Université Bordeaux 1 Algèbre L2/ 2013 Feuille d’exercices 3 Valeurs propres - Diagonalisation - Polynôme caractéristique Exercice 1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice 5 6 4 A = −3 −4 −4 . 2 4 5 Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. En déduire An pour n ∈ N. Exercice 2. Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique 4 2 −4 A = −6 −4 6 . −1 −1 1 Diagonaliser f puis pour n ≥ 1, déterminer la matrice de f n dans la base canonique. Exercice 3. Soit A la matrice définie par 2 1 A= 1 0 0 1 −2 0 . 0 a. Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. Calculer P −1 . b. Soit (un )n≥1 une suite réelle définie par (u0 , u1 , u2 ) et par la relation de récurrence : ∀n ≥ 0, un+3 = 2un+2 + un+1 − 2un . un+2 Montrer que Un+1 = AUn avec Un = un+1 . En déduire que Un = An U0 . un c. En utilisant a) donner l’expression de un pour n ≥ 3 en fonction de u0 , u1 et u2 . Exercice 4. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres, puis, lorsque c’est possible diagonaliser les matrices suivantes. −1 A= 2 −2 2 −2 3 −1 2 −1 1 B = −3 4 4 −7 8 6 −7 7 Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. En déduire An pour n ∈ N. Exercice 5. Soient les matrices de M3 (R) suivantes. 1 2 3 1 M1 = 0 2 3 M2 = 0 0 0 3 0 1 1 0 1 1 . 1 Dire si ces matrices sont diagonalisables. Calculer leur puissance n−ième pour n ≥ 1. Exercice 6. Soit M la matrice suivante. 3 −1 M = −1 −2 Calculer le polynôme caractéristique de M . 1 1 −1 −1 1 0 0 −1 1 −1 . 0 0 Exercice 7. On considère la matrice 0 0 A = ... 0 a0 1 0 0 a1 0 1 .. . ... ... .. . 0 0 .. . ... 0 an−2 an−1 . 1 Soit χA le polynôme caractéristique de A. Montrer que χA (X) = X n − an−1 X n−1 − · · · − a1 X − a0 . Exercice 8. Soit ϕ une involution (i.e. ϕ ◦ ϕ = IdE ) d’un espace vectoriel E de dimension n, différente de IdE et de −IdE . a. Soit x ∈ E non nul. En considérant x + ϕ(x) et x − ϕ(x) montrer que 1 et −1 sont des valeurs propres de ϕ. Existe-t-il d’autres valeurs propres ? b. Montrer que tout élément de x se décompose comme la somme d’un élément de E1 et E−1 . c. En déduire que ϕ est diagonalisable. Exercice 9. Soit p un projecteur (i.e. p ◦ p = p) d’un espace vectoriel E de dimension n, différent de IdE et de 0. a. Montrer que IdE − p est un projecteur de E. b. Montrer que Ker(IdE − p) = Im(p). c. En déduire que Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires. d. Que peut-on conclure ? Exercice 10. Montrer que les polynômes caractéristiques de deux matrices semblables sont égaux. Exercice 11. a. Soient (a, b, c) ∈ C3 et A la matrice définie par 1 A= 0 0 a 1 0 1 b . c Pour quelles valeurs de (a, b, c) A est-elle diagonalisable ? b. Soit m ∈ C et soit Am la matrice m+1 3+m 2m 0 2(m + 1) m −1 0 0 4m + 4 0 0 0 0 m+1 . 2−m −m − 1 Montrer, avec le minimum de calcul que Am est diagonalisable si et seulement si m 6= −1. Exercice 12. Montrer que si f est un endomorphisme diagonalisable qui n’a qu’une seule valeur propre alors f est une homothétie. Exercice 13. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. a. Montrer que 0 est valeur propre d’un endomorphisme f de E si et seulement si f n’est pas injective. b. Soit f est un endomorphisme de E bijectif. Montrer que toute valeur propre de f est non nulle et que λ est une valeur propre de f si et seulement λ−1 est une valeur propre de f −1 . c. Soient f et g deux endomorphismes de E. Montrer que f ◦ g et g ◦ f ont les mêmes valeurs propres. Exercice 14. Soit E un espace vectoriel de dimension n. a. Soit f ∈ L(E) diagonalisable. Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f alors la restriction de f à F , f|F , est diagonalisable. b. Soient f et g deux endomorphismes de E diagonalisables, qui commutent c’est-à-dire tels que f ◦ g = g ◦ f . Déduire de la question précédente que f et g sont simultanément diagonalisables, i.e. il existe une base B de E dans laquelle les matrices de f et g sont diagonales .