Activités préparatoires MATH IV Médecine et Dentisterie I : Algèbre 1 Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, le 18 Août 2014 Présentation et contenu du cours • Intervenants : P. Mathonet et E. Zihindula • Contenu du cours préparatoire : • Algèbre : Nombres et opérations, équations à une inconnue et systèmes d’équations • Trigonométrie : définitions des nombres trigonométriques, propriétés, équations trigonométriques élémentaires • Géométrie : Géométrie analytique plane élémentaire, notions sur les droites et les angles, quelques théorèmes classiques • Analyse : fonctions, limites, dérivées et intégrales, fonctions élémentaires • But du cours : • Réactiver les notions mathématiques principales • Attirer l’attention sur les points délicats • Donner quelques méthodes pour améliorer la performance en mathématique. • Pouvoir poser vos questions 2 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Informations importantes • Accès à la plateforme de cours préparatoires en ligne : • Etudiants inscrits avant le 12 août : ont accès à la plateforme jusqu’au 15/9, identifiant reçu par mail • Etudiants inscrits après le 12 août : auront accès des le 21/8, ... • Démonstration par M. Y. Marnette, le 20/8, au début du cours prépa de chimie • Utilité : un texte complet, des exercices résolus et des exercices à faire, des tests. • Accès à mon site web : www.geodiff.ulg.ac.be (accès aux présentations utilisées cette semaine) • Accès au Sart-Tilman en voiture : • Chercher les numéros de parking • Attention aux routes sinueuses 3 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Nombres Les ensembles de nombres classiques : • Les nombres naturels : N = {0, 1, 2, . . .}, et N0 = N \ {0} ; • Les nombres entiers : Z = N ∪ {−1, −2, −3, −4, . . .}, et Z0 = Z \ {0} ; • Les nombres rationnels : Q = { ba |a ∈ Z, b ∈ Z0 }, modulo l’équivalence des fractions, et Q0 = Q \ {0} ; Quelques remarques : • Tous ces nombres admettent un développement décimal fini ou infini périodique. • On compte naturellement avec les naturels • Dans Z, tout nombre a admet un opposé, noté −a, tel que a + (−a) = 0. On pense en termes de gains et pertes. • Dans Q, tout nombre non nul a admet un inverse, noté 1a , tel que a. 1a = 1. On pense en termes de fractions Si on ajoute les nombres avec des développement décimaux quelconques, on a les nombres réels (R). On a N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 4 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Propriétés des nombres réels Proposition 1.1 Les opérations dans les nombres réels satistfont les propriétés suivantes : 1 (a + b) + c = a + (b + c) pour tous a, b, c ∈ R (l’addition est associative) ; 2 a + 0 = 0 + a = a pour tout a ∈ R(l’addition admet un neutre 0) ; 3 a + b = b + a pour tous a, b ∈ R (l’addition est commutative) ; 4 Pour tout a ∈ R, il existe un nombre noté −a et appelé l’opposé de a, tel que a + (−a) = (−a) + a = 0, ; 5 (a.b).c = a.(b.c) pour tous a, b, c ∈ R (la multiplication est associative) ; 6 a.1 = 1.a = a pour tout a ∈ R (la multiplication admet un neutre 1) ; 7 a.b = b.a pour tous a, b ∈ R (la multiplication est commutative). 8 Pour tout nombre a ∈ R \ {0} = R∗ , il existe un nombre noté 1a ou a−1 et appelé l’inverse de a, tel que a.( 1a ) = ( 1a ).a = 1, ; 9 Pour tous a, b, c ∈ R, a.(b + c) = a.b + a.c et (b + c).a = b.a + c.a. 5 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Opérations et priorités • Opérations sur les fractions (quotients), les dénominateurs sont supposés non nuls, ils peuvent être entiers ou non 1 Multiplication : 2 Division : 3 Addition : 4 Soustraction : a c ac . = . b d bd a c ad : = . b d bc c ad +bc a + = . b d bd a c ad −bc − = . b d bd 6 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Opérations et priorités • Opérations sur les fractions (quotients), les dénominateurs sont supposés non nuls, ils peuvent être entiers ou non • • • • 1 Multiplication : 2 Division : 3 Addition : 4 Soustraction : a c ac . = . b d bd a c ad : = . b d bc c ad +bc a + = . b d bd a c ad −bc − = . b d bd Tout nombre entier est une fraction : 3 = 31 . Attention aux parenthèses implicites Attention à la place et à la tailledes barres de fractions Priorité : P E (M D) (A S) 6 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Produits remarquables Proposition 1.2 Les identités suivantes sont valables pour tous a, b, c, d ∈ R. 2 2 2 1 (a + b) = a + 2a b + b ; 2 (a − b)2 = a2 − 2a b + b 2 ; 3 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; 4 (a + b)(a − b) = a2 − b 2 . 5 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 ; 6 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3 ; 7 a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 ) ; 8 a3 + b 3 = (a + b)(a2 − ab + b 2 ) ; • Remarque : Les identités se lisent dans les deux sens. • Exercice : Démontrer ces formules à l’aide des propriétés des nombres réels. 7 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. 8 Valeurs absolues et intervalles de nombres Les intervalles bornés : 1 [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b} (intervalle fermé) ; 2 ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} (intervalle ouvert) ; 3 [a, b[= {x ∈ R : a 6 x < b} (intervalle semi-ouvert) ; 4 ]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b} (intervalle semi-ouvert). a 0 1 0 1 a b b a a 0 1 b 0 1 b Les intervalles non bornés : 1 2 ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x } et ] − ∞, a[ = {x ∈ R : x < a} (ouverts) [a, +∞[= {x ∈ R : a 6 x } et ] − ∞, a] = {x ∈ R : x 6 a} (fermés) Définition 1.3 Si x est un réel, on appelle module de x , ou valeur absolue de x le nombre |x | = max{−x , x }. (C’est à dire le nombre positif dans {x , −x }.) √ √ √ On a donc | − 2| = | 2| = 2, |π − 4| = 4 − π etc... P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Puissances naturelles Définition 1.4 Pour tout nombre a et tout naturel n ∈ N0 , on a an = a × · · · × a . | {z } n facteurs On pose a0 = 1, si a 6= 0. Dans l’expression an , a est la base et n est l’exposant. Rem. : Pour a = 0 et n 6= 0, on a an = 0. Proposition 1.5 Pour tout nombres a, b ∈ R0 et tous m, n ∈ N, on a 1 am an = am+n ; 2 (am )n = amn ; 3 si m > n, 4 (ab)m = a b . am an = m m am−n ; 9 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Notation scientifique I L’idée : 102 = 100, 103 = 1000,..., 109 = 1000 000 000,... Définition 1.6 Pour tout nombre x tel que |x | > 1, il existe un nombre a tel que 1 6 a < 10 et un naturel n tel que x = a × 10n , ou x = −a × 10n . Cette expression de x est appelée notation scientifique, a est la mantisse, et n l’exposant. Exemples : 3400 = 3, 4 × 1000 = 3, 4 × 103 , −27000 = −2, 7 × 104 ou −340 = −3, 4 × 102 . Méthode de conversion : On déplace la virgule. (Tout nombre peut être écrit avec une virgule). Utilité : “Voir” les ordres de grandeur, mutliplier des grands nombres. 10 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Puissances entières L’idée : compléter la suite des puissances de 10 : 1 = 100 , 10 = 101 , 100 = 102 , 1000 = 103 , 1000 000 = 106 . . . en incluant les fractions 1 1 1 1 = 10−1 , = 10−2 , = 10−3 , = 10−6 , . . . 10 100 1000 1000 000 que l’on peut lire 0, 1 = 10−1 , 0, 01 = 10−2 , 0, 001 = 10−3 , 0, 0001 = 10−4 , 0, 000001 = 10−6 , Cela permet d’écrire par exemple 0, 00043 = 4, 3 × 10−4 . Definition 1 Pour tout a ∈ R0 et n ∈ N, on définit a−n = 1 an . Rem. : Cette notation avec des exposants négatifs est utilisée en sciences pour les unités. m.s −2 = sm2 . Proposition 1.7 11 L’identité an = 1 a−n est vraie pour tous a ∈ R0 et n ∈ N. P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Propriétés et notation scientifique II Proposition 1.8 Pour tout nombres a, b ∈ R0 et tous m, n ∈ Z, on a m n m+n 1 a a =a ; 2 (am )n = amn ; 3 am an 4 (ab)m = am b m . = am−n ; Définition 1.9 Pour tout nombre x non nul, il existe un nombre a tel que 1 6 a < 10 et un entier n tel que x = a × 10n , ou x = −a × 10n . Cette expression de x est appelée notation scientifique, a est la mantisse, et n l’exposant. 12 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Racines carrées et cubiques Définition 1.10 La racine carrée (positive) du nombre réel a est l’unique nombre positif x √ satisfaisant x 2 = a. Elle est notée a. Elle n’existe que si a > 0. √ Attention : 9 = 3 et pas ±3. Proposition 1.11 Pour tous a, b > 0, on a √ √ √ 1 ab = a b ; √ pa √a 2 si b 6= 0, = b b √ Pour tout a ∈ R, on a a2 = |a|. Définition 1.12 La racine cubique du nombre réel a√est l’unique nombre réel x satisfaisant x 3 = a. Elle est notée 3 a. Elle existe toujours. 13 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Racines p-èmes Définition 1.13 (Racines p-èmes, p pair) Si p est pair, la racine p-ème du nombre réel √ a est l’unique nombre positif x satisfaisant x p = a. Elle est notée p a. Elle n’existe que si a > 0. Définition 1.14 (Racines p-èmes, p impair) Si p est impair, la racine p-ème du√nombre réel a est l’unique nombre x satisfaisant x p = a. Elle est notée p a. Elle existe toujours. Proposition 1.15 1 Si p est naturel pair, • On a • On a 2 14 √ p √ √ p p a b pour tous a, b > 0 ; √ pa = √ pour tous a > 0, b > 0 ; p b ab = p p a b Si p est naturel impair, • On a • On a √ p √ √ p p a b pour tous a, b ∈ R ; √ pa √ = p b pour tous a ∈ R, b 6= 0 ; ab = p p a b P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Proposition 1.16 1 2 Si p ou q est pair, on a q √ p √ q a = pq a pour tout a > 0. Si p et q sont impairs, on a q √ p √ q a = pq a pour tout a ∈ R. 15 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique. Exposants fractionnaires 1 On généralise (a ) = amn au fractions. On a donc (a n )n = a1 = a. m n Définition 1.17 Pour tout a > 0, et tout n ∈ N0 , on pose 1 an = √ n a. et pour tous p, q ∈ N0 , on pose √ p √ a q = ( q a)p = q ap . Définition 1.18 Pour tout a > 0, et tous p, q ∈ N0 , on pose p a− q = 1 a p q 1 = √ . q ( a)p 16 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.