Mathématiques classe de 2nde Eléments de correction Exercice 1 : Soit f la fonction définie par f ( x ) = x² 1 + x² 1. Faire apparaître sur l’écran de votre calculatrice la courbe représentative de cette fonction 2. Pour chacune des question suivantes, conjecturer par lecture graphique, puis démontrer : a. Sur quel ensemble la fonction f est-elle définie ? b. En quel(s) point(s) sa courbe représentative coupe-t-elle l’axe des abscisses ? des ordonnées ? c. Déterminer les coordonnées du (des) point(s) de la courbe représentative de d. Le nombre réel 1 a-t-il un antécédent par f d’ordonnée 1 2 f ? Interpréter graphiquement ce résultat x , 0 ≤ f ( x) ≤ 1 4. 0 est-il un minimum de f sur ? 1 est-il un maximum de f sur ? On justifiera les réponses. 3. Montrer que, pour tout réel SOLUTION : 1. voir ci-contre 2. a. Conjecture : f est définie sur . Démonstration : pour tout réel x , x ² ≥ 0 d’où x ² + 1 ≥ 1 > 0 . Le dénominateur de ce quotient ne s’annule pas sur , donc la fonction est définie sur tout entier. b. Conjecture : la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées en un même point : l’origine du repère. Démonstration : Intersection avec l’axe des abscisses : Intersection avec l’axe des ordonnées : c. f ( x ) = 0 équivaut à x ² = 0 (car x ² + 1 ≠ 0 ), soit à x = 0 . f ( 0) = 0 . Conjecture : la courbe représentative de f a deux points d’ordonnée 1 , leurs abscisses sont 1 et 2 –1. Démonstration : on résout f ( x ) = 1 : 2 x² 1 = 1 + x² 2 2 x² = 1 + x² x² = 1 ( x + 1)( x − 1) = 0 d’où le résultat. d. Conjecture : 1 n’a pas d’antécédent par Démonstration : on résout f f ( x) = 1 : x² =1 1 + x² x² = 1 + x² 0 =1 Cette équation n’a évidemment pas de solution ! Graphiquement, cela veut dire que la courbe représentative de f n’a pas d’intersection avec la droite d’équation y = 1 : elle s’en rapproche de plus en plus sans jamais la toucher. 3. Pour tout réel x , x ² ≥ 0 et 1 + x ² > 0 donc f ( x ) ≥ 0 (quotient de deux nombres positifs). Par ailleurs, pour x² ≤ 1 , soit 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 x² + 1 4. D’après les questions 2.b et 3, on a pour tout réel x , f ( x ) ≥ 0 et f ( 0 ) = 0 , donc 0 est bien le minimum de f sur . tout réel x , x ² ≤ x ² + 1 et x ² + 1 ≠ 0 d’où x , f ( x ) ≤ 1 , mais l’équation f ( x ) = 1 n’a pas de solution (cf. 2.d) donc la valeur 1 n’est pas une valeur atteinte par f , elle n’est donc pas le minimum de f sur . Aussi, pour tout réel Exercice 2 : f la fonction définie sur par f : x x ² − 4 x + 5 , et soit P la courbe représentative de f dans un repère O, i, j . Soit ( ) Partie A : 1. Donner le tableau de variations de f en appliquant les résultats du cours 2. Démontrer ces variations après avoir vérifié que f ( x) = ( x − 2) ² +1 3. Construire P Partie B : −2 M ( x; y ) un point quelconque de P , soit le vecteur u , et soit M ' le point tel que MM ' = u . −1 1. On suppose dans cette question que l’abscisse de M vaut 4. Calculer l’ordonnée de M , puis les coordonnées de M ' , et montrer que M ' appartient à la parabole P’ d’équation y = x ² . 2. M est maintenant un point de P d’abscisse quelconque x . Reprendre les questions ci-dessus. Soit 3. Expliquer comment on peut, à partir de la parabole P’ , construire point par point la courbe P . Tracer et P’ sur un même graphique. SOLUTION : Partie A : 1. f est une fonction polynôme du second degré de la forme f ( x ) = ax ² + bx + c avec a > 0 , sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut et les coordonnées du sommet sont −b 2a ; f x f ( x) −b , soit ( 2;1) . D’où le tableau de variation : 2a −∞ 2 +∞ +∞ +∞ 1 2. On vérifie : ( x − 2 ) ² + 1 = x² − 4 x + 4 + 1 = x² − 4x + 5 = f ( x) Soient deux réels a et b tels que a ≤ b ≤ 2 , alors a−2≤b−2≤0 ( a − 2) ² ≥ (b − 2) ² ( a − 2) ² + 1 ≥ (b − 2) ² + 1 f ( a ) ≥ f (b) donc f est décroissante sur ]−∞; 2] . De même, on montre que f P est croissante sur [ 2; +∞[ . 3. Voir figure Partie B : 1. M ( 4; y ) est un point de P , donc y = f ( 4 ) = 5 , M ( 4;5 ) . Soit M ' ( x '; y ') , alors x '− 4 MM ' , or MM ' = u , d’où y '− 5 x '− 4 = −2 x ' = 2 ⇔ . Or 4 = 2² donc M ' y '− 5 = −1 y ' = 4 d’où appartient à P’ 2. M ( x; y ) est un point de P , donc y = f ( x ) = x ² − 4 x + 5 , d’où M ( x; x ² − 4 x + 5 ) . x '− x On aura donc MM ' et donc y '− x ² + 4 x − 5 x ' = x − 2 x '− x = −2 ⇔ y '− x ² + 4 x − 5 = −1 y ' = x ² − 4 x + 4 = ( x − 2 ² , donc M ' appartient à P’ M ( x; y ) de P, le point M ' tel que MM ' = u appartient à P’ , donc on peut obtenir P à partir de P’ en « déplaçant » la parabole en entier selon le vecteur −u . 3. D’après ce qui précède, pour tout point Exercice 3 : Quels sont les réels dont le triple est strictement supérieur au carré ? SOLUTION : Soit x un tel réel, son triple est 3x et son carré est x ² , donc 3x > x² 3x − x ² > 0 x (3 − x ) > 0 x −∞ x 3− x x (3 − x ) + - 0 0 0 +∞ 3 + + + 0 0 + - Les réels dont le triple est strictement supérieur au carré sont donc les réels de l’intervalle ]0;3[ Exercice 4 : Soit 1. f la fonction définie par f ( x ) = 4x − 3 x −1 Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ? 1 x −1 3. En déduire et démontrer le sens de variation de f sur ]−∞;1[ et sur ]1; +∞[ 2. Montrer que, pour tout réel x ≠ 1, f ( x) = 4 + SOLUTION : 1. On cherche la valeur qui annule le dénominateur : x − 1 = 0 ⇔ x = 1 , donc f est définie sur \ {1} x ≠ 1, 4 ( x − 1) 1 + x −1 x −1 4x − 4 +1 x −1 4x − 3 x −1 f ( x) 2. pour tout réel 4+ 1 = x −1 = = = 3. On en déduit que f est décroissante sur ]−∞;1[ et sur ]1; +∞[ . Démonstration : Soient deux réels a et b tels que a ≤ b < 1 , on a : a ≤ b <1 a −1 ≤ b −1 < 0 1 1 ≥ a −1 b −1 1 1 +4≥ +4 a −1 b −1 f ( a ) ≥ f (b ) donc f est décroissante sur ]−∞;1[ , et on démontre la même chose sur ]1; +∞[