ARITHMÉTIQUE Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

− Troisième −
Chap.01
ARITHMÉTIQUE
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
1−
− Division euclidienne (Rappel de 6ème)
Définition :
a, b et k sont 3 nombres entiers,
SI
a=bxk
ALORS on dit que : b est un diviseur de a ou a est divisible par b ou a est un multiple de b
ou b divise a.
Exemple :
612 : 17 = 36 donc 612 = 17 x 36
612 est un multiple de 17 (et de 36)
On dit aussi : 612 est divisible par 17 (et par 36) ;
17 est un diviseur de 612 (et 36 aussi) ;
17 divise 612 (et 36 aussi).
Remarque :
2012 : 25 = 80,48
80,48 n’est pas un nombre entier donc 2012 n’est pas divisible par 25.
La division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier consiste à
trouver deux nombres entiers appelés le quotient et le reste tels que :
Dividende = (diviseur × quotient) + reste
Exemple :
avec
Dividende
Diviseur
Reste
Quotient
reste < diviseur
342 = (8 × 42) + 6 et 6 < 8.
2−
− PGCD de deux nombres entiers
a- Définition et propriété
Définition : un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier.
Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est
plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Notation : PGCD (a ; b)
Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8
Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
donc : PGCD (8 ; 12) = 4
Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples :
(1) 25 et 28 sont premiers entre eux.
Diviseurs de 25 : 1, 5 et 25
Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14 et 28
Donc PGCD (25 ; 28) = 1
(2) 24 et 34 ne sont pas premiers entre eux car 24 et 34 sont pairs donc PGCD (24 ; 34) >1
− Chap.01 −
1
http://jacobinsmaths.free.fr
− Troisième −
b−
− Méthode des soustractions successives
Propriété : si k est un diviseur de a et
de b alors k est un diviseur de (a – b).
Démonstration :
k est un diviseur de a et de b donc a = k x a’ et b = k x
a – b = k x a’ – k x b’ = k x (a’ – b’)
Par conséquent k est diviseur de (a – b)
Conséquence : prenons a > b, d’après la propriété précédente, on a
b’
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Exercice type :
Enoncé : Déterminons le PGCD 448 et de 576 :
Solution 1 : j’utilise la méthode des soustractions successives
576 – 448 = 128
448 – 128 = 320
320 – 128 = 192
192 – 128 = 64
128 – 64 = 64
64 – 64 = 0
B2i
(Je calcule la différence des 2 nombres)
(Je considère les 2 nombres les plus petits 448 et 128, je calcule leur différence)
Le PGCD est la dernière différence non nulle :
PGCD (576 ; 448) = 64
Calcul du PGCD de 576 et 448 avec un tableur.
1
2
3
4
5
6
7
8
− Chap.01 −
A
a
576
448
128
128
128
64
64
B
b
448
128
320
192
64
64
0
C
= min(A2;B2)
= max(A2;B2) – min(A2;B2)
On sélectionne les cases A3 et
B3, puis on les copie en dessous.
2
http://jacobinsmaths.free.fr
− Troisième −
c−
− Méthode des divisions (Algorithme d’Euclide)
Solution 2 : j’utilise l’algorithme d’Euclide
Dividende
Diviseur
Reste
(Je calcule la division euclidienne de 576 et 448)
576
448
128
(Je recommence avec 448 et 128)
448
128
64
128
64
0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (576 ; 448) = 64
Remarques : (1) la division euclidienne est vue en sixième.
576 = 448 x 1 + 128
576 448
tel que 128 < 448
(Reste plus petit que le diviseur)
128
1
(2) 576 = 64 × 9 et 448 = 64 × 7
Exercice type :
Enoncé :
1. 126 et 210 sont-ils premiers entre eux ?
2. Calculer le PGCD des nombres 126 et 210. (Indiquer la méthode utilisée)
3. Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.
Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre
de roses.
a. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
b. Donner la composition de chacun d’eux.
Solution :
1. Deux nombres sont premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur est 1.
126 et 210 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux.
2. J’utilise l’algorithme d’Euclide :
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Dividende
Diviseur
reste
210
126
84
126
84
42
84
42
0
PGCD (126 ; 210) = 42
3.
a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 210 et 126
De plus, il veut composer un maximum de bouquets, donc on doit calculer le PGCD de 210 et 126 (déjà fait à la question
2.)
Par conséquent, Il peut réaliser au maximum 42 bouquets identiques.
b.
− Chap.01 −
126 ÷ 42 = 3
210 ÷ 42 = 5
Chaque bouquet sera composé de 3 iris et 5 roses.
3
http://jacobinsmaths.free.fr
− Troisième −
3−
− Fractions irréductibles
Définition : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur de cette fraction
sont premiers entre eux.
Remarque : cela veut dire que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : PGCD (21 ; 44) = 1 donc 21 et 44 sont premiers entre eux.
21
Donc la fraction
est irréductible.
44
Propriété : la fraction
a
est simplifiable par PGCD (a ; b) et la fraction obtenue est irréductible.
b
Exemple : le PGCD de 576 et 448 est 64 (D’après 2.)
576
576 9×64 9
En simplifiant la fraction
par 64, on obtient :
=
= .
448
448 7×64 7
9
La fraction est irréductible.
7
Exercice type :
Enoncé :
170
.
578
1. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible.
2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes de calculs).
170
3. Ecrire la fraction
sous forme irréductible.
578
On considère la fraction :
Solution :
1. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
170 et 578 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
170
est irréductible.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux et
578
2. J’utilise l’Algorithme d’Euclide :
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Dividende
Diviseur
578
170
170
68
68
34
PGCD (170 ; 578) = 34
reste
68
34
0
3. Il suffit maintenant de simplifier la fraction par 34, et la fraction obtenue sera irréductible :
5
170 5 x 34
=
=
578 17 x 34 17
Remarque : avant d’utiliser cette propriété, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide des
120 12 3
critères de divisibilité :
=
=
.
80
8 2
− Chap.01 −
4
http://jacobinsmaths.free.fr