Equations de droites - Playmaths

Equations de droites
QCM p.182
I.
Equations de droites
1) Propriété Définition
L’ensemble des points M(x ; y) vérifiant y = ax +b ou x = c est une droite.
Cette équation est l’équation réduite d’une droite.
a est le coefficient directeur de la droite.
Dem :
Soit A (xA ; yA) et B( xB ; yB) deux points distincts d’une droite D, et M (x ; y ) un point libre
de D.
Alors les vecteurs Ä;AB et Ä;AM sont colinéaires.
C'est-à-dire que :
(xB – xA)(y – yA) = (yB – yA) (x – xA)
 si xB  xA, cette équation se réduit à :
y = Error!(x – xA) + yA, de la forme y = mx + p
m = Error! est le coefficient directeur de la droite (AB).
 si xB= xA = c , alors xB – xA = 0, et l’équation se réduit à x = xA, de la forme x = c
Exemple :
Déterminer l’équation réduite de la droite D, passant par A( -3 ; -1 ) et B( 2 ; 5).
( y = Error!x – Error! )
Ex 3-4-12-13-14-16 p.200
2) Coefficient directeur
Soit A (xA ; yA) et B( xB ; yB) deux points distincts tels que xB  xA.
Le coefficient directeur m de la droite (AB) est m = Error!.
Ex 4-5 p 200
3) Propriétés
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx +p, où m
et p sont deux nombres réels.
Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = k.
Ex 1-15 p.200
4) Déterminer une équation de droite
Méthode coefficient directeur, puis ordonnée à l’origine
A( 1 ; 3) et B( 7 ; 6)
Méthode système de deux équations à deux inconnues
A( -2 ; 2 ) et B ( 4 ; -2 )
Ex 18 p.201
1
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5) Représentation graphique
Ordonnée à l’origine
Coefficient directeur
Ex 6-7-8-9-10-11 p200
II. Droites parallèles et sécantes
1) Droites parallèles
Dans un repère, deux droites d et d’ d’équations y= mx+p et y= m’x+p’ sont parallèles si et
seulement si elles ont le meme coefficient directeur. ( c’est à dire m = m’ )
Exemples :
2) Droites sécantes
Dans un repère, deux droites d et d’ d’équations y= mx+p et y= m’x+p’ sont sécantes si et
seulement si m ≠ m’ )
Exemple :
Ex 26-27-28-29-30 p.202
3) Points alignés
Propriété :
Soient A, B et C trois points distincts.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même
coefficient directeur.
III. Systèmes de deux équations linéaires à deux
inconnues
1) Système linéaire
Définition :
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y est un système de la forme :
ax  by  c
(S) 
, où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des réels
a'x  b' y  c'
Résoudre le système (S) consiste à trouver tous les couples de réels (x ; y) vérifiant
simultanément les deux équations formant le système (S).
Exemple :
5x  4 y  7
Soit le système (S) 
. Le couple ( 3 ;2 ) est solution de la première équation. Il
7 x  y  23
est aussi solution de la seconde équation. Donc ( 3 ; 2) est une solution du système ( S). Nous
ne savons pas pour l’instant si cette solution est unique ou non.
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2) Résolution d’un système à deux inconnues
Dans le cas où b  0, l’équation ax + by = c est celle d’une droite D d’équation réduite
y = - Error!x + Error! et de coefficient directeur m = - Error!.
Ainsi, résoudre le système (s) revient à chercher les points communs à D et D’.
Trois cas seulement peuvent se présenter :
1. D et D’ sont sécantes. Les coefficients directeurs des deux droites ne sont pas égaux : a
b’  a’ b. ( a b’ - a’ b  0 ) Le système a une seule solution.
2. D et D’ sont strictement parallèles. Les coefficients directeurs des deux droites sont
égaux : ab’ = a’ b. ( a b’ - a’ b = 0 ) Le système n’a aucune solution.
3. D et D’ sont confondues. Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux :
ab’=a’b. Le système a une infinité de solutions : tous les couples coordonnées des points
des droites D ou D’.
Dans le cas ou b = 0, il est aisé de savoir si les droites D et D’ sont sécantes, strictement
parallèles ou confondues.
Fiche : différentes méthodes pour résoudre un système
Exemples :
4x  3y  6
(1) 
x  5y  13
4 x  6 y  5
(2) 
6x  9 y  7
a b’ - a’ b = 23  0. Le système a une seule solution. S = {(3 ;2)}
a b’ - a’ b = 0. Le système n’a pas de solution ou a une infinité de
solutions. S =.
4 x  6 y  2
(3) 
a b’ - a’ b = 0. Le système n’a pas de solution ou a une infinité de
6x  9 y  3
solutions. S ={(x ; -Error!x +Error!) ; x  Ë}.
Ex 31-32 à 41 p.203
Ex 43-44-45 p.202
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