Séries de Fourier

Séries de Fourier
1. Compléments sur les fonctions définies par morceaux......................................................p.1
Définition de la continuité par morceaux pour une fonction définie sur un intervalle fermé borné.
ℝ _espace vectoriel Cm ([ a ;b ] ; ℝ ) , intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné.
Définition des fonctions de classe C1 par morceaux sur un intervalle fermé borné.
Définition des fonctions T_périodiques. Cas des fonctions paires ou impaires.
Caractérisation des fonctions T_périodiques continues par morceaux ou de classe C1 par morceaux sur ℝ .
Intégrale sur une période d'une fonction fonction T_périodique continue par morceaux sur ℝ .
2. Coefficients et séries de Fourier..................................................................................................p.7
Définition des coefficients de Fourier trigonométriques d'une fonction T_périodique continue par morceaux sur .
T
Cas des fonctions paires ou impaires. Cas des fonctions f telles que ∀ x ∈ℝ , f x+
=− f ( x ) .
2
Sommes partielles de Fourier d'une fonction T_périodique continue par morceaux sur ℝ .
3. Théorèmes de convergence...........................................................................................................p.14
Conséquence de la convergence en moyenne quadratique : théorème de Parseval.
Convergence ponctuelle : théorème de Dirichlet.
Cas d'une fonction continue et de classe C1 par morceaux sur ℝ .
( )
∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿
1. Compléments sur les fonctions définies par morceaux
Définition des fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle fermé et borné
Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé borné [ a ; b ] et à valeurs dans ℝ .
f est continue par morceaux sur l'intervalle [ a ;b ] si et seulement s'il existe n+ 1 réels ( a k ) k ∈ ⟦0 ;n ⟧ tels que
1) a=a 0< a 1< …< a n−1< a n=b (subdivision finie de l’intervalle [ a ; b ] )
2) pour tout entier k ∈ ⟦ 1; n ⟧ la fonction f est continue sur l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [
3) pour tout entier k ∈⟦ 1; n ⟧ la restriction de la fonction f à l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [ , notée f ]a ;a [ , est
prolongeable par continuité à l'intervalle fermé [ a k −1 ; a k ]
k −1
Exemples et contre-exemples :
⇔
Rappel : pour t ∈ℝ , la partie entière de t notée ⌊ t ⌋ est définie par : ⌊ t ⌋∈ℤ
⌊ t ⌋⩽t < ⌊ t ⌋ +1
{
t → ⌊ t ⌋ ×⌊−t ⌋ est continue par morceaux sur [−1 ; 2 ]
Séries de Fourier
k
t ⌋ ∈ℤ
{⌊t−1
<⌊ t ⌋ ⩽t
1
t → t t sit≠0 n'est pas continue par morceaux sur
1 si t =0
[−1 ; 2 ] car...
{⌊ ⌋
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t→
1
n'est pas continue par morceaux sur [ −1 ; 2 ]
⌊ t ⌋ −t +1
car...
t → sin
1
( ⌊ t ⌋−t+1
) n'est pas continue par morceaux sur
[−1 ; 2 ] car...
On note C m ( I; ℝ ) l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle I fermé borné continues par morceaux et à valeurs
dans ℝ .
Une fonction continue sur un intervalle est aussi continue par morceaux sur cet intervalle : C0 ( I ; ℝ )⊂C m ( I ;ℝ )
Opération sur les fonctions continues par morceaux
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs dans ℝ et continues par morceaux alors :
La fonction somme f + g : x → f ( x ) + g ( x ) est continue par morceaux sur I.
Pour λ∈ℝ , la fonction λ f : x → λ f ( x ) est continue par morceaux sur I.
La fonction produit f ×g : x → f ( x ) ×g ( x ) est continue par morceaux.
Remarque : les deux premières propriétés assurent que : C m ( I , ℝ ) est un ℝ espace vectoriel
Le quotient ou la fonction composée de deux fonctions continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par
morceaux.
Exemple :
la fonction f : t → ⌊ t ⌋−t +1 est continue par morceaux sur ℝ et à valeurs dans ] 0 ;1 ]
1
la fonction g : x →
est continue par morceaux sur l'intervalle ] 0 ;1 ]
x
1
la fonction g ∘ f : t →
n'est pas continue par morceaux sur ℝ .
⌊ t ⌋ −t +1
Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné
Soient f une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné [ a ;b ] , à valeurs dans ℝ et n +1 réels
( a k )k ∈ ⟦0 ;n ⟧ tels que :
1) a=a 0 < a 1 <…< a n−1 < a n =b (subdivision finie de l’intervalle [ a ; b ] )
2) pour tout entier k ∈ ⟦ 1; n ⟧ la fonction f est continue sur l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [
3) pour tout entier k ∈⟦ 1; n ⟧ la restriction de la fonction f à l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [ , notée f ]a ;a [ , est
prolongeable par continuité à l'intervalle fermé [ a k −1 ; a k ]
k −1
b
∫a
an
0
n−1
n−1
a k +1
f ( t ) d t=∑ ∫a
k=0
f ( t ) dt
k
b
∫a ∣ f ( t )∣dt =0 alors ∀ t ∈[ a ; b ] , f ( t )=0
b
f ∈C m ([ a ; b ] ; ℂ ) et ∫a ∣ f ( t )∣dt =0 n'implique pas que
Si f ∈C 0 ([ a; b ] , ℂ ) et
En revanche
a1
f ( t ) dt =∫a f ( t ) d t+ …+∫a
k
f soit nulle sur [ a ; b ] .
Exemple : pour f : x → ⌊ x ⌋ +⌊ −x ⌋ + 1 ...
Le théorème fondamental de l'analyse n'est pas valide pour les fonctions continues par morceaux.
Exemple : soit f définie sur [ −1 ;1 ] par
Séries de Fourier
{
f ( x ) =1 si x⩾0 . Alors pour x ∈[−1; 1 ] ,
f ( x ) =−1 si x<0
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{
x
∫0 f ( t ) dt =x si x⩾0
x
∫0 f ( t ) dt =−x si x <0
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Donc ∀ x ∈[−1; 1 ] ,
x
∫0
f ( t ) dt =∣x∣ et x →∣x∣ n'est pas dérivable en 0.
Propriétés des intégrales de fonctions continues par morceaux
Soient f ∈Cm ([ a ;b ] ; ℝ ) et g ∈C m ([ a ; b ] ;ℝ ) :
Additivité :
b
∫a
b
b
f ( t )+ g ( t ) dt =∫a f ( t ) dt + ∫a g ( t ) dt
b
b
∫a λ f ( t ) dt=λ∫a
Homogénéité : ∀λ ∈ℂ ,
f ( t ) dt
b
b
Croissance de l'intégrale : si ∀ t∈ [ a ; b ] , f ( t )⩾g ( t ) alors ∫ f ( t ) dt⩾∫ g ( t ) d t
a
a
b
∣∫
Inégalité triangulaire,
a
b
∣
f ( t ) dt ⩽∫a ∣ f ( t )∣d t
Remarques : les deux premières propriétés assurent la linéarité de l'application
Cm ([ a ;b ] ; ℂ )
f
→
→
ℝ
b
∫a
f ( t )d t
Conséquences de l'inégalité triangulaire
Soient f ∈Cm ([ a ;b ] ; ℝ ) et g ∈C m ([ a ; b ] ;ℝ ) :
b
∣∫
a
b
∣∫
a
∣
f ( t ) dt ⩽( b−a ) sup ∣ f ( t )∣
t ∈[ a; b ]
b
∣
f ( t )×g ( t ) dt ⩽ sup ∣ f ( t )∣×∫a ∣g ( t )∣d t
Démonstration : en vertu de l'inégalité de la moyenne,
Or ∀ t ∈ [ a ; b ] , ∣ f ( t )∣⩽ sup ∣ f ( t )∣ donc...
t∈ [ a ;b ]
b
∣∫
a
∣
f ( t )×g ( t ) dt ⩽…
t∈ [ a ;b ]
Ainsi en vertu de la croissance de l'intégrale pour les fonctions à valeurs réelles, …
□
Définition des fonctions de classe C1 par morceaux sur un intervalle fermé borné
Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; b ] et à valeurs dans ℝ .
f est de classe C1 par morceaux sur l'intervalle [ a ; b ] si et seulement s'il existe n+ 1 réels ( a k ) k ∈ ⟦0 ;n ⟧ tels que
1) a=a 0< a 1< …< a n−1< a n=b (subdivision de l'intervalle [ a ; b ] )
2) pour tout entier k ∈ ⟦ 1; n ⟧ la fonction f est de classe C1 sur l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [
3) pour tout entier k ∈⟦ 1; n ⟧ la restriction de la fonction f à l'intervalle ouvert ] a k −1 ; a k [ , notée f ]a ;a [ , est
prolongeable en une fonction de classe C1 sur l'intervalle fermé [ a k −1 ; a k ]
k −1
k
Remarque : Toue fonction polynomiale par morceaux sur un intervalle fermé borné [ a ; b ] est de classe C1 par morceaux
sur l'intervalle [ a ; b ] .
Exemple : la fonction t →∣t∣ est de classe C1 par
morceaux sur l'intervalle [−1; 1 ]
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Contre-exemple : la fonction t → √∣t∣ n'est pas de classe C1
par morceaux sur l'intervalle [−1; 1 ] :
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1
t → t sin t si t≠0 n'est pas de classe C1 par
0 si t=0
1 1
morceaux sur − ;
.
2 2
{
( )
[
]
1
1
1
t → t t − t − 2 si t≠0 n'est pas de classe C1 par
0 si t=0
morceaux sur [ −1 ;1 ] .
{∣
[ ] ∣
Rappel : Le théorème de la limite de la dérivée (corollaire du théorème des accroissements finis) permet parfois de
prolonger une fonction dérivée jusqu'au bord d'un intervalle ouvert :
Soit une fonction f continue sur [ a ; b ] et dérivable sur ] a ;b ] .
f ' d ( a )≠lim f ' ( x ) en général. Cependant, si lim f ' ( x ) existe (finie, +∞ , ou −∞ ) alors f ' d ( a )=lim f ' ( x ) .
x →a
x>a
x→a
x>a
x →a
x>a
Le cas des raccords de fonctions dérivées est plus délicat :
f dérivable sur [ a ; b ] et sur [ b; c ] n'implique pas en général que f soit dérivable sur [ a ;c ]
Mais si de plus f ' d ( b )= f ' g ( b ) alors f est dérivable en b et f ' ( b )= f ' d ( b )= f ' g ( b )
Opération sur les fonctions de classe C1 par morceaux
Soient f et g deux fonctions de classe C1 sur un intervalle [ a ; b ] , à valeurs dans ℝ .
La fonction somme f + g : x → f ( x ) + g ( x ) est de classe C1 par morceaux sur [ a ; b ] .
Pour λ∈ℝ , la fonction λ f : x → λ f ( x ) est de classe C1 par morceaux sur [ a ; b ] .
La fonction produit f ×g : x → f ( x ) ×g ( x ) de classe C1 par morceaux sur [ a ; b ] .
Démonstration : cf opérations sur les fonctions de classe C1 sur les subdivisions [ a i ; a i +1 ] .
□
1
Remarque : les deux premières propriétés assurent que l'ensemble de fonctions de classe C sur [ a ; b ] est un ℝ espace
vectoriel.
Définition des fonctions T_périodiques
Soient T un réel strictement positif et f une fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℝ .
La fonction f est T-périodique si et seulement si ∀ x ∈ℝ , f ( x +T )= f ( x )
Remarque : si f est T-périodique alors ∀ k ∈ℤ , ∀ x ∈ℝ , f ( x +k ×T )= f ( x ) .
1
Exemple : x →
est une fonction 1_périodique car...
⌊ x ⌋−x +1
Si f est T-périodique alors f est totalement
déterminée par sa restriction à un intervalle du type
[ a ; a +T [ ou ] a ; a +T ] . En effet soit a ∈ℝ , T> 0 et une
fonction g ; [ a ; a+T [ → ℝ . Si f est T_périodique et
∀ x ∈[ a ; a+T [ , f ( x ) =g ( x ) alors pour
x ∈[ a +k T ; a +( k +1 ) T [ avec k ∈ℤ ,
f ( x ) = f ( x−k T ) =g ( x−kT ) car x−kT ∈ [ a ; a +T [ .
Exemple : Soit f la fonction 1 périodique telle que
∀ x ∈[ 0 ; 1 [ , f ( x ) =√ x
alors pour x ∈[ 10 ; 11[ , f ( x ) =…
pour x ∈[ −11;−10 [ , f ( x ) =…
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Remarque : pour a <b , si f est b−a _périodique et ∀ x ∈[ a ;b [ , f ( x ) =g ( x ) alors :
x−a
∀ x ∈ℝ , f ( x ) =g x−( b−a )
b−a
Exemples de code Python permettant de représenter graphiquement la fonction 3_périodique f telle que :
∀ x ∈[ −1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 :
1
def f(x):
Pour une représentation graphique sans les segments
2
if -1<=x<2:
verticaux :
(
3
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6
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13
return 2*x+4
if x>=2 :
return f(x-3)
if x<-1 :
return f(x+3)
X=[-10+k/100 for k in range(0,2000)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
⌊
⌋)
def f(x):
return 2*x+4
X=[-1+k/100 for k in range(300)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
for k in range(-3,3):
plt.plot(X+3*k*np.ones(len(X)),Y)
plt.show()
Si f est une fonction T_périodique paire ou impaire alors f est entièrement déterminée par sa restriction à
T
l'intervalle du type 0 ;
.
2
Exemple : soit f la fonction impaire 4_périodique définie par : f ( 0 )= f ( 2 )=0 et si x ∈ ]0 ; 2 [ alors f ( x ) =2 x +4 .
[ ]
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15
def f(x):
if 0<x<2:
return
if x==0 or
return
if x>2:
return
if x<0:
return
2*x+4
x==2 :
0
f(x-4)
-f(-x)
X=[-10+k/100 for k in range(0,2000)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
plt.show()
1
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21
def f(x):
return 2*x+4
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
X=[k/100 for k in range(1,200)]
Y=[f(x) for x in X]
for k in range(-2,3):
plt.plot(X+4*k*np.ones(len(X)),Y)
X=[k/100 for k in range(-199,0)]
Y=[-f(-x) for x in X]
for k in range(-2,3):
plt.plot(X+4*k*np.ones(len(X)),Y)
X=[2*k for k in range(-5,6)]
Y=[0 for k in range(-5,6)]
plt.plot(X,Y,linestyle='',marker='+',color='black')
plt.show()
( T2 )=0 .
Remarque : si f est T_périodique et impaire alors ∀ k ∈ℤ , f k
En effet si f est impaire, f ( 0 )=− f (−0 ) =− f ( 0 ) donc 2 f ( 0 )=0 donc f ( 0 )=0 .
Si de plus f est T_périodique alors f ( k ×T ) = f ( k ×T+0 )= f ( 0 )=0 .
T
T
T
T
T
Par ailleurs, si f est impaire f −
=− f
Or, si f est T_périodique f −
= f − +T = f
2
2
2
2
2
T
T
T
T
T
=− f
=0 ainsi f
=0 . Enfin, par T_périodicité, ∀ k ∈ℤ , f
+k ×T =0
Donc f
donc 2 f
2
2
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) (
) ( )
(
)
Caractérisations des fonctions T_périodiques continues par morceaux
ou de classe C1 par morceaux ou continues sur ℝ
Soit une fonction f T_périodique, à valeurs dans ℝ .
La fonction f est continue par morceaux sur ℝ si et seulement si
il existe un réel a tel que f soit continue par morceaux sur l'intervalle [ a ; a+ T ] .
La fonction f est de classe C1 par morceaux sur ℝ si et seulement si
il existe un réel a tel que f soit de classe C1 par morceaux sur l'intervalle [ a ; a+ T ] .
La fonction f est continue sur ℝ si et seulement si
lim f ( t )= f ( a )
il existe un réel a tel que f soit continue sur l'intervalle ] a ; a +T [ et tt →>aa
lim f ( t ) = f ( a )
{
t → a+T
t <a+T
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Exemple : soit f la fonction impaire 4_périodique définie par : f ( 0 )= f ( 2 )=0 et si x ∈ ]0 ; 2 [ alors f ( x ) =2 x +4 .
Intégrale d'une fonction T-périodique sur un intervalle de longueur T
Soit f une fonction T-périodique continue par morceaux à valeurs dans ℝ .
∀ α∈ℝ ,
Démonstration : en notant k = α
T
⌊ ⌋
α+T
∫α
( k +1 ) T
f ( t ) dt=∫α
α+T
α+T
∫α
T
f ( t ) dt=∫0 f ( t ) dt
on a : k T⩽α< ( k +1 ) T⩽α+ T
( k +1 )T
f ( t ) dt +∫( k +1 ) T f ( t ) dt =∫α
α +T
f ( t−k T ) dt +∫( k +1 )T f ( t−( k +1 ) T ) d t =...
□
Remarque : pour des questions d'éventuelle parité de la fonction f on utilise souvent
Pour α∈ℝ ,
1 α+T
∫ f ( t ) dt est appelée valeur moyenne de f sur une période.
T α
T
2
∫− T
f ( t ) dt .
2
2. Coefficients et séries de Fourier.
Définition de l'ensemble CT ( ℝ )
L'ensemble des fonctions définies et continues de ℝ dans ℝ et T-périodiques est noté CT ( ℝ ) .
Structure de l'ensemble CT ( ℝ )
Soit α un réel et l'application CT ( ℝ )×C T (ℝ )→ ℝ
⟨ f |g ⟩→
1 α+T
∫ f ( t )×g ( t ) dt
T α
Alors ( C T (ℝ ) ; ⟨ …;… ⟩ ) est un espace préhilbertien réel.
Démonstration : CT ( ℝ ) est un sous-espace vectoriel de C0 ( ℝ ) car...
1 α+T
L'application ⟨ f | g ⟩ → ∫α f ( t )×g ( t ) dt est un produit scalaire sur CT ( ℝ ) car...
T
□
α+T
1
Remarque : la norme associée à ce produit scalaire est ∥ f ∥2 ≝
∫ ( f ( t )) 2 dt on parle alors de moyenne
√T α
quadratique sur une période.
1 α+T
L'application ⟨ f | g ⟩ → ∫α f ( t )×g ( t ) dt n'est pas un produit scalaire sur le sous-espace vectoriel des fonctions TT
périodiques continues par morceaux sur ℝ car l'application est alors dégénérée (pas définie positive)
Exemple : soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) =⌊ x ⌋+ ⌊−x ⌋−1 .
√
Une famille orthonormale dans ( C T (ℝ ) ; ⟨ …;… ⟩ )
2π
, la famille (( x → 1 ) ; ( x → √ 2×cos ( n ω x ) )n∈ℕ* ; ( x → √ 2×sin ( n ω x ) ) n∈ℕ * ) est orthonormale dans l'espace
T
préhilbertien réel ( C T (ℝ ) ; ⟨ …;… ⟩ ) .
Soit ω=
Démonstration : soit deux entiers naturels n et m :
1 T
∫ cos ( n ω t )×cos ( m ωt ) dt =…
T 0
1 T
∫ cos ( n ω t )×sin ( mω t ) dt =…
T 0
1 T
∫ sin ( n ω t )×sin ( m ω t ) dt=…
T 0
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T
-périodique.
n
Pour n ∈ℕ , soit E n =vect (( x→ cos ( k ω x ) ) k ∈⟦ 0; n⟧ ; ( x →sin ( k ω x ) ) k ∈⟦ 1; n⟧ ) .
La projection orthogonale p n sur le sous espace vectoriel E n est définie par : ∀ f ∈C T (ℝ ) ,
Remarques : chaque fonction x →cos ( n ω x ) et x →sin ( n ω x ) est
n
n
p n ( f )( x )= ⟨ f ∣1 ⟩ 1+∑ ⟨ f ∣√ 2 cos ( k ω⋅) ⟩ √ 2 cos ( k ω x ) + ∑ ⟨ f ∣√ 2 sin ( k ω⋅) ⟩ √ 2 sin ( k ω x )
k =1
n
k =1
n
1 T
1 T
1 T
p n ( f )( x )= ∫0 f ( t ) d t + ∑
f ( t ) ×√ 2 cos ( k ωt ) dt √ 2 cos ( k ω x ) +∑
∫
∫0 f ( t )×√ 2 sin ( k ω t ) dt
0
T
k =1 T
k =1 T
n
1 T
2 T
2 T
p n ( f )( x )= ∫0 f ( t ) d t + ∑
f ( t )×cos ( k ω t ) dt cos ( k ω x ) +
∫
∫ f ( t ) ×sin ( k ω t ) dt sin ( k ω x )
0
T
T
T 0
k =1
(
((
)
)
(
(
)√ 2 sin (k ω x )
)
)
Définition des coefficients de Fourier trigonométriques
Soient f une fonction T-périodique définie de ℝ dans ℝ et continue par morceaux et α∈ℝ . En notant ω=
2π
,
T
les coefficients de Fourier de f sont les réels ( a k ( f ) )k ∈ℕ et ( b k ( f ) ) k ∈ℕ * tels que :
1 α+ T
a 0 ( f )≝ ∫α f ( t ) dt (valeur moyenne sur une période)
T
2 α+T
∀ k ∈ℕ*, a k ( f )≝ ∫α f ( t )×cos ( k ωt ) dt
T
2 α +T
∀ k ∈ℕ*, b k ( f )≝ ∫α f ( t ) ×sin ( k ω t ) d t
T
Exemples : Soit f une fonction constante (donc T-périodique pour tout réel T) alors :...
Soit f la fonction T périodique telle que ∀ x ∈[ 0 ; T [ , f ( x ) =x alors...
n
Remarques : avec ces notations, pour f ∈C T (ℝ ) , on a: ∀ x ∈ℝ , p n ( f )( x )=a 0 + ∑ ( a k cos ( k ω x ) +b k sin ( k ω x ) )
k =1
α+T
Des résultats utiles : ∀ n∈ℕ *, ∫α cos ( n ω t ) dt=0
∀ n∈ℕ ,
cos ( n π ) =(−1 )
sin ( n π ) =0
α+ T
et ∀ n∈ℕ , ∫α
n
et
et
sin ( n ω t ) dt =0
cos ( 2 n+1 ) π =0
2
(
)
n
sin ( 2 n+1 ) π =(−1 )
2
(
)
n
(−1 ) + 1= 2 si n est pair
0 si n est impair
{
Exemple de code Python permettant d'obtenir une expression formelle des premiers coefficients de Fourier de la fonction
3_périodique f telle que : ∀ x∈[−1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 :
1
2
3
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from sympy import *
x,t=symbols('x t')
def an(n,f,a,b):
if n==0 :
return 1/(b-a)*integrate(f(t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
else :
return 2/(b-a)*integrate(f(t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
def bn(n,f,a,b):
return 2/(b-a)*integrate(f(t)*sin(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
f=lambda x: 2*x+4
pprint([an(k,f,-1,2) for k in range(5)])
pprint([bn(k,f,-1,2) for k in range(1,5)])
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Exemple de code Python permettant d'obtenir une expression formelle de tous les coefficients de Fourier de la fonction
3_périodique f telle que : ∀ x∈[−1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 :
1
2
3
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from sympy import *
t,x = symbols('t x')
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a=-1
b=2
f=lambda x:2*x+3
a0=simplify(1/(b-a)*integrate(f(t),(t,a,b)))
an=simplify(2/(b-a)*integrate(f(t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b)))
bn=simplify(2/(b-a)*integrate(f(t)*sin(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b)))
pprint(a0)
pprint(an)
pprint(bn)
Étude de la parité des fonctions T-périodiques
Soit f une fonction T-périodique définie de ℝ dans ℝ .
[ T2 ] , f (−t )= f (t ) .
f ( 0 ) =0
T
est impaire si et seulement si ∀ t ∈]0 ; [ , f (−t )=− f ( t ) et
2
{f ( T2 )=0 .
La fonction f est paire si et seulement si ∀ t ∈ 0 ;
La fonction f
Rappel : si f est T_périodique et impaire alors …
Remarque pour obtenir une fonction paire ou impaire : soient f une fonction définie sur [ 0 ;+∞ [ , g et h deux fonctions
définies sur ℝ .
Si g est paire et ∀ x ∈[ 0 ;+∞ [ , g ( x )= f ( x ) alors ∀ x ∈ℝ , g ( x )= f (∣x∣)
∣x∣
f (∣x∣) et h ( 0 )=0
Si h est impaire et ∀ x ∈ ]0 ;+∞ [ , h ( x ) = f ( x ) alors ∀ x ∈ℝ* , h ( x ) =
x
Dans le module sympy, la fonction Piecewise() permet de définir une fonction par morceaux ainsi, si f est une
expression dépendant du symbole x:
g=Piecewise((f,x>=0),(f.subs(x,-x),x<0)) # définit une fonction paire
h=Piecewise((f,x>0),(-f.subs(x,-x),x<0),(0,x==0)) # définit une fonction impaire
Propriété des coefficients de Fourier d'une fonction selon sa parité
Soit f une fonction T-périodique continue par morceaux sur ℝ et à valeurs dans ℝ admettant pour coefficients de
Fourier les réels ( a k ) k ∈ℕ et ( b k ) k ∈ℕ* .
Si la fonction f est paire alors :
T
4 2
∀ k ∈ℕ *, a k = ∫0 f ( t ) cos ( k ω t ) d t
T
∀ k ∈ℕ *, b k =0
Si la fonction f est impaire alors :
∀ k ∈ℕ , a k =0
T
∀ k ∈ℕ *, b k =
4 2
∫ f ( t ) sin ( k ω t ) dt
T 0
T
Démonstration : Si f est paire et T-périodique alors : a 0 ( f )=
1 2
∫ f ( t ) dt=…
T − T2
T
∀ k ∈ℕ *, a k ( f ) =
2 2
∫ f ( t ) ×cos ( k ω t ) dt=…
T − T2
∀ k ∈ℕ *, b k ( f )=
2 2
∫ f ( t )×sin ( k ω t ) dt =…
T − T2
T
Séries de Fourier
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Exemples de code Python permettant le calcul formel des coefficients de Fourier dans le cas d'une fonction paire ou d'une
fonction impaire :
1
2
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11
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13
14
15
from sympy import *
t,x = symbols('t x')
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
1
2
3
4
5
a=-1
b=1
6
g=x+1
7
8
f=Piecewise((g,x>=0),(g.subs(x,-x),x<0))
9
10
a0=simplify(1/(b-a)*integrate(f.subs(x,t),(t,a,b)))
an=simplify(2/(b-a)*integrate(f.subs(x,t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))) 11
bn=simplify(2/(b-a)*integrate(f.subs(x,t)*sin(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))) 12
13
pprint(a0)
14
pprint(an)
15
pprint(bn)
from sympy import *
t,x = symbols('t x')
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a=-1
b=1
g=x+1
f=Piecewise((g,x>0),(-g.subs(x,-x),x<0),(0,x==0))
a0=simplify(1/(b-a)*integrate(f.subs(x,t),(t,a,b)))
an=simplify(2/(b-a)*integrate(f.subs(x,t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b)))
bn=simplify(2/(b-a)*integrate(f.subs(x,t)*sin(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b)))
pprint(a0)
pprint(an)
pprint(bn)
T⃗
i
2
Cas d'une fonction dont la courbe représentative est invariante par une symétrie glissée de vecteur
Soit f une fonction définie sur ℝ et T> 0 .
T
=− f ( x )
Hypothèse 1 : ∀ x ∈ℝ , f x+
2
( )
[
Hypothèses 2 : f est T_périodique et il existe α∈ℝ tel que ∀ x ∈ α ; α+
T
T
=− f ( x )
, f x+
2
2
[ ( )
Si f vérifie l'hypothèse 1 alors f est T_périodique.
[
Si f vérifie l'hypothèse 1 ou l'hypothèse 2 et s'il existe α∈ℝ tel que f soit continue par morceaux sur α ; α+
alors f est continue par morceaux sur ℝ et ∀ k ∈ℕ, a 2k ( f ) =0 i.e. les harmoniques de rang pair sont nulles.
∀ k ∈ℕ*, b 2k ( f ) =0
T
2
]
{
T T
T
+
=− f x +
=−( − f ( x ) )= f ( x ) donc f est T périodique.
2 2
2
T
T
Si f est continue par morceaux sur α ; α+
alors il existe une subdivision finie α=a 0 <a 1 <…<a n −1< a n =α+
2
2
telle que f soit continue sur ] a i ; a i +1 [ et prolongeable par continuité sur [ a i ; a i +1 ] pour i∈ ⟦ 0 ; n−1 ⟧ .
T
T
T
=− f ( x ) assure que f est continue sur a i + ;a i +1 +
La relation f x+
et prolongeable par continuité sur
2
2
2
T
T
a i + ; a i+1 +
pour i∈ ⟦ 0 ; n−1 ⟧ .
2
2
On obtient ainsi une subdivision de l'intervalle [ α ;α +T ] donc f est continue par morceaux sur [ α ;α +T ] .
Enfin, par T_périodicité, f est continue par morceaux sur ℝ .
Soit n∈ N ,
T
α+
α+T
α+ T
T
(
)
(
)
f
t
cos
n
ω
t
dt
=
∫α
∫α 2 f ( t ) cos ( n ω t ) dt +∫α+ T f ( t ) cos ( n ω t ) dt en posant t=u+ 2 on a :
2
(
) (
Démonstration : ∀ x ∈ℝ , f ( x +T )= f x+
[
]
]
( )
]
[
α+T
∫α
)
α+
f ( t ) cos ( n ω t ) dt =∫α
T
2
[
f ( t ) cos ( n ω t ) dt +…
n
Or ∀ θ∈ℝ , cos ( θ+n π )=(−1 ) cos ( θ ) donc...
Soit n∈ℕ *,
α+T
∫α
α+
f ( t ) sin ( n ω t ) dt=∫α
α+T
α+
T
2
α+T
f ( t ) sin ( n ω t ) dt +∫
α+
T
T
2
f ( t ) sin ( n ω t ) dt en posant t=u+
T
on a :
2
∫α f ( t ) sin ( n ω t ) dt=∫α 2 f ( t ) sin ( n ω t ) dt +…
n
Or ∀ θ∈ℝ , sin ( θ+ n π )=(−1 ) sin ( θ ) donc...
Séries de Fourier
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□
4
Exemple : soit T=4 , et f définie par ∀ x ∈[ 0 ; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 et ∀ x ∈ℝ , f x+ =− f ( x ) .
2
( )
1
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def f(x):
if 0<=x<2:
return 2*x+4
if x>=2 :
return -f(x-2)
if x<0:
return -f(x+2)
X=[-10+k/100 for k in range(0,2000)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
plt.show()
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
def f(x):
return 2*x+4
X=[k/100 for k in range(200)]
Y=[f(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
for k in range(-5,5):
plt.plot(X+2*k*np.ones(len(X)),((-1)**k)*np.array(Y))
plt.show()
Définition des fonctions sommes partielles de Fourier
2π
et les coefficients de
T
et ( b k ( f ) ) k ∈ℕ * . La somme partielle d'ordre n ∈ℕ de Fourier de f est la fonction Sn ( f )
Soit f une fonction T-périodique définie de ℝ dans ℝ et continue par morceaux, ω=
Fourier de f , ( a k ( f ) )k ∈ℕ
définie sur ℝ par :
n
∀ x ∈ℝ ,S n ( f ) ( x ) ≝a 0 ( f ) + ∑ ( a k ( f ) ×cos ( k ω x ) +b k ( f ) ×sin ( k ω x ) )
k =1
Remarques : on retrouve ici l'expression du projeté orthogonal sur le sous espace vectoriel E n mais cette définition
s'applique non seulement au fonctions CT ( ℝ ) mais aussi aux fonctions continues par morceaux et T-périodiques.
T
Pour k ∈ℕ *, chaque fonction x → a k ( f ) cos ( k ω x ) +b k ( f ) sin ( k ω x ) est
-périodique et est appelée harmonique de
k
rang k .
Rappel : En utilisant les exponentielles complexes : si a k +i b k≠0 alors soit ρk >0 et θk ∈ℝ tels que a k +i b k =ρ k e iθ
i k ωx
et a k cos ( k ω x ) +b k sin ( k ω x )=Re ( ( a k −i b k ) e
)=Re ( ρk e−i θ ei k ω x )=ρk cos ( k ω x−θk )
Le réel ρk est l'amplitude de l'harmonique de rang k et le réel θk est son déphasage.
k
k
Séries de Fourier
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Exemple de code Python permettant d'obtenir S5 ( f ) pour la fonction 3_périodique f telle que :
∀ x∈[−1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4
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22
from sympy import *
x,t=symbols('x t')
def an(n,f,a,b):
if n==0 :
return 1/(b-a)*integrate(f(t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
else :
return 2/(b-a)*integrate(f(t)*cos(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
def bn(n,f,a,b):
return 2/(b-a)*integrate(f(t)*sin(n*(2*pi/(b-a))*t),(t,a,b))
def Sn(n,T,An,Bn,x):
return An[0]+sum(An[k]*cos(k*(2*pi/T)*x) for k in range(1,n+1))+sum(Bn[k]*sin(k*(2*pi/T)*x) for k in range(1,n+1))
f=lambda x: 2*x+4
a=-1
b=2
n=5
An=[an(k,f,a,b) for k in range(n+1)]
Bn=[0]+[bn(k,f,a,b) for k in range(1,n+1)]
plot(Sn(n,b-a,An,Bn,x),(x,-10,10))
Séries de Fourier
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Les représentations graphiques des sommes partielles de la série de Fourier de f semblent s'approcher, quand n tend
vers +∞ , de la courbe représentative de la fonction f . On distingue deux convergences possibles : convergence en
moyenne quadratique ou convergence ponctuelle.
Séries de Fourier
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3. Théorèmes de convergence.
1 α+T
∫ f ( t )×g ( t ) dt , on admet que la série de
T α
Fourier de f converge en moyenne quadratique vers la fonction f : lim ∥ f −S n ( f )∥2=0
Dans l'espace préhilbertien CT ( ℝ ) muni du produit scalaire ⟨ f ∣g ⟩ =
n→+∞
Or l'inégalité triangulaire donne : ∣∥ f ∥2−∥S n ( f )∥2∣⩽∥ f −S n ( f )∥2
Donc lim ∥S n ( f )∥2=∥ f ∥2 .
n→+∞
n
∀ x ∈ℝ , Sn ( f )( x )=a 0 +∑ ( a k cos ( k ω x ) +b k sin ( k ω x ) )
k =1
n
1
2 1
+( b k )
2
2
k =1
2
(
)
(
)
(
)
∥
∥
Car la famille ( x → 1 ; x → cos ( n ω x ) n∈ℕ * ; x→ sin ( n ω x ) n∈ℕ* ) est orthogonale et : ( 1 2 ) =…
1 T
cos2 ( k ω t ) dt =…
et pour k ≠0 ,
∫
0
T
2
2
Alors, le théorème de Pythagore donne : (∥S n ( f )∥2 ) =( a 0 ) ×1 + ∑ ( a k )
2
1 T 2
∫ sin ( k ω t ) dt=…
T 0
Cette égalité envisagée dans l'espace préhibertien CT ( ℝ ) s'étend aux fonctions continues par morceaux grâce au
théorème suivant.
Théorème de Parseval : expression de la valeur moyenne quadratique à l'aide des coefficients de Fourier
Soient f une fonction T_périodique de ℝ dans ℝ , α∈ℝ et ses coefficients de Fourier, ( a k ) k ∈ℕ et ( b k ) k ∈ℕ .
Si f est continue par morceaux alors les séries numériques
∑ ( a n )2
et
n⩾1
∑ ( b n )2
sont convergentes et,
n⩾1
1 α+T
1 +∞
2
2
2
2
(
f
(
t
)
)
dt=
a
+
(
)
( a n ) +( b n )
∫
∑
0
α
T
2 n=1
Théorème admis.
Séries de Fourier
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Définition de la demi-somme des limites à gauche et à droite
Soit f une fonction continue par morceaux sur ℝ , pour tout réel x , la demi-somme des limites de f à gauche et à
f ( x +0 ) + f ( x−0 )
droite du réel x est le nombre noté
défini par :
2
f ( x +0 ) + f ( x−0 )
f ( x+h ) + f ( x −h )
≝lim
2
h→0
2
h>0
Remarque : si la fonction f est continue en un réel x alors
f ( x +0 ) + f ( x−0 )
= f (x )
2
Exemple : soit f la fonction 3_périodique telle que : ∀ x∈[ −1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 . Alors
f ( 2 +0 )+ f ( 2−0 )
=…
2
Définition de la régularisée d'une fonction continue par morceaux sur ℝ
Soit f une fonction continue par morceaux sur ℝ .
La fonction définie sur ℝ par x →
f ( x +0 ) + f ( x−0 )
est appelée régularisée de f .
2
Exemple : soit f la fonction 3_périodique telle que : ∀ x∈[ −1; 2 [ , f ( x ) =2 x +4 .
̃
La régularisée de f notée f̃ est définie par : si ∃ k ∈ℤ tel que x=2 +3 k alors f ( x ) =5
̃
sinon f ( x )= f ( x )
Exemple de code Python définissant une fonction b−a _ périodique ̃f égale à sa propre régularisée et telle que
̃f ( a +0 ) + ̃f ( a−0 ) g ( a ) + g ( b )
=
∀ x ∈ ]a ;b [ , ̃f ( x ) =g ( x ) où g est prolongeable par continuité sur [ a ; b ] : ̃f ( a ) =
2
2
{
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2
3
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5
6
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15
def periodique_et_regularisee(g,a,b,x):
if a<x<b:
return g(x)
if x==a:
return (g(a)+g(b))/2
if x>=b:
return periodique_et_regularisee(g,a,b,x-(b-a))
return periodique_et_regularisee(g,a,b,x+(b-a))
import numpy as np
X=np.linspace(-2,2,1001)
Y=[periodique_et_regularisee(lambda t:t**2,0,1,x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y,linestyle='',marker='+')
plt.show()
Séries de Fourier
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Théorème de Dirichlet : convergence ponctuelle de la somme de la série de Fourier vers la régularisée
Soit f une fonction T-périodique définie sur ℝ et Sn ( f ) sa somme partielle de Fourier au rang n .
Si f est de classe C1 par morceaux alors pour tout réel x , ( S n ( f ) ( x ) ) n∈ℕ converge vers la demi-somme des limites
de f à gauche et à droite du réel x :
+∞
f ( x +0 ) + f ( x−0 )
∀ x ∈ℝ , a 0 ( f ) +∑ a n ( f )×cos ( n ω x ) +b n ( f )×sin ( n ω x )=
2
n=1
On peut retenir : Si f est de classe C1 par morceaux alors sa série de Fourier converge en tout point vers sa régularisée.
La somme d'une série de fonctions continues sur ℝ peut être définie sur ℝ sans être continue sur ℝ .
f ( x+ 0 ) + f ( x−0 )
Remarque : si une fonction est égale à sa régularisée i.e. ∀ x ∈ℝ , f ( x ) =
alors elle est dite
2
« développable en série de Fourier ».
Corollaire du théorème de Dirichlet pour les fonctions continues
Soit f une fonction T-périodique Définie sur ℝ .
Si f est continue sur ℝ et de classe C1 par morceaux, alors :
les séries numériques
∑ an ( f )
et
∑ bn ( f )
sont absolument convergentes.
et pour tout réel x , la série numérique S ( f ) ( x ) converge vers f ( x ) .
+∞
∀ x ∈ℝ , a 0 ( f ) +∑ a n ( f )×cos ( n ω x ) +b n ( f )×sin ( n ω x )= f ( x )
n=1
Dans ce particulier cas la fonction f est dite « développable en série de Fourier ».
Démonstration : si f est continue sur ℝ alors ∀ x ∈ℝ , f ( x ) =
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f ( x+ 0 ) + f ( x−0 )
donc f est égale à sa régularisée.
2
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Contre-exemple : soit f la fonction paire 2_périodique définie par : ∀ x ∈[ 0 ; 1 ] , f ( x ) =√ x .
f est continue sur ℝ mais pas de classe C1 sur ℝ : le théorème de Dirichlet précédent ne peut pas s'appliquer.
Exemple de code Python utilisant numpy :
1
2
3
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5
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28
import numpy as np
def an(n,f,a,b):
x=np.arange(a,b,0.01)
y=[f(t)*np.cos(n*(2*np.pi/(b-a))*t) for t in x]
if n==0 :
return 1/(b-a)*np.trapz(y,x)
else :
return 2/(b-a)*np.trapz(y,x)
def bn(n,f,a,b):
x=np.arange(a,b,0.01)
y=[f(t)*np.sin(n*(2*np.pi/(b-a))*t) for t in x]
return 2/(b-a)*np.trapz(y,x)
def Sn(n,T,An,Bn,x):
return An[0]+sum(An[k]*np.cos(k*(2*np.pi/(b-a))*x) for k in range(1,n+1))+sum(Bn[k]*np.sin(k*(2*np.pi/(b-a))*x) for k in range(1,n+1))
f=lambda x: np.sqrt(abs(x))
a=-1
b=1
n=40
An=[an(k,f,a,b) for k in range(n+1)]
Bn=[0]+[bn(k,f,a,b) for k in range(1,n+1)]
X=np.arange(-5,5,0.01)
Y=[Sn(n,b-a,An,Bn,x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y)
Séries de Fourier
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