TD-TP#1 - moodle@insa

TP1 Tracé de courbes paramétrés et EDO
Pour tracer un cercle de centre (0, 0) et de rayon r = 1, on peut tracer la courbe paramétrée
{(x(t) = cos t, y(t) = sin t) , t ∈ [0, 2π[}
en utilisant un grand nombre de valeurs de t.
1. Montrez que l’on obtient aussi ce cercle en considérant le système différentiel
 0
x (t) = −y(t),


 0
y (t) = x(t),
x(0) = 1,



y(0) = 0.
2. Montrer que (1) se met sous la forme
 0
 X (t) = A0 .X,
1
,
 X(0) =
0
avec A0 =
0 −1
1 0
(1)
(2)
et que la solution de se met sous la forme
1
x(t)
.
= exp A0 t.
0
y(t)
Calculer exp A0 t
2π
3. On pose h =
. Montrez que la méthode d’Euler explicite appliquée à (1) conduit à calculer les
n
points Pk de coordonnées
1 −h
1
xk
.
avec Ah =
= Akh
h 1
0
yk
k
4. Montrez que pour tout k ≥ 0, (ATh )k Akh = ATh Ah . En déduire que les coordonnées de Pk vérifient
x2k + yk2 = (1 + h2 )k . Les points Pk sont-ils sur le cercle ? Programmer en python la méthode d’Euler
explicite sur l’intervalle [0, 8π] avec différentes valeurs de h. Tracer la suite des points
5. Montrez que la méthode d’Euler implicite conduit à calculer des points Qk dont les coordonnées
1
vérifient cette fois x2k + yk2 =
. Programmer en python la méthode d’Euler implicite sur
(1 + h2 )k
l’intervalle [0, 8π] avec différentes valeurs de h. Tracer la suite des points
6. On peut définir un nouveau schéma implicite pour résoudre le problème
0
u (t) = f (t, u(t)), t > 0,
(3)
u(0) = u0 .
en posant, pour k ≥ 0 :
h
(f (tk , uk ) + f (tk+1 , uk+1 )) .
(4)
2
Programmer en python cette méthode sur l’intervalle [0, 8π]avec différentes valeurs de h. Comparer
aux autres méthodes.
Cette méthode s’appelle méthode implicite du trapèze. Montrez qu’en l’utilisant pour le problème (1),
les points Mk que l’on calcule ont des coordonnées qui vérifient x2k + yk2 = 1 pour tout k.
uk+1 = uk +
7. Montrez que le schéma (4) est inconditionnellement stable.
8. Montrez que (4) est équivalent à la mise en oeuvre d’un pas la méthode d’Euler explicite sur l’intervalle
h
h
[tn , tn + ] et d’un pas de la méthode d’Euler implicite sur l’intervalle [tn + , tn+1 ].
2
2
9. Quelle méthode obtient-on lorsque l’on permute les méthodes implicite et explicite à la question
précédente ? Est-elle inconditionnellement stable ?
10. Ordre des méthodes : Evaluer théoriquement l’ordre des méthodes utilisées en 3,5,6. Tracer (en loglog)
pour differentes valeurs de n (typiquement n = 2p pour p = 4, 6, 8, ..., 32) . Ces résultats sont ils
conformes à vos estimations théoriques ?