series exos matrices id rt1

Série d’exercices sur les matrices
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Exercice 1 Soient
(
M=
1 3
2 4
0
1
)

−2

, N =
 1
0
3
2
1
−
2
0
RT1/ID1




Montrer que M N = I2 et que N M ̸= I3 .
Exercice 2 Soit A et B deux matrices quelconques de M2 (R).
– On suppose que
(
A=
1 1
0 1
)
(
, B=
1
1
0
1
)
comparer (A + B)2 et A2 + 2AB + B 2 .
– En déduire sous quelle condition on a : (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 en général.

Exercice 3 Soit

1
1 
−1
−1 1
A =  1 −1
1
1
1. Calculer le déterminant de A. La matrice A est elle inversible ?
2. Montrer que
A2 = 2I3 + A
(1)
3. Résoudre le système linéaire



AX = B

x
1
avec X =  y  et B =  2 .
z
3
Indication : On peut utiliser la formule (1) pour le calcul de A−1 .
4. Retrouver A−1 en utilisant le pivot de Gauss.
Exercice 4
– Calculer l’inverse des matrices suivantes
(
)
(
)
1 1
cos θ − sin θ
A=
, B=
0 1
sin θ
cos θ
où θ ∈ [0,π] est un réel fixé.
(
– Soit
D=
1 −1
2 4
)
calculer D2 − 5D + 6I2 . En déduire D−1 .
Exercice 5 Soit A une matrice de taille n × n. On appelle matrice de cofacteurs de A, ou
comatrice de A, la matrice com A, de terme général :
com A = c
i,j
i,j
où ci,j est le cofacteur (i,j) de A. On admet que si det(A) ̸= 0, alors l’inverse est donnée par
A−1 =
(
Soit
A=
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed
1 t com
A
det(A)
1 −1
2 −4
)
Année 2011/2012
ISCAE de Nouakchott
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RT1/ID1
1. Calculer com A et det(A).
2. Calculer A−1 .
Exercice 6 Soit M une matrice de Mn (R), c’est à dire une matrice de taille n × n. On appelle
trace de M le nombre réel :
T r(M ) =
n
∑
mi,i = m1,1 + m2,2 + m3,3 + · · · + mn,n .
i=1
(
Soit
A=
1
2
−1
−4
)
(
, B=
3 −11
1
2
)
1. Calculer T r(A) et T r(B).
2. Calculer T r(AB) et T r(BA).
3. On supose que A et B sont deux matrices quelconques de M2 (R). Montrez que
T r(AB) = T r(BA)
(
4. Soit M =
2 1
−1 0
)
, calculer M 2 − T r(M )M + det(M )I2 . En déduire M −1 .
5. On pose P (X) = X 2 − 2X + 1. Résoudre l’équation P (X) = 0. Trouver un vecteur v ∈ R2
non nul tel que M v = v.
Exercice 7 Soit






1
1 1 1
−2 1 9
1
9 11 5
21
 2
 7 3 2 13 
 6
4 2 1 
5 −4 −3 




.
A=
 1 −1 1 1  , B =  8 0 17 1  , C =  −3 3
1 −1 
−2 −4 2 −1
4 3 11 −1
5
1
5
6
1. Calculer det(A), det(B), det(C).
2. Calculer A−1 .
Exercice 8 Soit

−1
A =  −1
−1





−2 −4
x
1
−3 −9  , X =  y  et B =  −2 
1 −1
z
1
1. Calculer det(A). La matrice A est-elle inversible ?
2. Calculer l’inverse de A.
3. Résoudre le système AX = B.
Exercice 9 Soit A ∈ M2 (R). On suppose que A commute avec toutes les matrices de M2 (R).
Cela veut dire que
∀B ∈ M2 (R) : AB = BA
Montrer que A est de la forme A = λI2 avec λ ∈ R.
(
)
a b
Exercice 10 Soient a et b des réels non nuls et A =
. Trouver toutes les matrices
0 a
B ∈ M2 (R) qui commutent avec A, c’est-à-dire telles que AB = BA.
Exercice 11 Soient (an ), (bn ) et (cn ) trois suites réelles telles que a0 = 1, b0 = 2, c0 = 7, et
vérifant les relations de récurrence :

 an+1 = 3an + bn
bn+1 = 3bn + cn

cn+1 = 3cn
On souhaite exprimer an , bn , et cn uniquement en fonction de n.
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed
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RT1/ID1


an
1. On considère le vecteur colonne Xn =  bn . Trouver une matrice A telle que Xn+1 =
cn
AXn . En déduire que Xn = An X0 .


0 1 0
2. Soit N =  0 0 1 . Calculer N 2 , N 3 et N p pour p ≥ 3.
0 0 0
3. En écrivant A comme somme de deux matrices, montrer que
An = 3n I3 + 3n−1 nN + 3n−2
n(n − 1) 2
N
2
4. En déduire an , bn , et cn en fonction de n.
Exercice 12 On considère les matrices à coefficients réels P et Q définies par :


1 1 1
1
P =  1 1 1  , Q = (I3 + P ).
4
1 1 1
1. Calculer P 2 , P Q et QP en fonction de P .
2. Calculer les produits (4I3 − P )Q et Q(4I3 − P ). Qu’en concluez-vous pour la matrice Q ?
3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n ∈ N, il existe des réels an et bn tels
que :
Qn = an I3 + bn P
Les suites (an ) et (bn ) vérifiant les relations de récurrence :
{
an+1
bn+1
=
=
1
4 an
1
4 an
+ bn
avec a0 = 1 et b0 = 0.
4. En déduire an en fonction de n.
5. Justifier que pour tout entier n non nul on a
n−1
∑
(bk+1 − bk ) = bn .
k=0
6. En déduire que pour tout entier n on a
bn =
1
1
(1 − n )
3
4
7. Donner alors l’expression, sous forme matricielle, de Qn en fonction de l’entier n.
8. On consdière les suites



xn
 xn+1 = 14 (2xn + yn + zn )
yn+1 = 14 (xn + 2yn + zn ) , avec x0 = 1, y0 = z0 = 0 et on pose Un =  yn 

zn
zn+1 = 14 (xn + yn + 2zn )
(a) Déterminer U0 et U1 et vérifier que pour tout n ∈ N on a
Un+1 = QUn , puis queUn = Qn U0
(b) En déduire l’écriture de : xn ,yn ,zn en fonction de n puis leur limite lorsque n tend vers
plus l’infini.
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed
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