Mathématiques Géométrie métrique Géométrie métrique : Angles

Géométrie métrique : Angles non orientés du plan
Définition. (Angle non orienté)
Dans le plan, un angle non orienté est une portion de plan déterminée par
deux demi-droites de même origine. Il y en a deux, et on doit préciser
lequel on considère, généralement en dessinant un arc de cercle.
B
Mathématiques
B
O
Géométrie métrique
les demi-droites. Il se mesure en degrés.
• L’angle nul correspond à des demi-droites confondues. Cette
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Angles non orientés dans l’espace, perpendicularité
Angles correspondants, alternes internes-alternes externes, opposés
Une sécante détermine avec deux droites parallèles des angles opposés
par le sommet, alternes internes, correspondants et alternes externes de
même amplitude.
dans l’espace, trois cas peuvent se produire :
3
situation correspond aussi à l’angle plein : 360◦ ;
• L’angle plat correspond à deux demi-droites distinctes [O, A et [O, B
telles que A, O, B soient alignés. Il vaut 180◦ ;
• Un angleP.droit
correspond à 90◦ (ou 270◦ ).
Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
Quelques théorèmes sur les angles non orientés
• Etant donné deux demi-droites de même origine [O, A[ et [O, B[
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A
• L’angle non orienté est indépendant de l’ordre dans lequel on précise
Département de Mathématique
Faculté des Sciences
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α0
A
Pierre Mathonet
Liège, printemps 2016
O
α
Les points A, O et B ne sont pas alignés, alors ils déterminent un
plan unique, et l’angle des demi-droites [O, A[ et [O, B[ est défini
dans ce plan.
Les points A, O, B sont alignés et les demi-droites [O, A[ et [O, B[
sont confondues. Alors l’angle de ces demi-droites vaut 0◦ ou 360◦ .
Les points A, O, B sont alignés et les demi-droites [O, A[ et [O, B[ ne
sont pas confondues. Alors l’angle de ces demi-droites vaut 180◦ .
α
β
γ
• Deux droites du plan ou de l’espace sont perpendiculaires si elles
sont sécantes et si les angles qu’elles déterminent sont droits.
δ
• Deux droites de l’espace sont orthogonales si elles sont parallèles (2
à 2) à des droites perpendiculaires.
Figure: Des angles égaux déterminés par une sécante sur des parallèles.
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
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Angles à côtés parallèles ou perpendiculaires
Géométrie euclidienne : distances
Proposition. (Angles égaux ou supplémentaires)
Des angles à côtés parallèles sont soit égaux, soit supplémentaires. Des
angles à côtés perpendiculaires sont soit égaux, soit supplémentaires.
• En géométrie, la distance entre deux points A et B dans le plan ou
dans l’espace est mesurée avec une latte graduée. Elle s’exprime en
cm, m, ... On la note d(A, B) ou encore AB.
• En physique, c’est généralement l’intensité d’une force.
Théorème de Pythagore
Un triangle équilatéral et une médiane :
Soient A, B, C des points non alignés. Alors le triangle ABC est rectangle
en C si et seulement si on a
C
2
A
5
60◦
D
2
2
AB = AC + BC .
30◦
Remarque : BC = CB. Il s’agit de la distance, pas du vecteur.
B
Figure: Un triangle équilatéral et des angles de 60◦ et 30◦ .
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
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Distances et reprères
Cas particulier : repères orthonormés
• En géométrie, un repère orthonormé du plan est un repère où les
Calcul de la distance dans un système d’axes :
y
a2
O E1
• Un repère orthonormé de l’espace est formé de trois axes
B
b2
1
E2
0 1
axes sont perpendiculaires et où les points E1 , E2 sont à la même
distance de O.
perpendiculaires deux à deux, où les points E1 , E2 , E3 sont à la
même distance de O.
A
C C0
a1
x
y
b1
• Pour que cela ait un sens, il faut les mêmes unités sur les deux axes !
pour calculer la distance.
O
• Les coordonnées de C 0 ne sont pas faciles à trouver.
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A
C : (b1 , a2 )
1
• Les coordonnées de C sont faciles à trouver, mais ne servent à rien
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B
b2
a2
1
a1
x
b1
Les longeurs des segments [A, C ] et [C , B] sont données par |b1 − a1 | et
|b2 − a2 | respectivement.
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Calcul de la distance dans un repère orthonormé
Vecteurs libres en géométrie euclidienne
Proposition
• En géométrie euclidienne, les nombres calculés via (1) ou (2) sont
Dans un repère orthonormé du plan, la distance du point A ayant pour
coordonnées (a1 , a2 ) au point B ayant pour coordonnées (b1 , b2 ) est
donnée par
p
(1)
d(A, B) = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 .
−→
−→
appelés longueur ou norme du vecteur AB. On la note |AB| ou
−→
kABk.
• En sciences, on parle rarement de longueur, mais bien de norme. Si
→
−
v modélise une force, alors sa norme est son intensité (et s’exprime
donc dans les unités adéquates).
• Nous avons défini un vecteur libre comme un ensemble de couples
équipollents. En géométrie euclidienne, puisqu’on a la notion de
norme à disposition, on peut donner une autre caractérisation : un
vecteur non nul est caractérisé par
Dans un repère orthonormé de l’espace la distance du point A ayant pour
coordonnées (a1 , a2 , a3 ) au point B ayant pour coordonnées (b1 , b2 , b3 )
est donnée par
p
d(A, B) = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 .
(2)
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Exemple : dans un repère orthonormé du plan, la distance entre
A : (−2, 4) et B : (3, 5) est
p
√
(3 − (−2))2 + (5 − 4)2 = 26.
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2
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sa direction (une droite dont c’est un vecteur directeur);
sa norme;
son sens.
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Cercles et sphères
Angle de deux vecteurs, orthogonalité
Définition
−
−
Si →
u et →
v sont des vecteurs libres, on les lie en un point et on a deux
angles :
Le cercle de centre C et de rayon r > 0 est l’ensemble de tous les points
X du plan qui sont à une distance r de C .
C
Dans un repère orthonormé du plan, si C : (c1 , c2 ), alors un point X de
coordonnées (x , y ) est sur le cercle en question si, et seulement si
→
−
v
A
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 = r 2 .
→
−
u
Définition
α
360◦ − α
B
La sphère de centre C et de rayon r > 0 est l’ensemble de tous les points
X de l’espace qui sont à une distance r de C .
Définition. (Angle de deux vecteurs)
Dans un repère orthonormé de l’espace, si C : (c1 , c2 , c3 ), alors un point X de
coordonnées (x , y , z) est sur la sphère en question si, et seulement si
−
−
L’angle de deux vecteurs libres →
u et →
v est le plus petit des deux angles
que ces vecteurs définissent quand on les lie en un point. C’est donc un
angle compris entre 0◦ et 180◦ .
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 + (z − c3 )2 = r 2 .
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
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Vecteurs orthogonaux
Condition de perpendicularité de droites
Proposition
Définition. (Vecteurs orthogonaux)
Dans un repère orthonormé, les droites d ≡ ax + by + c = 0 et
d 0 ≡ a0 x + b 0 y + c 0 = 0 sont perpendiculaires si, et seulement si, on a
−
−
Des vecteurs non nuls →
u et →
v sont orthogonaux si l’angle qu’ils
◦
définissent vaut 90 . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
a a0 + b b 0 = 0.
Proposition. (Condition d’orthogonalité)
Dans un repère orthonormé, d ≡ y = mx + p et d 0 ≡ y = m0 x + p 0 sont
perpendiculaires si, et seulement si, on a
−
−
Des vecteurs →
u et →
v donnés par leurs composantes dans un repère
→
−
−
orthonormé u : (u1 , u2 ) et →
v : (v1 , v2 ) sont orthogonaux si, et seulement
si, on a
u1 v1 + u2 v2 = 0.
(3)
m m0 + 1 = 0.
Dans un repère orthonormé, si d ≡ ax + by + c = 0, alors le vecteur
→
−
n : (a, b) est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de d.
Preuve : C’est le théorème de Pyhtagore.
Exemples : SI on se donne les vecteurs dans un R.O.,
−
−
• les vecteurs →
u : (3; 4) et →
v : (−1; 2) ne sont pas orthogonaux
−
−
• les vecteurs →
u : (4; 1) et →
v (2; −8) sont ortogonaux.
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Exemple : Les droites d ≡ 3x + 2y = 5 et d 0 ≡ 2x − 3y = 7 sont
perpendiculaires.
Exercice : Ecrire une équation de la perpendiculaire à d passant par
A : (2, 5).
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Médiatrice d’un segment
Angles orientés du plan
• Dans le plan, on a deux sens de rotation :
1 Le sens trigonométrique positif, opposé à celui des aiguilles de la
montre;
2 Le sens trigonométrique négatif : celui des aiguilles de la montre.
Définition
La médiatrice du segment [A, B] est l’ensemble des points du plan situés
à égale distance de A et B.
Proposition
C
C
Dans un repère orthonormé, si A : (a1 , a2 ) et B : (b1 , b2 ), alors la
médiatrice de [A, B] a pour équation
B
−315◦
(b1 − a1 )(2x − (a1 + b1 )) + (b2 − a2 )(2y − (a2 + b2 )) = 0
A
315
◦
−45◦
• Dans l’espace, il n’y a pas de sens trigonométrique privilégié, donc pas
d’angle orienté entre deux demi-droites ou deux vecteurs.
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A
[ vaut 45 degrés. L’angle CBA
d vaut 315 degrés (ou -45
L’angle ABC
degrés). On peut prendre comme convention un angle entre 0◦ et 360◦
En particulier, c’est une droite qui est prependiculaire à AB et qui
contient le mileiu de [A, B].
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B
45◦
P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.