Chapitre 2 Résolution d`équations non linéaires

Chapitre 2
Résolution d’équations non linéaires
1
Séparation des racines
On dit qu’une racine a d’une équation f (x) = 0 est séparable si on pent trouver un
intervalle [a, b] tel que α soit la seule racine de cette équation dans [a, b].
Il n’y a pas de méthode générale pour séparer les racines d’une équation f (x) = 0.
Pratiquement, en dehors de l’étude théorique directe de f si f est donné analytiquement,
on utilise deux types de méthodes : une méthode graphique et une méthode de balayage.
1.1
Méthode graphique
Soit on trace (expérimentalement ou par étude des variations de f ) le graphe de la
fonction f et on cherche son intersection avec l’axe Ox. Soit on décompose f en deux
fonctions f1 et f2 simples a étudier, telles que : f = f1 − f2 , et on cherche les points
d’intersection des graphes de f1 et f2 , dont les abscisses sont exactement les racines de
l’équation f (x) = 0.
On choisit souvent f1 et f2 de façon à ce que leur courbes soient des courbes connues.
1.2
Méthode de balayage
Si f est une fonction continue dans l’intervalle [xi , xi+1 ] et f (xi ).f (xi+1 ) < 0 alors
il existe entre xi et xi+1 au moins une racine de f (x) = 0. (C’est le théorème classique
des valeurs intermédiaires).
Il faut faire très attention avec cette méthode car avec certaines fonctions cette
méthode nous cache l’existence ou le nombre de racine dans un intervalle.
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
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Approximation des racines ; Méthodes itératives
2.1
Méthode de bissection (dichotomie)
Algorithme
Données :
x1 , x2 et k (critère d’arrêt). Il faut que f (x1 ).f (x2 ) < 0
Faire :
iteration = iteration + 1
xm = (x1 + x2 )/2, f (x1 ), f (x2 ) et f (xm )
Si (f (x1 ).f (xm ) < 0) alors x2 = xm sinon x1 = xm
Test d’arrêt :
Si (iteration = k) alors (x = xm ) sinon reFaire
Critère d’arrêt
Soit x1 et x2 les bornes de l’intervalle initial et n le nombre de décimales exactes
recherchés. Le nombre d’itérations est donné par :
k≥
x2 −x1
log 0.5
10−n
−1
log2
(2.1)
Représentation graphique
Figure 2.1 – Illustration de l’algorithme de la méthode Dichotomie
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
2.2
Méthode de Newton-Raphson
Algorithme
Données :
x0 valeur initiale de la racine et valeur admissible de l’erreur
Faire :
xk+1 = xk −
Test d’arrêt :
Si (Erreur ≤ ) alors (x = xk+1 ) sinon reFaire
f (xk )
f 0 (xk )
Critère d’arrêt
Si on veut calculer une approximation de x∗ avec n décimales exactes, il suffit d’aller
dans les itérations jusqu’à ce que |xk+1 − xk | ≤ 0.5 10−n .
Représentation graphique
Figure 2.2 – Illustration de l’algorithme de la méthode de Newton
2.3
Méthode de Newton-Raphson pour les polynômes
Si f est un polynôme Pn de degré n à coefficients réels, n’ayant que des racines
distinctes :
f (x) = Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an avec a0 6= 0
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
Localisation
Le racines réelles de f’équation Pn (x) = 0 sont contenues dans l’intervalle ] − T, T [
avec
1
max |ai |
T =1+
a0 i=1,n
Nombres de racines réelles
Le nombre de solutions réelles (qui sont supposées simples) de l’équation Pn (x) = 0
est égale à N (a)|N (b), où N (ζ) est le nombre de changement de signe de la suite
{Si (ζ)}. Les réels a et b étant les extrémités de l’intervalle contenant les racines.
La suite {Si (x)} est la suite de Sturm définie par :


S0 (x) = Pn (x)




0


 S1 (x) = Pn (x)
S2 (x) = −Reste(S0 (x)/S1 (x))




...



 S (x) = −Reste(S (x)/S (x))
n
2.4
n−2
(2.2)
n−1
Méthode de la sécante
Dans cette méthode on remplace la dérivée dans la formule de récurrence de Newton
par le taux d’accroissement de f sur un petit intervalle.
Algorithme
Données :
x0 et x1 deux valeurs initiale de la racine et valeur admissible de l’erreur
Faire :
xn+1 = xn −
Test d’arrêt :
Si (Erreur ≤ ) alors (x = xn+1 ) sinon reFaire
f (xn )(xn −xn−1 )
f (xn )−f (xn−1 )
Critère d’arrêt
Le même que la méthode de Newton.
Représentation graphique
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
Figure 2.3 – Illustration de l’algorithme de la méthode de la sécante
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