Algèbre 1 - Université de Liège

Activités préparatoires MATH IV
Médecine et Dentisterie
I : Algèbre 1
Pierre Mathonet
Département de Mathématique
Faculté des Sciences
Liège, le 18 Août 2014
Présentation et contenu du cours
• Intervenants : P. Mathonet et E. Zihindula
• Contenu du cours préparatoire :
• Algèbre : Nombres et opérations, équations à une inconnue et
systèmes d’équations
• Trigonométrie : définitions des nombres trigonométriques,
propriétés, équations trigonométriques élémentaires
• Géométrie : Géométrie analytique plane élémentaire, notions sur les
droites et les angles, quelques théorèmes classiques
• Analyse : fonctions, limites, dérivées et intégrales, fonctions
élémentaires
• But du cours :
• Réactiver les notions mathématiques principales
• Attirer l’attention sur les points délicats
• Donner quelques méthodes pour améliorer la performance en
mathématique.
• Pouvoir poser vos questions
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
Informations importantes
• Accès à la plateforme de cours préparatoires en ligne :
• Etudiants inscrits avant le 12 août : ont accès à la plateforme
jusqu’au 15/9, identifiant reçu par mail
• Etudiants inscrits après le 12 août : auront accès des le 21/8, ...
• Démonstration par M. Y. Marnette, le 20/8, au début du cours
prépa de chimie
• Utilité : un texte complet, des exercices résolus et des exercices à
faire, des tests.
• Accès à mon site web : www.geodiff.ulg.ac.be (accès aux
présentations utilisées cette semaine)
• Accès au Sart-Tilman en voiture :
• Chercher les numéros de parking
• Attention aux routes sinueuses
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Nombres
Les ensembles de nombres classiques :
• Les nombres naturels : N = {0, 1, 2, . . .}, et N0 = N \ {0} ;
• Les nombres entiers : Z = N ∪ {−1, −2, −3, −4, . . .}, et
Z0 = Z \ {0} ;
• Les nombres rationnels : Q = { ba |a ∈ Z, b ∈ Z0 }, modulo
l’équivalence des fractions, et Q0 = Q \ {0} ;
Quelques remarques :
• Tous ces nombres admettent un développement décimal fini ou infini
périodique.
• On compte naturellement avec les naturels
• Dans Z, tout nombre a admet un opposé, noté −a, tel que
a + (−a) = 0. On pense en termes de gains et pertes.
• Dans Q, tout nombre non nul a admet un inverse, noté 1a , tel que
a. 1a = 1. On pense en termes de fractions
Si on ajoute les nombres avec des développement décimaux quelconques,
on a les nombres réels (R). On a
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
4
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Propriétés des nombres réels
Proposition 1.1
Les opérations dans les nombres réels satistfont les propriétés suivantes :
1 (a + b) + c = a + (b + c) pour tous a, b, c ∈ R (l’addition est associative) ;
2 a + 0 = 0 + a = a pour tout a ∈ R(l’addition admet un neutre 0) ;
3 a + b = b + a pour tous a, b ∈ R (l’addition est commutative) ;
4 Pour tout a ∈ R, il existe un nombre noté −a et appelé l’opposé de a, tel que
a + (−a) = (−a) + a = 0, ;
5 (a.b).c = a.(b.c) pour tous a, b, c ∈ R (la multiplication est associative) ;
6 a.1 = 1.a = a pour tout a ∈ R (la multiplication admet un neutre 1) ;
7 a.b = b.a pour tous a, b ∈ R (la multiplication est commutative).
8 Pour tout nombre a ∈ R \ {0} = R∗ , il existe un nombre noté 1a ou a−1 et
appelé l’inverse de a, tel que a.( 1a ) = ( 1a ).a = 1, ;
9 Pour tous a, b, c ∈ R, a.(b + c) = a.b + a.c et (b + c).a = b.a + c.a.
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Opérations et priorités
• Opérations sur les fractions (quotients), les dénominateurs sont
supposés non nuls, ils peuvent être entiers ou non
1
Multiplication :
2
Division :
3
Addition :
4
Soustraction :
a c
ac
. =
.
b d
bd
a c
ad
: =
.
b d
bc
c
ad +bc
a
+ =
.
b
d
bd
a
c
ad −bc
− =
.
b
d
bd
6
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Opérations et priorités
• Opérations sur les fractions (quotients), les dénominateurs sont
supposés non nuls, ils peuvent être entiers ou non
•
•
•
•
1
Multiplication :
2
Division :
3
Addition :
4
Soustraction :
a c
ac
. =
.
b d
bd
a c
ad
: =
.
b d
bc
c
ad +bc
a
+ =
.
b
d
bd
a
c
ad −bc
− =
.
b
d
bd
Tout nombre entier est une fraction : 3 = 31 .
Attention aux parenthèses implicites
Attention à la place et à la tailledes barres de fractions
Priorité :
P E (M D) (A S)
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Produits remarquables
Proposition 1.2
Les identités suivantes sont valables pour tous a, b, c, d ∈ R.
2
2
2
1 (a + b) = a + 2a b + b ;
2
(a − b)2 = a2 − 2a b + b 2 ;
3
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ;
4
(a + b)(a − b) = a2 − b 2 .
5
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 ;
6
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3 ;
7
a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 ) ;
8
a3 + b 3 = (a + b)(a2 − ab + b 2 ) ;
• Remarque : Les identités se lisent dans les deux sens.
• Exercice : Démontrer ces formules à l’aide des propriétés des
nombres réels.
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Valeurs absolues et intervalles de nombres
Les intervalles bornés :
1 [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b} (intervalle fermé) ;
2 ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} (intervalle ouvert) ;
3 [a, b[= {x ∈ R : a 6 x < b} (intervalle semi-ouvert) ;
4 ]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b} (intervalle semi-ouvert).
a
0
1
0
1
a
b
b
a
a
0
1
b
0
1
b
Les intervalles non bornés :
1
2
]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x } et ] − ∞, a[ = {x ∈ R : x < a} (ouverts)
[a, +∞[= {x ∈ R : a 6 x } et ] − ∞, a] = {x ∈ R : x 6 a} (fermés)
Définition 1.3
Si x est un réel, on appelle module de x , ou valeur absolue de x le
nombre |x | = max{−x , x }. (C’est à dire le nombre positif dans {x , −x }.)
√
√
√
On a donc | − 2| = | 2| = 2, |π − 4| = 4 − π etc...
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Puissances naturelles
Définition 1.4
Pour tout nombre a et tout naturel n ∈ N0 , on a
an = a × · · · × a .
| {z }
n facteurs
On pose a0 = 1, si a 6= 0. Dans l’expression an , a est la base et n est l’exposant.
Rem. : Pour a = 0 et n 6= 0, on a an = 0.
Proposition 1.5
Pour tout nombres a, b ∈ R0 et tous m, n ∈ N, on a
1
am an = am+n ;
2
(am )n = amn ;
3
si m > n,
4
(ab)m = a b .
am
an =
m m
am−n ;
9
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Notation scientifique I
L’idée : 102 = 100, 103 = 1000,..., 109 = 1000 000 000,...
Définition 1.6
Pour tout nombre x tel que |x | > 1, il existe un nombre a tel que
1 6 a < 10 et un naturel n tel que
x = a × 10n ,
ou x = −a × 10n .
Cette expression de x est appelée notation scientifique, a est la mantisse,
et n l’exposant.
Exemples : 3400 = 3, 4 × 1000 = 3, 4 × 103 , −27000 = −2, 7 × 104 ou
−340 = −3, 4 × 102 .
Méthode de conversion : On déplace la virgule. (Tout nombre peut
être écrit avec une virgule).
Utilité : “Voir” les ordres de grandeur, mutliplier des grands nombres.
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Puissances entières
L’idée : compléter la suite des puissances de 10 :
1 = 100 , 10 = 101 , 100 = 102 , 1000 = 103 , 1000 000 = 106 . . .
en incluant les fractions
1
1
1
1
= 10−1 ,
= 10−2 ,
= 10−3 ,
= 10−6 , . . .
10
100
1000
1000 000
que l’on peut lire
0, 1 = 10−1 , 0, 01 = 10−2 , 0, 001 = 10−3 ,
0, 0001 = 10−4 , 0, 000001 = 10−6 ,
Cela permet d’écrire par exemple 0, 00043 = 4, 3 × 10−4 .
Definition 1
Pour tout a ∈ R0 et n ∈ N, on définit a−n =
1
an .
Rem. : Cette notation avec des exposants négatifs est utilisée en sciences
pour les unités. m.s −2 = sm2 .
Proposition 1.7
11
L’identité an =
1
a−n
est vraie pour tous a ∈ R0 et n ∈ N.
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Propriétés et notation scientifique II
Proposition 1.8
Pour tout nombres a, b ∈ R0 et tous m, n ∈ Z, on a
m n
m+n
1 a a =a
;
2
(am )n = amn ;
3
am
an
4
(ab)m = am b m .
= am−n ;
Définition 1.9
Pour tout nombre x non nul, il existe un nombre a tel que 1 6 a < 10 et
un entier n tel que
x = a × 10n ,
ou x = −a × 10n .
Cette expression de x est appelée notation scientifique, a est la mantisse,
et n l’exposant.
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Racines carrées et cubiques
Définition 1.10
La racine carrée (positive) du nombre réel a est l’unique nombre positif x
√
satisfaisant x 2 = a. Elle est notée a. Elle n’existe que si a > 0.
√
Attention : 9 = 3 et pas ±3.
Proposition 1.11
Pour tous a, b > 0, on a
√
√ √
1
ab = a b ;
√
pa
√a
2 si b 6= 0,
=
b
b
√
Pour tout a ∈ R, on a a2 = |a|.
Définition 1.12
La racine cubique du nombre réel a√est l’unique nombre réel x
satisfaisant x 3 = a. Elle est notée 3 a. Elle existe toujours.
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Racines p-èmes
Définition 1.13 (Racines p-èmes, p pair)
Si p est pair, la racine p-ème du nombre réel
√ a est l’unique nombre
positif x satisfaisant x p = a. Elle est notée p a. Elle n’existe que si a > 0.
Définition 1.14 (Racines p-èmes, p impair)
Si p est impair, la racine p-ème du√nombre réel a est l’unique nombre x
satisfaisant x p = a. Elle est notée p a. Elle existe toujours.
Proposition 1.15
1
Si p est naturel pair,
• On a
• On a
2
14
√
p
√
√
p
p
a b pour tous a, b > 0 ;
√
pa
= √
pour tous a > 0, b > 0 ;
p
b
ab =
p
p a
b
Si p est naturel impair,
• On a
• On a
√
p
√
√
p
p
a b pour tous a, b ∈ R ;
√
pa
√
= p b pour tous a ∈ R, b 6= 0 ;
ab =
p
p a
b
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Proposition 1.16
1
2
Si p ou q est pair, on a
q
√
p √
q
a = pq a
pour tout a > 0.
Si p et q sont impairs, on a
q
√
p √
q
a = pq a
pour tout a ∈ R.
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Exposants fractionnaires
1
On généralise (a ) = amn au fractions. On a donc (a n )n = a1 = a.
m n
Définition 1.17
Pour tout a > 0, et tout n ∈ N0 , on pose
1
an =
√
n
a.
et pour tous p, q ∈ N0 , on pose
√
p
√
a q = ( q a)p = q ap .
Définition 1.18
Pour tout a > 0, et tous p, q ∈ N0 , on pose
p
a− q =
1
a
p
q
1
= √
.
q
( a)p
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