CHAPITRE 2 : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

CHAPITRE 2 : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Objectifs :
•
[3.210] Trouver tous les diviseurs d'un nombre entier naturel.
•
[3.211] Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux nombres entiers (soustractions,
Euclide)
•
[3.212] Calculer le PGCD de deux nombres entiers.
•
[3.213] Déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux (notion de PGCD)
•
[3.214] Simplifier une fraction pour la rendre irréductible
•
[3.215] Effectuer des calculs simples (une seule opération) avec des fractions.
•
[3.216] Effectuer des calculs complexes (plusieurs opérations) avec des fractions.
I. Rappels
Vocabulaire à connaître :
a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a=b×k (ou a ÷ b=k ) où k est un entier naturel. On dit
que :
ou
a est un multiple de b
ou
a est divisible par b
ou
b est un diviseur de a
b divise a .
Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b , c'est trouver deux entiers naturels q et r tels
que : a= b× q r avec r b .
a
b
q
r
est appelé le dividende,
le diviseur,
le quotient,
le reste de cette division euclidienne.
II. Plus Grand Diviseur Commun
Définitions :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Le PGCD de deux nombres entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun.
Exemples :
* 2 est un diviseur commun à 6 et à 10.
* les nombres 12 et 18 ont pour diviseurs communs 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand d'entre eux est 6 ; on dit que 6 est
le PGCD de 12 et 18.
C'est l'Algorithme d'Euclide qui permet de trouver le plus rapidement le PGCD de deux nombres :
Méthode des soustractions successives
On a deux nombres
a et b avec a > b
On a deux nombres a et b
avec a > b
On calcule la différence (d)
de a et de b
non
d=0?
Méthode des divisions successives
On calcule le reste (r) de
la division de a par b
si b < d
a prend la valeur de d
sinon
a prend la valeur de b
b prend la valeur de d
oui
PGCD = b
r=0?
non
a prend la valeur de b
b prend la valeur de r
oui
PGCD = b
III.Fractions irréductibles
Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Propriété : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
Exemples :
14
•
est une fraction irréductible car 14 et 11 sont premiers entre eux.
11
34
•
n'est pas une fraction irréductible : le PGCD de 34 et 28 est 2, en simplifiant par 2, on a :
28
34 17
=
28 14