Nombres complexes - Cours et Exercices de Mathématiques

Module et conjugué d'un nombre complexe
Nombres complexes
On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,
Définition - Propriétés
Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR
On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z.
a est la partie réelle de z, on note a = Re(z)
b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z).
Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1.
Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle
et même partie imaginaire.
le réel positif |z| =
|z| = 0 ⇔ z = 0
a2 + b 2 .
;
|zz'| = |z|.|z'|
;
|- z| = |z|
;
1 = 1
|z|
z
;

•
L'équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a # 0)
admet dans C
I deux solutions (éventuellement confondues).
Soit ∆ = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. ∆ est un nombre réel.
• si ∆ ³ 0 , les deux solutions sont réelles z1 = -b - ∆ et z2 = -b + ∆
2a
2a
• si ∆ £ 0 , on peut écrire ∆ = (i δ)2 avec δ ∈ IR,
les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre)
et
z2 = -b + i δ
z1 = -b - i δ
2a
2a
Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2)
• Si z' # 0

z + z' = z + z'
1 = 1
z'
z'


z - z' = z - z' ;
;

zz' = z . z'

;

z = z
z'
z'

• Re(z) = z + z ; Im(z) = z - z
2
2i

;
• z est réel ⇔ z = z

z est imaginaire pur ⇔ z = - z
Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z|
→
Si V a pour affixe z , alors
→
|| V || = |z|.
Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Représentation géométrique d'un nombre complexe
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, au nombre complexe z = a + bi ,
Tout nombre complexe non nul z peut être
écrit sous la forme :
on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur V (a ; b).
z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+
z = a + bi est l'affixe de M et de V .
→
M(a ; b) est l'image ponctuelle, v (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi.
C'est la forme trigonométrique de z.
r est le module de z, r = |z|
θ est un argument de z.
→
*
→
Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , alors
→
• le vecteur MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i
• le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = z + z'
2
• le barycentre G de (M ; α) et (M' ; β) a pour affixe zG = αz + βz' (α + β # 0) .
α+β
TS - Fiche de cours : Nombres complexes
z = |z|
z'
|z'|
On appelle conjugué dunombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,
le nombre complexe z = a - bi .



1= z
z =z
;
| z | = |z|
;
Si z # 0
•
z |z|2


• z. z = |z|2 (donc z. z est un réel positif)
Équation du second degré à coefficients réels
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|z + z'| £ |z| + |z'|
1/4
Si z = r(cos θ + i sin θ) alors

• z = r(cos(-θ) + i sin(-θ))
M
r = |z|
sin θ
θ
O
1
cos θ
et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π))
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TS - Fiche de cours : Nombres complexes
2/4
Arguments d'un nombre complexe
Utilisation en Géométrie
L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2π.
Si θ est un argument de z, on notera arg z = θ [2π] ou arg z = θ + 2kπ (k ∈ ZZ )
On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-π ; π].
La notion de distance correspond au module.
La notion d'angle à l'argument.
*
*
Pour z ∈ C
I et z' ∈ C
I , on a
→
Soient V
z = z'
⇔
→
 |z| = |z'|

 arg z = arg z' [2π]
• le vecteur AB a pour affixe zB - zA , et on a AB = |zB - zA|
→
→
• l'angle ( u , AB ) a pour mesure arg(zB - zA) [2π]
→
→ →
→
( u ; V ) = arg z [2π]
( u étant le vecteur d'affixe 1 )
→ →
z -z
• l'angle ( AB , AC ) a pour mesure arg(zC - zA) - arg(zB - zA) = arg C A [2π]
 zB - zA 
→ →
et V ' deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z'
On a alors
→→
A, B et C étant trois points distincts d'affixes zA, zB et zC dans (O; u , v ) , alors :
•
( V ; V ' ) = arg z' - arg z [2π]
z et z' étant deux nombres complexes non nuls on a :
;
arg 1 = - arg z [2π]
z
;
arg (zn) = n arg z [2π]
• arg  z  = arg z - arg z' [2π]
z'

• arg ( z ) = - arg z [2π]
;
arg (- z) = arg z + π [2π]
• arg(zz') = arg z + arg z' [2π]
•
→ →
AB et AC sont colinéaires
zC - zA
⇔
∈ IR*
zB - zA
→
→
AC = α AB , α ∈ IR*
z
zA 
⇔ arg  C
 = 0 [π]
 zB - zA 
⇔
→ →
→ →
AB et AC sont orthogonaux ⇔ AB . AC = 0
zC - zA
⇔
est imaginaire pur non nul
⇔
zB - zA
z - zA  π
arg  C
 = [π]
 zB - zA  2
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + a
→
où a est un nombre complexe fixé, est la translation de vecteur u d'affixe a.
Notation exponentielle
On note
cos θ + i sin θ = e iθ
e iθ.e iθ' = e i(θ+θ')
;
et
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec
z' - ω = e iα (z - ω) où α est un réel fixé et ω un complexe fixé
est la rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle α.
r(cos θ + i sin θ) = r e iθ

1 = e iθ = e -iθ
e iθ
;
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec
z' - ω = k (z - ω) où k est un réel non nul fixé et ω un complexe fixé
est l'homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k.
e iθ = e i(θ-θ')
e iθ'
n
(e iθ) = e inθ
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Le cercle de centre Ω d'affixe ω et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe
z vérifiant |z - ω| = r
TS - Fiche de cours : Nombres complexes
3/4
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TS - Fiche de cours : Nombres complexes
4/4
Limites
Asymptotes à une courbe
Les formes indéterminées
On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat
général à partir des tableaux précédents.
Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de
cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes.
Opérations sur les limites
Limite d'une somme
Si f ou (un) a pour limite
l
l
l
+∞
-∞
Si g ou (vn) a pour limite
l'
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
-∞
pas de
résultat
général
Alors f + g ou (un) + (vn)
a pour limite
+∞
l + l'
+∞
-∞
+∞
Limite d'un produit
Si f ou (un) a pour limite
l
l≠0
+∞ ou -∞
0
Si g ou (vn) a pour limite
l'
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
Alors f x g ou (un x vn)
a pour limite
l x l'
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
suivant les
signes
suivant les
signes
pas de résultat
général
+∞ - ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme)
∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification.
∞
0 : Factorisation d'un terme tendant vers 0, puis simplification.
0
0 x ∞ : peut en général se ramener à l'une des formes ∞ ou 0 .
0
∞
Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne
donnent pas de résultat, on pourra multiplier par la quantité "conjuguée".
(Les notations +∞ - ∞ ; ∞ … sont des abréviations à ne pas utiliser dans un devoir rédigé)
∞
Limites et inégalités
Limite d'un inverse
Si g ou (vn) a pour limite
l' ≠ 0
Alors 1 ou  1  a pour limite
g
vn
1
l'
0
0
par valeurs
inférieures
par valeurs
supérieures
+∞ ou -∞
-∞
+∞
0
Limite d'un quotient
Si f ou (un) a pour limite
l
Si g ou (vn) a pour limite
l' ≠ 0
Alors f ou
g
un
v 
 n
a pour limite
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l
l≠0
+∞
par valeurs
sup.
ou
par valeurs
inf.
ou
-∞
+∞
0
0
0
0
ou
-∞
suivant
les signes
ou
-∞
+∞
pas de
résultat
général
ou
l' ≠ 0
+∞
ou
-∞
+∞
ou
-∞
-∞
suivant
les signes
suivant
les signes
TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes
+∞
ou
-∞
par valeurs
sup.
ou
par valeurs
inf.
+∞
l
l'
+∞
ou
-∞
0
I est un intervalle dépendant de l'endroit où la limite est cherchée :
]a ; +∞[ pour une limite en +∞, ]x0 - h ; x0 + h[ pour une limite en x0 etc…
Limites par comparaison
Si pour tout x ∈ I
f(x) ³ g(x)
et si lim g(x) = +∞ alors lim f(x) = +∞.
Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0
alors lim f(x) = l.
Comparaison de limites
Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'.
Théorème des gendarmes
Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l.
Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie.
pas de
résultat
général
1/3
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TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes
2/3
Continuité - Dérivabilité
Limite d'une composée de fonctions
a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞.
Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l .
x→a
y→b
x→a
Continuité
Limites obtenues par la dérivée
f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0)
x→x0
Si f est une fonction dérivable en x0 alors :
f(x0 + h) - f(x0)
f(x) - f(x0)
lim
= f'(x0) ou encore lim
= f'(x0).
h→0
x→x0
h
x - x0
Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente
Limites usuelles
La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de
plus haut degré.
La limite d'une fonction rationnelle en +∞ ou en -∞ est la limite du quotient des
termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
lim sin x = 1 ; lim cos x - 1 = 0.
x→0
x→0
x
x
Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en +∞ ni en -∞.
On trouvera dans les fiches "logarithme népérien" et "exponentielle" les limites
correspondant à ces fonctions.
(C) étant la courbe représentative de la fonction f
Asymptote parallèle à Oy (verticale)
(C) a pour asymptote la droite d'équation x = a si :
lim f(x) = +∞ ou -∞ (il peut s'agir d'une limite à droite ou à gauche seulement)
lim f(x) = b ou lim f(x) = b
x→-∞
Asymptote oblique , asymptote courbe
(C) a pour asymptote la droite d'équation y = ax + b si :
lim f(x) ­ (ax + b) = 0 ou lim f(x) - (ax + b) = 0
x→-∞
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I,
Si v est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout x ∈ I, u(x) ∈ J,
alors v o u est dérivable sur I et on a ( v o u )' = u ' x (v ' o u)
(C) a pour asymptote la courbe représentative de g si :
lim f(x) - g(x) = 0 ou lim f(x) - g(x) = 0
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x→-∞
TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes
Si une fonction f est dérivable en tout point x0 d'un intervalle I, on dit que f est
dérivable sur I, et l'application qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f au
point x est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f'.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v'
u v est dérivable sur I et on a (u v)' = u'v + u v'
Si a ∈ IR , a u est dérivable sur I et on a (a u)' = a u'
'
Si u ne s'annule pas sur I , alors 1 est dérivable et 1 = - u '
u
u
u2
' u'v - u v'
u
u


Si v ne s'annule pas sur I, alors est dérivable et
=
v
v 
v2
x→a
x→+∞
h→0
Opérations sur les dérivées
Asymptote parallèle à Ox (horizontale)
(C) a pour asymptote la droite d'équation y = b si :
x→+∞
f(x0 + h) - f(x0)
est un nombre réel.
h
Cette limite est le nombre dérivé en x0, on le note f'(x0)
f(x0 + h) - f(x0)
f(x) - f(x0)
On a alors f'(x0) = lim
= lim
h→0
x→x0
h
x - x0
f est dérivable en x0 lorsque lim
La courbe représentative de f a pour tangente en M0(x0 ; f(x0)) la droite T de
coefficient directeur f'(x0). T a pour équation y = f'(x0) (x - x0) + f (x0) .
Asymptotes à une courbe
x→+∞
h→0
f est continue sur un intervalle I, si f est continue en tout point x0 de I
3/3
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TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivabilité
1/3
Dérivées usuelles
Application aux variations d'une fonction
Fonction
Dérivée
f(x) = k
f'(x) = 0
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I,
Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I.
Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I.
f(x) = x
f'(x) = 1
f(x) = ax + b
f'(x) = a
f(x) = x2
f'(x) = 2x
f(x) = x3
f'(x) = 3x2
f(x) = 1
x
f'(x) = - 1
x2
f(x) =
f(x) =
f'(x) =
x
xn
,
n ∈ ZZ
f'(x) =
f'(x) = - sin x
f(x) = tan x
f'(x) = 1 + tan2 x =
f(x) = ln x
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution
unique dans [a ; b].
nxn-1
f(x) = cos x
f'(x) =
Théorème des valeurs intermédiaires
2 x
f'(x) = cos x
f(x) =
(Propriété similaire pour une fonction strictement décroissante)
1
f(x) = sin x
ex
Pour démontrer qu'une fonction f est strictement croissante sur I, il suffit de
démontrer que f est dérivable sur I et que sa dérivée f' est strictement positive
sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Le théorème peut s'appliquer aussi dans le cas d'un intervalle non fermé ou non
borné en utilisant les limites de f.
Par exemple : si f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; a[, alors
1
cos2 x
pour tout k appartenant à ] lim f(x) ; lim f(x)[, l'équation f(x) = k a une solution
x→a
x<a
f'(x) = 1
x
Compléments
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors u
est dérivable sur I et on a ( u )' = u '
2 u
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout n ∈ ZZ, un est
dérivable en tout point où elle est définie et on a (un)' = n u'un-1
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I
et on a (e u)' = u' e u
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors ln u
est dérivable sur I et on a (ln u)' = u '
u
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TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivabilité
x→-∞
unique dans ]-∞ ; a[.
ex
2/3
Si
lim
h→0
h>0
f(x0 + h) - f(x0)
est un nombre réel A , on dit que la fonction f est
h
dérivable à droite en x0 et que A est le nombre dérivé à droite de f en x0 .
La courbe représentative de f a alors une demi-tangente de coefficient directeur A
en M0(x0 ; f(x0))
(Propriété similaire avec une limite à gauche et un nombre dérivé à gauche)
Pour qu'une fonction f soit dérivable en x0, il faut qu'elle soit dérivable à gauche
et à droite en x0 et que les nombres dérivés à gauche et à droite soient égaux.
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TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivabilité
3/3
Primitives
Propriétés
Définition
On appelle primitive d'une fonction f sur un intervalle I, toute fonction F définie et
dérivable sur I, dont la dérivée est f.
Si F est une primitive de f sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est
l'ensemble des fonctions G de la forme G = F + k, avec k ∈ IR.
Soit f une fonction ayant des primitives sur un intervalle I, soit x0 ∈ I et y0 ∈ IR.
Il existe une et une seule primitive F de f telle que F(x0) = y0 .
Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I,
alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel,
alors aF est une primitive de af sur I.
ATTENTION :
Un produit de primitives n'est pas une primitive du produit.
Un quotient de primitives n'est pas une primitive du quotient.
Toute fonction continue sur un intervalle I a des primitives sur I.
Sur un intervalle bien choisi :
Primitives des fonctions usuelles
Fonction
n
Primitives
• Une fonction de la forme u' u avec n ∈ ZZ - {-1} a pour primitives les
fonctions de la forme 1 un+1 + k avec k ∈ IR.
n+1
Intervalle
f(x) = 0
F(x) = k
k ∈ IR
IR
f(x) = a
F(x) = ax + k
F(x) = 1 x2 + k
2
k ∈ IR
IR
k ∈ IR
IR
f(x) = x
F(x) = 1 x3 + k
3
k ∈ IR
IR
f(x) = 1
x2
F(x) = - 1 + k
x
k ∈ IR
]0 ; +∞[ ou ]-∞ ; 0[
f(x) = 1
x
F(x) = 2
k ∈ IR
]0 ; +∞[
f(x) = x
2
n
f(x) = x
n ∈ ZZ - {-1}
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
f(x) = 1 + tan x =
1
cos2 x
x +k
F(x) = 1 xn+1 + k k ∈ IR
n+1
de la forme 2 u + k
]0 ; +∞[ ou ]-∞ ; 0[ (n < 0)
IR (n ³ 0)
k ∈ IR
F(x) = sin x + k
k ∈ IR
IR
F(x) = tan x + k
k ∈ IR
- π ; π  modulo 2π
 2 2
F(x) = ln x + k
f(x) = e x
F(x) = e x + k
k ∈ IR
k ∈ IR
TS - Fiche de cours : Primitives
a pour primitives les fonctions
avec k ∈ IR.
• Une fonction de la forme u' x e u a pour primitives les fonctions
de la forme e u + k avec k ∈ IR.
• Une fonction de la forme u' a pour primitives les fonctions
u
de la forme ln | u | + k avec k ∈ IR.
F(x) = - cos x + k
f(x) = 1
x
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• Une fonction de la forme u '
u
IR
• Une fonction de la forme u' x (v' o u) a pour primitives les fonctions
de la forme v o u + k avec k ∈ IR.
]0 ; +∞[
IR
1/2
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TS - Fiche de cours : Primitives
2/2
Logarithme Népérien
Limites - Variations
lim ln x = +∞ ; lim ln x = -∞ ; lim x ln x = 0 ; lim
x→0
x>0
x→+∞
Définition - Propriétés
La fonction réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme
ln : ]0 ; +∞[→ IR
népérien. On la note
x
֏ ln x
lim
x→+∞
ln x
=0
x
*
et pour n ∈ IN
lim
x→+∞
x→0
ln x
=0.
xn
+∞
+∞
0
On dit que le nombre réel e
tel que ln e = 1 est la base
du logarithme népérien.
On a e ≈ 2,72
ln
-∞
La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0 ; +∞[, et on a (ln x)' = 1 .
x
La fonction ln s'annule en 1, donc ln 1 = 0. D'autre part ln e = 1
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
x > 1 ⇔ ln x > 0
et
0 < x < 1 ⇔ ln x < 0
Courbe représentative
y = ex
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors la
u'
fonction composée ln o u est dérivable sur I et on a : (ln o u) ' =
u
u'
Toute fonction de la forme a pour primitive ln |u| sur tout intervalle dans lequel u
u
ne s'annule pas. Si u est strictement positive, u' a pour primitive ln(u).
u
y = ln x
Relation fonctionnelle
e
a et b étant deux réels strictement positifs, on a :
La courbe a pour asymptote verticale l'axe (Oy).
ln (a.b) = ln a + ln b
ln(an) = n.ln a pour tout n ∈ ZZ
1
a
ln   = - ln a
ln   = ln a - ln b
a 
b 
ln a = 1 ln a
2
Si a1, a2, ..., an sont des réels strictement positifs, on a :
La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a
pour coefficient directeur 1, c'est la droite
d'équation y = x - 1
La courbe de la fonction ln est symétrique de la
courbe de la fonction exponentielle par rapport à
la droite d'équation y = x
ln (a1.a2. ⋯ .an) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an .
Pour tout x ∈ IR :
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ln (1 + x)
=1
x
Tableau de variations
x
Pour tout réel x , on a ln (ex) = x
Pour tout réel strictement positif x , on a eln x = x
 x = ln y
ex = y 
 ⇔ 
 y ∈ ]0 ; +∞[
x ∈ IR 
;
x→0
x>0
ln (ex) = x
TS - Fiche de cours : Logarithme népérien
1/2
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TS - Fiche de cours : Logarithme népérien
2/2
Fonction exponentielle
Équations différentielles
Courbe représentative
La courbe a pour asymptote
horizontale l'axe (Ox) quand
x tend vers -∞.
Définition - Propriétés
La tangente à la courbe au
point d'abscisse 0 a pour
coefficient directeur 1, c'est
la droite d'équation y = x + 1
Il existe une unique fonction f, dérivable sur IR, telle que f' = f et f(0) = 1 .
Cette fonction est appelée fonction exponentielle.
exp : IR → ]0 ; +∞[
On note
x ֏ exp(x) = ex
La fonction exponentielle est définie, continue et dérivable sur IR et on a
e0 = 1
e1 = e
Pour tout réel x, on a ex > 0
La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.
x > 0 ⇔ ex > 1
et
x < 0 ⇔ 0 < ex < 1
(ex)'
=
ex
La courbe de la fonction
exponentielle est symétrique
de la courbe de la fonction ln
par rapport à la droite
d'équation y = x
y = ex
e
y = ln x
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction composée exp o u est
dérivable sur I, et on a : (exp o u)' = u'.exp o u
Toute fonction de la forme u'
lequel u est dérivable.
x
(e u)' = u' x e u
ou encore
e u a pour primitive e u , sur tout intervalle dans
Relation fonctionnelle
a et b étant deux réels, on a :
ea+b = ea.eb
e-b = 1
eb
n
ena = (ea) pour tout n ∈ ZZ
a
ea-b = e
eb
Équations différentielles
Soient a et b deux réels avec a ≠ 0.
Limites - Variations
lim ex = +∞ ;
x→+∞
*
et pour n ∈ IN
lim ex = 0 ;
x→–∞
x
lim e = +∞
xn
x→+∞
Tableau de variations
x
lim e = +∞ ;
x→+∞ x
;
x
x
lim x ex = 0 ; lim e - 1 = 1
x→–∞
x→0
x
lim xn e-x = 0
x→+∞
;
-∞
lim xn ex = 0 .
x→-∞
• L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est l'ensemble
des fonctions définies sur IR par f(x) = keax - b avec k ∈ IR .
a
• Etant donné un couple (α ; β), il existe une unique solution de l'équation
différentielle y' = ay + b vérifiant y(α) = β .
+∞
+∞
ex
0
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TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle
1/2
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TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle
2/2
Puissances réelles
Fonctions puissances
*
Pour n ∈ IN , la fonction x ֏ xn est une bijection de ]0 ; +∞[ dans ]0 ; +∞[, c'està-dire que pour tout réel strictement positif b, il existe un et un seul réel
strictement positif a tel que an = b.
Définition - Propriétés
Les puissances réelles d'un nombre strictement positif a sont définies par :
ax = ex ln a pour tout nombre réel x.
lim ax = +∞ et
a=e
La courbe a pour asymptote l'axe Ox
quand x tend vers +∞
a>1
lim ax = 0 et
1
x = x3 .
*
Si n ∈ IN on a :
lim ln x = 0 ;
x→+∞ xn
x
lim e = +∞
xn
;
x→+∞
lim xn e-x = 0
lim ax = +∞
x→+∞
;
x→+∞
lim xn e x = 0 .
x→-∞
x3 x2
les fonctions x ֏ xn croissent
infiniment plus vite que la
fonction ln .
4
ex
x
3
la fonction exponentielle croît
infiniment plus vite que les
fonctions x ֏ xn .
Si a > 1, on a on a ln a > 0
x→-∞
3
Au voisinage de +∞,
lim ax = 0
x→+∞
x = x2 et
Croissances comparées
L'étude de la fonction exponentielle de base a, se déduira facilement de l'étude de
la fonction x ֏ e x et du signe de ln a.
x→-∞
1
b = bn .
La fonction x ֏ x est la réciproque, sur ]0 ; +∞[ de la fonction x ֏ xn
On a en particulier
On appelle "fonction exponentielle de base a" (a > 0), la fonction : IR →IR
x ֏ ax = ex ln a
0<a<1
n
1
n
1
Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tous réels x et y, on a :
x
ax+y = ax . ay
;
a-x = 1
;
ax-y = a
ay
ax
x
x
y
a = a
ax.y = (ax)
;
(a .b)x = ax . bx
;
 b  bx
Si 0 < a < 1, on a ln a < 0
On dit que a est la racine nième de b, on note a =
2
ln x
La courbe a pour asymptote l'axe Ox
quand x tend vers -∞
1
a=1
-2
-1
O
1
2
3
4
-1
La fonction x ֏ e x correspond à la
-2
fonction exponentielle de base a = e.
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2/2
Intégrales
Propriétés
f et g sont des fonctions ayant des primitives sur les intervalles considérés.
Définition - Interprétation graphique
a
Si f une fonction continue et positive sur un
intervalle [a ; b] et (C) sa courbe dans un
→→
repère orthogonal (O; i , j ).
b
(C)
a
a
b
a
a
O
b
(Relation de Chasles)
b
⌠ (f + g)(t) dt = ⌠ f(t) dt + ⌠ g(t) dt
⌡
⌡
⌡
⌠ f(t) dt
⌡
a
b
c
b
b
x
b
a£x£b
c'est-à-dire l'ensemble des points M(x ; y) tels que  0 £ y £ f(x).

Si k ∈ IR
a
a
b
b
⌠ ( kf )(t) dt = k ⌠ f(t) dt
⌡
⌡
a
a
a
a
⌠
Si f est une fonction paire, alors ⌠
⌡ f(t) dt = 2 ⌡ f(t) dt
-a
Si f et g deux fonctions continues sur un
intervalle [a ; b] (a < b) telles que, pour tout
x ∈ [a ; b] : g(x) £ f(x).
L'aire de la partie du plan limitée par les
courbes de f et de g et les droites d'équation
a
x = a et x = b,
c'est-à-dire l'ensemble des points M(x ; y)
a£x£b
vérifiant  g(x) £ y £ f(x) est donnée en

a
a
c
⌠ f(t) dt + ⌠ f(t) dt = ⌠ f(t) dt
⌡
⌡
⌡
a
b
unités d'aire, de la partie du plan limitée
par la courbe (C), l'axe Ox et les droites
d'équations x = a et x = b
a
y
⌠ f(t) dt est le réel mesurant l'aire, en
⌡
b
⌠ f(t) dt = - ⌠ f(t) dt
⌡
⌡
⌠ f(t) dt = 0
⌡
unité d'aire
Si f est une fonction impaire, alors
Cf
0
a
⌠ f(t) dt = 0
⌡
-a
Si f est une fonction périodique de période T, alors ⌠
⌡
a
b
⌠ [f(x)-g(x)]dx
⌡
unités d'aires par ⌠
⌡ ( f(x) - g(x) ) dx
a
a
b
⌠ f(t) dt = F(t)
⌡


a
b
⌠
Si a £ b et si pour tout x de [a ; b] on a f(x) £ g(x), alors ⌠
⌡ f(x) dx £ ⌡ g(x) dx
Cg
a
a
Valeur moyenne
où F est une primitive de f sur [a ; b].
b
On note aussi
0
Si a £ b et si pour tout x de [a ; b] on a f(x) ³ 0, alors ⌠
⌡ f(x) dx ³ 0
b
a
b
T
f(t) dt = ⌠
⌡ f(t) dt
b
a
b
⌠ f(t) dt = F(b) - F(a)
⌡
a+T
On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b], le réel
b
b
1 ⌠ f(t) dt .
b - a ⌡a
a
Théorème de la moyenne
x
La fonction H définie par H(x) = ⌠
⌡ f(t) dt est la primitive de f s'annulant en a.
a
S'il existe deux réels m et M tels que pour tout x de [a ; b] (a £ b), m £ f(x) £ M,
b
alors
m(b - a) £ ⌠
⌡ f(t) dt £ M(b - a)
a
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1/3
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2/3
Raisonnement par récurrence
Intégration par parties
On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervalles
considérés
b
b
b
⌠ u(t).v'(t)dt =  u(t).v(t) - ⌠ u'(t).v(t) dt


⌡
⌡
a
a
a
Soit P(n) une proposition dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé.
Si P(n0) est vraie (Initialisation)
et si pour tout entier n ³ n0 P(n) ⇒ P(n+1), (Hérédité)
alors P(n) est vraie pour tout entier n ³ n0.
Exemple
Exemple
On considère la somme Sn des cubes des n premiers entiers, c'est-à-dire
π
Pour calculer ⌠
⌡ t sin t dt , on pose
u(t) = t
v'(t) = sin t
u'(t) = 1
v(t) = - cos t
Sn = 13 + 23 + … + n3
2
2
Démontrons par récurrence que pour tout entier n ³ 1 : Sn = n (n + 1)
4
2
2
Appelons P(n) la proposition : « Sn = n (n + 1) »
4
ère
1 étape : initialisation
2
2
2
2
On a S1 = 13 = 1 et pour n = 1 , n (n + 1) = 1 x 2 = 1
4
4
La proposition P(1) est donc vraie
0
π
π
π


⌠
Alors ⌠
⌡ t sin t dt = (t)(- cos t) - ⌡ (1)(- cos t)dt
0
0
π
0
π
π
0
0




Donc ⌠
⌡ t sin t dt = - tcos t - - sin t
0
π
= - t cos t + sin t)
π
0
Donc ⌠
⌡ t sin t dt = - π cos π + sin π - (- 0 cos 0 + sin 0) = π
0
ème
2
étape : hérédité - passage de n à n+1
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier particulier n ³ 1, c'est2
2
à-dire que Sn = n (n + 1)
4
Alors par définition
Sn+1 = 13 + 23 + … + n3 + (n+1)3 = Sn + (n+1)3
Calcul de volumes
2
2
2
Sn+1 = n (n + 1) + (n+1)3 = (n+1)2 n + (n + 1)
4
4

2
2
Sn+1 = (n+1)2 n + 4n + 4  = (n+1)2 (n+2) 
4


 4 
2
2
On a donc démontré que Sn+1 = (n+1) (n+2)
4
c'est-à-dire que la proposition P(n+1) est vraie.
Donc
Pour un volume V de hauteur H dont
la section avec un plan à la hauteur
h a pour aire S(h), on a
h
H
V=⌠
⌡ S(h) dh
H
0
S(h)
Conclusion
On a démontré que P(1) est vraie et que pour tout entier n ³ 1, P(n) ⇒ P(n+1).
On en déduit donc que P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1.
2
2
On a démontré par récurrence que pour tout entier n ³ 1 Sn = n (n + 1) .
4
2
2
Application : S100 = 13 +23 + … + 1003 = 100 x 101 = 25 502 500
4
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TS - Fiche de cours : Intégrales
3/3
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TS-Fiche de cours : Raisonnement par récurrence
1/1
Suites
Suites monotones, majorées, minorées, périodiques
Suites arithmétiques - suites géométriques
Soit (un) une suite de nombres réels.
Les définitions et propriétés des suites arithmétiques et géométriques sont valables aussi
bien pour des suites de nombres réels que pour des suites de nombres complexes.
Suites monotones
Suite arithmétique
On dit qu'une suite (un)n³n est une suite arithmétique de raison r lorsque :
On dit que la suite (un) est croissante si
On dit que la suite (un) est décroissante si
On dit que la suite (un) est stationnaire (ou constante) si
0
pour tout entier naturel n ³ n0,
un+1 = un + r.
Soit (un)n³n une suite arithmétique de raison r.
(On peut de même définir une suite strictement croissante ou strictement décroissante)
0
• Pour tout n ³ n0 et tout p ³ n0, on a
en particulier : un = u0 + n r
• Sens de variation :
Si r = 0, la suite est constante.
On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou lorsqu'elle est
décroissante.
un = up + (n - p) r
; un = u1 + (n - 1) r
Si la suite (un) est croissante et si n ³ p , alors un ³ up
Si la suite (un) est décroissante et si n ³ p , alors un £ up
Si la suite (un) est strictement croissante et si n > p , alors un > up
Si la suite (un) est strictement décroissante et si n > p , alors un < up
Si r est réel et r >0, la suite est croissante et on a lim un = +∞
n→+∞
Si r est réel et r < 0, la suite est décroissante et on a lim un = -∞
n→+∞
• Si le premier terme de la suite est a, la somme des n premiers termes est :
n(n - 1)
S = na +
r
2
Suite géométrique
On dit qu'une suite (un)n³n est une suite géométrique de raison q lorsque :
0
pour tout entier naturel n ³ n0,
0
un = up x q(n-p) (en supposant q # 0)
;
un = u1 x qn-1
Si 0 £ |q| < 1, lim qn = 0 , donc lim un = 0 (la suite converge vers 0).
n→+∞
n→+∞
Si q est réel et q > 1 , lim un = +∞ ou lim un = -∞
n→+∞
n→+∞
Si q est réel et q £ -1 , la suite (un) n'a pas de limite.
• Si le premier terme est a et si q # 1, la somme des n premiers termes est :
1 − qn
S=a
1−q
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un = f(n)
Attention la réciproque est fausse : la suite peut être croissante alors que la
fonction ne l'est pas.
Suites majorées, minorées, bornées
Soit (un)n³n une suite géométrique de raison q.
en particulier : un = u0 x qn
• Sens de variation
Si q = 1, la suite (un) est constante.
Si f est une fonction croissante sur [k ; +∞[, la suite définie par
pour n ³ k est une suite croissante.
(Propriété similaire avec un fonction décroissante, strictement croissante, strictement décroissante)
un+1 = un x q.
• Pour tout n ³ n0 et tout p ³ n0, on a
pour tout n, un+1 ³ un
pour tout n, un+1 £ un
pour tout n, un+1 = un
TS - Fiche de cours : Suites
1/4
S'il existe un réel M tel que pour tout n, un £ M, on dit que la suite (un) est majorée
par M. (On dit que M est un majorant de la suite).
S'il existe un réel m tel que pour tout n, un ³ m, on dit que la suite (un) est minorée
par m. (On dit que m est un minorant de la suite).
Une suite à la fois majorée et minorée, est appelée suite bornée.
Suites périodiques
S'il existe un entier non nul p tel que pour tout n,
(un) est périodique de période p.
un+p = un , on dit que la suite
(Cette dernière définition peut aussi s'appliquer à une suite de nombres complexes).
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TS - Fiche de cours : Suites
2/4
Limites de suites
Suites du type un = f(
f( n )
Remarque :
Si f est une fonction définie sur [k ; +∞[, si (un)n³k est la suite définie par
La limite pour une suite (un) correspond toujours à une limite lorsque n tend vers +∞.
un = f(n) et si lim f(x) = a, et alors lim un = a.
x→+∞
Limites connues
*
Les suites ( n ) ; (n) ; (n2) ; (n3) ; (nα) avec α ∈ IN ; (an) avec a > 1 et (ln n)
ont pour limite +∞.
1
1
1
1
1
1
1 
*
Les suites   ;   ;  2 ;  3 ;  α avec α ∈ IN ;  n avec a > 1 et 
ln n
a 
 n  n  n  n  n 
ont pour limite 0.
Attention : la limite de la fonction f permet de donner la limite de la suite un = f(n), mais la
limite de la suite un = f(n) ne permet pas de donner la limite de la fonction f.
Les propriétés sur la limite de la somme, du produit et du quotient de deux
fonctions resteront donc valables pour les suites.
Soit (un) une suite de nombres réels.
si la suite (-un) tend vers +∞, la suite (un) tend vers -∞ .
si la suite (un - l) tend vers 0, la suite (un) tend vers l .
Image d'une suite par une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et (un) une suite d'éléments de I.
Si
Limites obtenues par comparaison
lim un = a, et si lim f(x) = b,
x→a
n→+∞
alors lim f(un) = b .
n→+∞
(Cette propriété est valable lorsque a et b sont des limites finies ou infinies.)
S'il existe une suite (vn) de limite +∞, un réel α > 0 et un entier k tels que :
pour tout n ³ k
un ³ α vn ,
alors (un) a pour limite +∞
Comparaison de suites et de limites
S'il existe une suite (vn) de limite -∞, un réel α > 0 et un entier k tels que :
pour tout n ³ k
un £ α vn ,
alors (un) a pour limite -∞
Si lim un = l et lim vn = l', et s'il existe un entier k tel que :
n→+∞
n→+∞
pour tout n ³ k un £ vn alors l £ l'.
S'il existe une suite (vn) de limite 0, un réel α > 0 et un entier k tels que :
pour tout n ³ k,
|un - l| £ α vn alors (un) a pour limite l.
Attention : ce résultat n'est pas vrai avec des inégalités strictes.
Cas particulier très important
Si pour tout n ³ k,
n→+∞
(Ce résultat est valable pour une limite a finie ou infinie.)
|un - l| £ α qn avec α > 0 et 0 < q < 1 alors lim un = l.
Suites adjacentes
n→+∞
Théorème des gendarmes
Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque :
Si lim vn = l et lim wn = l , et s'il existe un entier k tel que :
n→+∞
n→+∞
(un) est une suite croissante , (vn) est une suite décroissante et lim vn - un = 0
pour tout n ³ k,
vn £ un £ wn
alors (un) a une limite
et
n→+∞
lim un = l.
n→+∞
Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
(Cette propriété justifie que les suites convergent mais ne permet pas de trouver la limite)
Suite monotone bornée
Une suite croissante et majorée est convergente.
Il en est de même pour une suite décroissante minorée.
(Cette propriété justifie que la suite converge mais ne permet pas de trouver la limite)
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TS - Fiche de cours : Suites
3/4
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4/4
Dénombrement
Combinaisons
On appelle combinaison p à p des n éléments d'un ensemble E, toute partie de E
ayant p éléments.
Une combinaison est une partie de l'ensemble E, elle ne fait pas intervenir d'ordre
parmi les éléments.
Cardinal d'un ensemble
n
p .
Le nombre de combinaisons p à p des n éléments de E est noté 
Le cardinal d'un ensemble fini est le nombre d'éléments de cet ensemble.
On a
Si A et B sont deux parties d'un ensemble fini, on a
card A ∪ B = card A + card B - card A ∩ B
On appelle produit cartésien deux ensembles E et F, l'ensemble E x F des
couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F.
Si E et F sont des ensembles finis, on a card E x F = card E x card F
On peut généraliser la notion de produit cartésien à un produit de 3 ensembles
(ensemble des triplets), de 4 ensembles (quadruplets), de p ensembles (p-uplets)
On a alors card (E1 x E2 x ... x Ep) = card(E1) x card(E2) x ... x card(Ep)
Une suite de p éléments distincts d'un ensemble E ayant n éléments (n ³ p) est
appelée un arrangement p à p des éléments de E.
er
ème
Sachant qu'on a n choix possibles pour le 1 élément, (n-1) choix pour le 2 ,
ème
ième
(n-2) choix pour le 3 , … , (n-p+1) choix pour le p , on peut justifier par un
arbre qu'il y a n x (n-1) x … x (n-p+1) arrangements p à p des n éléments de E.
Une suite des n éléments (distincts) d'un ensemble E est appelée une permutation
de E. (C'est un arrangement n à n des n éléments de E)
Le nombre de permutations des n éléments d'un ensemble E est noté n !
On a n ! = n x (n - 1) x (n - 2) x … x 2 x 1 , (n ! se lit "n factorielle").
(n ! est donc le nombre de façons de "ranger" n éléments)
Par convention, on pose 0 ! = 1
TS - Fiche de cours : Dénombrement
 n  = 0 si p > n
p
•
n!
n =
 p  p ! (n - p) !
si p £ n
n
p :
Relations sur les nombres 
On pourra, pour déterminer les cardinaux de certains ensembles, utiliser un
diagramme, un tableau, un arbre.
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•
1/2
n = 1
0
n =  n 
 p   n-p 
n = 1
n
n = n
 n =n
1
 n-1 
 n  +  n  = n+1
 p-1   p   p 
Formule du binôme de Newton, valable pour a et b réels ou complexes :
p=n
n  n 0  n  n-1 1
 n  n-p p
n 0 n
 n an-p bp
 0 a b +  1 a b + ⋯ +  p a b + ⋯ +  n a b = p∑
 
=0 p
(a + b)n = 
Cas particulier pour a = b = 1
p=n
 n  +  n  + ⋯ +  n  = ∑  n  = 2n .
0 1
n p = 0 p
Le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 2n
n
 p  peuvent être trouvés dans le Triangle de Pascal :
Les nombres 
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
…
p=0
1
1
1
1
1
1
1
1
p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 …
1
2
3
4
5
6
7
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1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
TS - Fiche de cours : Dénombrement
2/2
Probabilités
Variable aléatoire
Une variable aléatoire est une application X de l'univers Ω dans un ensemble Ω'.
Si Ω' est une partie de IR, on dit que X est une variable aléatoire numérique.
Probabilités élémentaires
L'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire est
l'univers. Il est souvent noté Ω
Un événement est une partie de Ω.
∅ est l'événement impossible.
Ω est l'événement certain.
A∪B est l'événement «A ou B».
A∩B est l'événement «A et B».
Si A∩B =∅, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints).
On note A l'événement contraire de A .
On définit une loi de probabilité p sur Ω = {ω1 ; ω2 ;...; ωn} en associant à chaque
éventualité ωi un nombre réel pi tel que :
pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ⋯ ; n}
0 £ pi £ 1
et
p1 + p2 + ⋯ + pn = 1
On détermine la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, en donnant les
probabilités p(X = xi) , pour toutes les valeurs xi prises par X.
(la somme de ces probabilités est égale à 1)
Si X est une variable aléatoire numérique :
• L'espérance mathématique de X (ou moyenne) est le nombre réel
E(X) = x1.p(X=x1) + ⋯ + xn.p(X=xn)
c'est-à-dire
E(X) =
c'est-à-dire V(X) =
xi.p(X = xi) .
i=n
∑ [xi - E(X)]2.p(X=xi)
i=1
i=n
∑
2
(xi)2 p(X=xi) – [E(X)]
On a aussi V(X) =
Pour tout événement A = {a1 ; a2 ; ⋯ ; ak}, la probabilité de A est :
L'écart-type de X est le nombre réel (positif) σ(X) = V(X) .
•
•
•
•
•
•
∑
• La variance de X est le nombre réel (positif)
2
2
V(X) = [x1 - E(X)] .p(X=x1) +⋯+ [xn - E(X)] .p(X=xn)
pi est la probabilité de l'éventualité ωi. On note pi = p(ωi)
p(A) = p(a1) + p(a2) + ⋯ + p(ak).
i=n
i=1
i=1
Probabilités conditionnelles
Pour tout événement A,
p(A) ∈ [0 ; 1]


A étant le contraire de A,
p ( A ) = 1 - p(A)
p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
Si A et B sont quelconques,
Si A et B sont disjoints ,
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Si A est contenu dans B,
p(A) £ p(B)
Si A1, A2, ... , Ak sont des événements deux à deux disjoints,
A et B étant deux événements, on note pB(A), la probabilité de l'événement A
sachant que l'événement B est réalisé.
p(A∩B)
On a p(A∩B) = pB(A) x p(B) et si B est de probabilité non nulle pB(A) =
p(B)
L'application qui à un événement A associe pB(A) est une loi de probabilité sur Ω
p(A1∪A2∪...∪Ak) = p(A1) + p(A2) + ⋯ + p(Ak)
Deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A∩B) = p(A).p(B)
(c'est-à-dire lorsque pB(A) = p(A) ou pA(B) = p(B) )
Cas particulier
Si toutes les éventualités ont la même probabilité, la probabilité de chacune d'elles
1
est alors p =
. ( éventualités équiprobables)
card(Ω)
card(A)
Dans ce cas, pour tout événement A , on a : p(A) =
card(Ω)
On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i et
pour tout j les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants.
Soit E1 , E2, ... , En est une partition de Ω
(c'est-à-dire un ensemble d'événements deux à deux disjoints dont la réunion est Ω)
p(A) = p(A∩E1) + p(A∩E2) + ... + p(A∩En)
Pour tout événement A, on a
ce qui s'écrit aussi p(A) = pE (A) x p(E1) + pE (A) x p(E2) + ... + pE (A) x p(En)
1
2
n
(lorsque les événements E1 , E2, ... , En sont de probabilité non nulle)
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1/5
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2/5
Exemples de lois de probabilité continues
Arbres pondérés
Règles de construction
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est 1.
La probabilité de l'événement correspondant à un trajet est le produit des
probabilités des différentes branches composant ce trajet.
En dehors des branches du premier niveau, les probabilités indiquées sont des
probabilités conditionnelles.
Exemple
On jette une pièce.
Si on obtient pile (P), on tire une boule
dans une urne contenant 3 boules dont
1 blanche (B) et 2 noires (N).
Si on obtient face (F), on tire une boule
dans une urne contenant 5 boules dont
3 blanches (B) et 2 noires (N).
On peut représenter cette expérience
par l'arbre pondéré ci-contre :
1
3
1
2
1
2
B
p(P,B) = 1 x 1
2 3
P
Cette loi modélise le choix d'un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0 ; 1].
La probabilité pour que ce réel soit compris entre a et b avec 0 £ a £ b £ 1, est
alors proportionnelle à l'amplitude de l"intervalle [a ; b].
b
p([a ; b]) = b - a = ⌠
⌡ 1 dx
2
3
N
p(P,N) = 1 x 2
2 3
3
5
B
p(F,B) = 1 x 3
2 5
On aura par exemple p( [0,5 ; 0,6]) = 0,1 = 1 : la probabilité que le nombre
10
choisi soit compris entre 0,5 et 0,6 est 1 , ce qui est conforme à l'intuition.
10
La densité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = 1.
2
5
N
p(F,N) = 1 x 2
2 5
Loi exponentielle
F
Cette loi modélise le phénomène de durée de vie sans vieillissement, observé par
exemple pour la désintégration radioactive.
La probabilité, sachant qu'un noyau est présent à l'instant t, pour qu'il se
désintègre dans l'intervalle [t ; t+s] ne dépend pas de son "âge" t.
La probabilité pour qu'un noyau se désintègre dans l'intervalle de temps [a ; b] est
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve pouvant
donner deux résultats:

le résultat A avec la probabilité p et le résultat A avec la probabilité 1 - p.
Un schéma de Bernoulli, est la répétition n fois, de manière indépendante, d'une
épreuve de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de résultats A
obtenus, est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
La probabilité d'obtenir alors exactement k fois le résultat A (et donc n - k fois le
n k
- n-k .
 k  p (1 p)
résultat A) est donnée par : p(X=k) = 
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b
-λx dx
p([a ; b]) = ⌠
⌡ λe
a
La constante strictement positive λ dépend de la substance radioactive étudiée.
b
b
-λx dx =  -e -λx  = -e -λb + 1
On peut remarquer que ⌠


⌡ λe
0
0
et par conséquent lim 1 - e -λb = 1.
b→+∞
L'espérance mathématique de X est alors E(X) = np,
sa variance est V(X) = np(1 - p)
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Loi uniforme sur [0 ; 1]
a
Loi binomiale - Schéma de Bernoulli

On peut définir une loi de probabilité sur un univers infini Ω en utilisant la notion de
densité.
La densité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = λ e -λx.
3/5
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4/5
Géométrie dans le plan
et dans l'espace
Adéquation à une loi équirépartie
Le problème se pose parfois de savoir si des données statistiques sont réparties
de façon uniforme et si les variations que l'on observe par rapport à un modèle
sont acceptables.
Exemple : Lorsqu'on jette un grand nombre de fois un dé dont les six faces sont
numérotées, les nombres d'apparition des différentes faces ne sont pas en
général égaux et on peut se demander si la variation observée d'une face à l'autre
est une variation "normale" (appelée fluctuation d'échantillonnage) ou "anormale"
(ce qui pourrait signifier que le dé n'est pas équilibré).
Pour cela on fera une comparaison de l'écart entre les résultats obtenus et le
modèle donné par la théorie, avec l'écart entre des résultats simulés (avec une
calculatrice ou un ordinateur) et le même modèle.
Supposons que les résultats obtenus sur un grand nombre de tirages sont donnés
dans le tableau suivant :
1
2
3
4
5
6
Face i
Fréquence
d'apparition fi
0,2066
0,14
0,165
0,1866
0,1534
0,1484
La théorie pour un dé équilibré associe à chaque face une fréquence de 1 .
6
On mesure l'écart entre les résultats obtenus et le modèle donné par la théorie en
calculant :
d2obs =
i=6
2
∑ fi - 16
Barycentre
Le barycentre d'un système de n points pondérés {(Ai ; ai)}1£ i £ n, dont la somme
des coefficients ai est non nulle, est l'unique point G vérifiant :
i=n
→
→
→
→ →
a1 GA1 + a2 GA2 + a3 GA3 + ⋯ + an GAn = 0 , c'est-à-dire
→
∑ ai MAi = 0
→
i=1
(Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k ∈ IR*)
On appelle isobarycentre des points A1, A2, ⋯ , An, le barycentre de ces points
tous affectés d'un même coefficient non nul.
L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB].
L'isobarycentre de trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle ABC
(point d'intersection des médianes).
i=n
Lorsque
∑ ai # 0 ,
les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
i=1
c'est-à-dire
i=1
2
2
2
2
2
2
d2obs = f1 - 1 + f2 - 1 + f3 - 1 + f4 - 1 + f5 - 1 + f6 - 1
6
6
6
6
6
6






où f1, f2, ..., f6 sont les fréquences données dans le tableau.
On obtient d2obs ≈ 0,0032
En simulant un grand nombre de séries de tirages et en calculant pour chacune
des séries le nombre d2 correspondant, on obtient une série statistique pour
laquelle le 9ème décile est 0,003.
i=n
i=n
2°) Pour tout point M on a :
i=n
→
∑ ai GAi = →0 .
1°) G est barycentre du système {(Ai ; ai)}1£ i £ n, c'est-à-dire
i=1

ai MG .
∑ ai MAi = i∑
i=1
=1 
→
i=n
3°) Il existe un point O tel que :
→
i=n

ai OG
∑ ai OAi = i∑
=1 
→
→
.
i=1
(C'est-à-dire que 90% des valeurs de d2 sont inférieures ou égales à 0,003)
Si chaque point Ai a pour coordonnées xi , yi éventuellement zi , ou pour affixe zi
Sachant que d2obs > 0,003 , on déclare que le dé n'est pas équilibré (ou que la
série n'est pas équirépartie) au risque de 10% .
les coordonnées ou l'affixe du barycentre G de {(Ai ; ai)}1£ i £ n sont données par :
(Le 9ème décile correspondant à 90 % des données le risque d'erreur est de 10%)
Si on avait obtenu d2obs < 0,003 on aurait déclaré le dé équilibré.
Remarque : Si on utilisait le 3ème quartile de la série des d2 simulés, on déclarerait
un dé équilibré ou non équilibré au risque de 25% .
(Le 3ème quartile correspondant à 75 % des données le risque d'erreur est de 25%)
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5/5
i=n
xG =
∑ ai xi
i=1
i=n
∑ ai
i=1
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i=n
;
yG =
∑ ai yi
i=1
i=n
∑ ai
i=n
∑ ai z i
et éventuellement zG = i = 1
i=1
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i=n
∑ ai
i=1
1/5
Soient A, B et C trois points non alignés.
L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) avec a ∈ IR , b ∈ IR et a + b # 0
est la droite (AB).
L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) avec a ³ 0 , b ³ 0 et a + b # 0
est le segment [AB].
L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) avec a ∈ IR , b ∈ IR , c ∈ IR
et a + b + c # 0 est le plan (ABC).
L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) avec a ³ 0 , b ³ 0 , c ³ 0
et a + b + c # 0 est l'intérieur du triangle ABC (côtés compris).
Géométrie dans le plan
→→
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i , j )
Si A et B sont deux points de coordonnées (xA , yA) , (xB , yB)
→
|| ||
on a d(A,B) = AB = AB =
(xB - xA)2 + (yB - yA)2
Soit ABC un triangle : AB = c, AC = b, BC = a, BAC = α, ABC = β, ACB = γ .
Alors :
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
(Relation d'Al Kashi)
(Si le triangle est rectangle, cette relation correspond au théorème de Pythagore)
Produit scalaire
→
B
→
Si u et v sont des vecteurs non nuls tels
→
→
→
que u = OA et v = OB ;
si H est le projeté orthogonal de B sur (OA),
→
→
le produit scalaire de u par v est
→→
u . v = OA
→
v
OH
x
→ →
→→
→
u . v = OA x OB x cos ( OA, OB)
→→
|| || x || v || x cos ( u , v )
→
u.v = u
S = 1 bc sin α = 1 ac sin β = 1 ab sin γ .
2
2
2
sin α = sin β = sin γ
On peut en déduire la relation
a
b
c
Si I le milieu de [BC] , on a AB2 + AC2 = 2 AI2 + 1 BC2 (théorème de la médiane)
2
L'aire du triangle est donnée par :
→
→
→→
→
A
Le cercle de centre Ω(x0 ; y0) et de rayon r a pour équation :
u
O
→
H
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
→→
Si l'un des vecteurs u ou v est nul, alors u . v = 0.
Une droite D a une équation cartésienne de
(a ; b) ≠ (0 ; 0)
la forme ax + by + c = 0
→ → →
Pour tous vecteurs u , u', v et tout réel k, on a :
→→
→
→ → →→
→→
u.v = v.u
;
( u + u'). v = u . v + u'. v
→→
(k→u ).→v = →u .(k→v ) = k(→u .→v )
→
→
;
→→
→2
La droite D partage le plan en deux demiplans P1 et P2 caractérisés par les
inéquations :
ax + by + c ³ 0 et ax + by + c £ 0
||→||2
u.u = u = u
→→
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux, si et seulement si u . v = 0.
→
→
Si u et u' sont deux vecteurs du plan de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') dans un
→→
→→
repère orthonormal (O; i , j ) , on a
u .u' = xx' + yy'
→
→
Si u et u' sont deux vecteurs de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z')
→→→
→→
u .u' = xx' + yy' + zz'
dans un repère orthonormal (O; i , j , k ) , on a
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2/5
D
m
P2
La projection orthogonale sur la droite D est
l'application qui à un point M0 associe le
point m, intersection de D et de la droite
passant par M0 et perpendiculaire à D
P1
La distance du point M0(x0 ; y0) à la droite D
est la distance du point M0 à m.
Elle s'exprime par : d(M , D) = M m = | ax0 + by0 + c |
0
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M0
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0
a2 + b 2
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3/5
→
Géométrie dans l'espace
→→→
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O; i , j , k )
Si A et B sont deux points de l'espace de coordonnées (xA ; yA ; zA), (xB , yB , zB)
→
|| ||
on a d(A,B) = AB = AB =
(xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs
La sphère de centre Ω(x0 , y0 , z0) et de rayon r a pour équation :
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2
Soit D la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u (a ; b ; c)
 x = xA + ka
M(x ; y ; z) ∈ D ⇔  y = yA + kb k ∈ IR
 z = zA + kc
Le système ci-dessus est un système d'équation paramétriques de la droite D.
Réciproquement un tel système avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) définit une droite.
→
M0
→
E1
→
On dit qu'un vecteur u est orthogonal
u
→
(ou normal) à un plan P si u est orthogonal
→
P
u
à tout vecteur de P.
→
m
Pour qu'un vecteur u soit orthogonal à P, il
suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs
non colinéaires de P.
Tous les vecteurs orthogonaux à un plan P
E2
sont colinéaires entre eux.
D
→
Une droite de vecteur directeur u est orthogonale (perpendiculaire) à P si et
→
seulement si le vecteur u est orthogonal à P.
Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan P, il suffit qu'elle soit
perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.
Tout plan P a une équation cartésienne de la forme ax + by +cz + d = 0
→
avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) et u (a ; b ; c) vecteur normal à P.
Réciproquement l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0
→
avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) est un plan qui a pour vecteur normal u (a ; b ; c).
Un plan P partage l'espace en deux demi-espaces E1 et E2 caractérisés par les
inéquations : ax + by + cz + d ³ 0 et ax + by + cz + d £ 0
La projection orthogonale sur le plan P est l'application qui à un point M0 associe
le point m, intersection de P et de la droite passant par M0 et perpendiculaire à P.
→
→
→
*
respectifs u et v sont colinéaires c'est-à-dire lorsque v = k u avec k ∈ IR .
Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs
→
→
→→
respectifs u et v sont orthogonaux c'est-à-dire lorsque u . v = 0 .
Deux droites dans l'espace peuvent être orthogonales sans être sécantes.
L'intersection d'une droite D et d'un plan P peut être : l'ensemble vide, un point
unique ou la droite D tout entière.
On pourra déterminer cette intersection en utilisant le système d'équations
paramétriques de la droite et l'équation cartésienne du plan.
L'intersection de deux plans peut être : l'ensemble vide, une droite ou un plan.
L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un
plan.
On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les
équations cartésiennes des plans.
Une droite pourra être définie par intersection de deux plans, c'est-à-dire par un
 ax + by +cz + d = 0
système de deux équations cartésiennes :  a'x + b'y +c'z + d' = 0

D
La projection orthogonale sur la droite D est
l'application qui à un point M0 associe le
point m, intersection de D et du plan passant
par M0 et perpendiculaire à D.
M0
m
P
La distance du point M0(x0 ; y0 ; z0) au plan P est la distance du point M0 à m.
Elle s'exprime par : d(M0, P) = M0m = | ax0 + by0 + cz0 + d |
a2 + b 2 + c 2
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4/5
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5/5
Trigonométrie
Correspondances
1
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur IR
et on a pour tout réel x :
-1 £ cos x £ 1
;
-1 £ sin x £ 1
cos2 x + sin2 x = 1
sin x
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de
période 2π.
On a donc, pour tout réel x et pour tout entier relatif k :
sin(x + 2kπ) = sin x
et
cos(x + 2kπ) = cos x
Pour tout réel x :
sin π - x = cos x
2

x
cos x
x
sin x + π = cos x
2

1
La fonction tangente est définie pour tout x ≠ π [π] par tan x = sin x
2
cos x
La fonction tangente est périodique de période π : tan(x + kπ) = tan x (k ∈ ZZ)
π
2
π
3 π
4
π
3π
π
π
π
π
0
x
π
2π
6
2
6
4
3
2
sin x
cos x
0
1
1
0
0
-1
-1
0
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
π
cos π - x = sin x
2

;
cos x + π = - sin x
2

sin (π - x) = sin x
;
cos (π - x) = - cos x
cos (x + π) = - cos x
;
sin (x + π) = - sin x
x+π
2
π-x
2
π−x
x
x
x+π
Il faut savoir retrouver toutes ces égalités à partir du dessin.
Formules d'addition et de duplication
Pour tous réels a et b :
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
;
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
;
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos (2a) = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a
0
sin (2a) = 2 sin a cos a
Résolution d'équations
3π
2
La fonction sinus est impaire : pour tout réel x, on a sin (-x) = -sin x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).
(sin x )' = cos x
La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est :
La fonction cosinus est paire : pour tout réel x, on a
;
α étant un réel fixé :
 x = α + 2kπ
cos x = cos α ⇔  ou
k ∈ ZZ
 x = -α + 2kπ
α + 2kπ
-α + 2kπ
cos (-x) = cos x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées).
La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est :
La fonction tangente est impaire : pour tout x ≠ π [π] , on a
2
(cos x )' = - sin x
tan(-x) = -tan x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).
La fonction tangente est dérivable sur tout intervalle dans lequel elle est définie et
sa dérivée est : (tan x )' = 1 + tan2 x = 1
cos2 x
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1/2
α étant un réel fixé :
 x = α + 2kπ
k ∈ ZZ
sin x = sin α ⇔  ou
 x = π -α + 2kπ
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π - α + 2kπ
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α + 2kπ
2/2