Devoir maison 7

Devoir maison 7
PSI
2015 - 2016
Ces exercices sont extraits de planches d'oraux posés au concours CCP 2014 et portent sur le
programme d'algèbre linéaire traité en début d'année.
Il vous est demandé d'en traiter au moins 5 et de rendre à la rentrée une proposition de solution,
rédigée de façon rigoureuse, des exercices que vous aurez choisis. Ce travail de recherche doit être
l'occasion de bien se remettre en tête les résultats concernant la réduction d'endomorphismes. Le
temps de recherche recommandé pour chaque exercice est d'une heure maximum sans compter le
temps consacré à la reprise du cours.
Il vous est possible de me contacter par mail si vous souhaitez des indications.
Bon travail et bonnes vacances.
Exercice 1 : Trouver les valeurs propres de la matrice réelle, carrée, de taille n qui a 1, 2, ..., n sur la
dernière ligne et la dernière colonne et des 0 partout ailleurs.


3 −3 2


Exercice 2 : A =  −1 5 −2  est-elle diagonalisable ?
−1 3
0
Trouver ses éléments propres. Trouver R ∈ M3 (R) telle que R2 = A et montrer que toutes les
matrices R qui conviennent sont diagonalisables.
Exercice 3 : Montrer que f qui à
a b
c d
∈ M2 (R) associe
d 2b
2c a
est un endomorphisme et
déterminer ses éléments propres. f est-il diagonalisable ? Inversible ?
Exercice 4 : φ dénie sur Mn (R) par φ(M ) = M − tr(M )Id est-elle linéaire ? Est-elle
diagonalisable ?
Exercice 5 : Soit M ∈ GLk (C) ; montrer que si M 2 estdiagonalisable, alors M l'est aussi.
Soient (A, B) ∈ GLn (C)2 ; montrer que N =
que A et B sont diagonalisables.
0 A
B 0
est inversible. Calculer N 2 et en déduire
Exercice 6 : Donner une CNS pour que A ∈ Mn (C) de rang 1 soit diagonalisable.
Exercice 7 : On cherche M ∈ GLn (R) telle que M 2 + t M = In . Trouver un polynôme annulateur de
M de degré 4. Montrer que M − In est inversible et conclure.
Exercice 8 : Montrer que φ déni par φ(P )(X) = (X − a)(X − b)P 0 (X) − nXP (X) avec a 6= b est
un endomorphisme de Rn [X] dont on déterminera les valeurs propres.
Exercice 9 : Soit E un espace vectoriel et (u, v) ∈ L(E)2 ; soit λ 6= 0 une valeur propre de v ◦ u ;
montrer que λ est valeur propre de u ◦ v .
Montrer que si E est de dimension nie, le résultat reste vrai pour λ = 0.
On choisit E = R[X], u(P ) = P 0 et v(P ) = Q où Q est la primitive de P nulle en 0. Calculer
Ker(u ◦ v) et Ker(v ◦ u).
Exercice 10 : Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n, ayant n valeurs
propres distinctes.
Montrer que si g commute avec f , tout vecteur propre de f est vecteur propre de g et en déduire
qu'il existe une base de vecteurs propres commune à f et g .
Montrer l'existence et l'unicité de P ∈ Rn−1 [X] tel que g = P (f ).
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis