 2 + 2X + 1 − 2X = (X + 1)2 − 2X
et le fait que 2X est un carré parfait si X = 2x 2 .
Dans ce cas, X 2 + 1 = 2x 2
2
+ 1 = 4x 4 + 1, et on a donc :
4x 4 + 1 = 2x 2 + 1
2
− 2 · 2x 2
2
− (2x)2
= 2x 2 + 2x + 1 · 2x 2 − 2x + 1
= 2x 2 + 1
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
En particulier, si x = 2n :
24n+2 + 1 = 22n+1 + 2n+1 + 1 · 22n+1 − 2n+1 + 1
Cette décomposition est beaucoup plus performante que
24n+2 + 1 = 22
2n+1
+ 1 = 22 + 1 · 24n − 24n−2 + · · · − 22 + 1
Par exemple :
n
Aurifeuillisation de 24n+2 + 1
1
2
3
4
5
26 + 1 = 65 = 13 · 5
210 + 1 = 1025 = 41 · 25
214 + 1 = 16385 = 145 · 113
218 + 1 = 262145 = 545 · 481
22
2 + 1 = 4194305 = 2113 · 1985
N.B. : 2113 est un nombre premier ; 481 = 13 · 37 et 1985 = 5 · 397.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
Le cas de 27x 6 + 1
La décomposition est basée sur l’identité
X 3 + 1 = (X + 1) X 2 − X + 1
= (X + 1) X 2 + 2X + 1 − 3X
h
i
= (X + 1) (X + 1)2 − 3X
et le fait que 3X est un carré parfait si X = 3x 2 .
Dans ce cas, X 3 + 1 = 3x 2
3
+ 1 = 27x 6 + 1, et on a donc :
i
h
2
27x 6 + 1 = 3x 2 + 1
3x 2 + 1 − 3 · 3x 2
i
h
2
= 3x 2 + 1
3x 2 + 1 − (3x)2
= 3x 2 + 1 3x 2 + 3x + 1 3x 2 − 3x + 1
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Quelques factorisations algébriques
En particulier, si x = 3n , de telle sorte que 27x 6 + 1 devient 33 · 36n + 1 :
36n+3 + 1 = 32n+1 + 1 · 32n+1 + 3n+1 + 1 · 32n+1 − 3n+1 + 1
Cette décomposition améliore
3
36n+3 + 1 = 32n+1 + 1 = 32n+1 + 1 · 34n+2 − 32n+1 + 1
et donne des facteurs de plus grande taille que
2n+1
36n+3 + 1 = 33
+ 1 = 33 + 1 · 36n − 36n−3 + · · · − 33 + 1
Par exemple :
n
Aurifeuillisation de 36n+3 + 1
1
2
3
39 + 1 = 19684 = 28 · 37 · 19
315 + 1 = 14348908 = 244 · 271 · 217
321 + 1 = 10460353204 = 2188 · 2269 · 2107
N.B. : 271 et 2269 sont des nombres premiers ; 2188 = 4 · 547 et 2107 = 72 · 43.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
Les tables, etc.
IV. Les tables, etc.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
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Les tables, etc.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
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Les tables, etc.
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
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Les tables, etc.
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