Réduction des matrices 1

Université d’Orléans
2010-2011
semaine 11
M1 enseignement
Isabelle Van den Boom.
Réduction des matrices 1

Exercice 1

1 0 2
Diagonaliser la matrice A =  0 1 0 . Calculer An pour n ∈ N∗ .
2 0 1
Exercice 2 On considère l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique
est


1 1 0
A =  1 −1 m 
0 1 1
où m est un réel donné.
1. Pour quelles valeurs de m la matrice A est-elle trigonalisable ?
2. Pour quelles valeurs de m la matrice A est-elle diagonalisable.
3. Lorsqu’elle est trigonalisable mais n’est pas diagonalisable, donner une forme réduite
triangulaire possible pour cet endomorphisme.
Exercice 3 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E
tel que u2 = u.
1. Montrer que u est diagonalisable.
2. Que représente géométriquement l’endomorphisme u ?
Exercice 4 Soit f un endomorphisme nilpotent d’indice p > 1 d’un espace vectoriel de
dimension finie n sur un corps K.
1. Quelles sont les valeurs propres de f ?
2. Montrer que f n’est pas diagonalisable.
Exercice 5
par
Soient n ∈ N? et E = Mn (R). Pour A ∈ E, on introduit u : E → E défini
u(M ) = AM
.
1. Soit X un vecteur propre de A associé à une valeur propre λ. On considère la matrice
M ∈ E dont les colonnes sont égales à X. Calculer AM .
2. Montrer que A et u ont les mêmes valeurs propres
3. Préciser les sous-espaces propres de u en fonction de ceux de A.
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C) vérifiant pour tout i, j ∈ {1, . . . , n} ai,j ∈ R+ et
n
P
pour tout i ∈ {1, . . . , n},
ai,j = 1.
Exercice 6
j=1
Montrer que 1 est valeur propre de A. Justifier que si λ ∈ C est valeur propre de A alors
|λ| 6 1.
Exercice 7 Soient f et g deux endomorphismes d’un C espace vectoriel E de dimension
finie n .
1
1. Montrer que si g ◦ f a une valeur propre nulle alors f ◦ g a aussi une valeur propre
nulle.
2. Montrer que f admet une valeur propre non nulle si et seulement si il existe α ∈ C
tel que idE − αf ne soit pas inversible.
3. Supposons que idE − (f ◦ g) soit inversible. Montrer que
[idE − (g ◦ f )] ◦ idE + g ◦ idE − f ◦ g)−1 ◦ f = idE .
En déduire que idE − (g ◦ f ) est inversible.
4. Montrer que, quels que soient les endomorphismes f et g, f ◦g et g ◦f ont les mêmes
valeurs propres.
cos α − sin α
cos α sin α
Exercice 8 Soient α ∈ R et A =
∈ M2 (K) et B =
∈
sin α cos α
sin α − cos α
M2 (K) a) On suppose K = C. La matrice A est-elle diagonalisable ? b) On suppose K = R.
La matrice A est-elle diagonalisable ? c) Mêmes questions avec B.
cos θ 2 sin θ
Exercice 9 Soit A =
.
1
sin θ cos θ
2
1. Déterminer deux réels α, β tel que A2 = αA + βI2 .
2. Calculer An pour n > 1.
5 3
Exercice 10 Soit A =
∈ M2 (R).
1 3
1. Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P .
2. Soit M ∈ M2 (R) une matrice telle que M 2 + M = A. Montrer que P −1 M P est
solution de l’équation X 2 + X = D.
3. Montrer que toute solution de l’équation X 2 + X = D dans M2 (R) est une matrice
diagonale. En déduire les solutions de l’équation M 2 + M = A.


0 1 0 0
.
 ..

 . 0 .. 0 
Exercice 11 Soit n > 2. Montrer que la matrice J = 
 est diagonali..
 0
. 1 
1 0 ··· 0
sable dans Mn (C). Calculer J 2 , J 3 , ...
a0
a1 · · · an−1 .. .
...
. an−1 . .
Application : calculer : .
.
.
.
..
..
..
a1 a
··· a
a 1
n−1
2
0