Topologie des espaces vectoriels normés

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Topologie
Topologie des espaces vectoriels normés
3. Montrer que si A est compact et x ∈ E, alors dA (x) est atteint, c’est-à-dire qu’il existe
a ∈ A tel que dA (x) = d(x, a). Est-ce que a est unique ?
Généralités
4. Montrer que si A est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et si x ∈ E, alors
dA est atteinte. Existe-t-il un unique a ∈ A tel que dA (x) = d(x, a) ?
1 Si x = (x, y) ∈ R2 , on pose
kxk = Sup
t ∈R
Indication : Faire un dessin. Utiliser l’exercice 6.8 et la caractérisation des compacts dans un
espace de dimension finie.
|x + t y|
1+ t + t2
5. Si A et B sont deux parties non vides de E, on appelle distance de A à B le réel
Montrer que k k est bien définie et qu’il s’agit d’une norme sur R2 . Dessiner la boule unité.
À l’aide du dessin (sans calcul), comparer k k aux normes usuelles k k1 , k k2 et k k∞ (en
particulier, constater qu’elles sont équivalentes).
b∈B
Montrer que d(A, B) = d(B, A). Le fait que d(A, B) 6= 0 est-il équivalent au fait que A ∩ B
est vide ? ou bien que A ∩ B = ; ?
E = { f ∈ C 1 ([0 ; 1]) | f (0) = 0}
2 On note
et
d(A, B) = Inf dA (b)
∀f ∈ E
0
N( f ) = k f k∞ + k f k∞
6 Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E.
0
n( f ) = Sup | f (t ) + f (t )|
1. Montrer que Int A est ouvert. Montrer que si A ⊂ B, alors A ⊂ B. En déduire que
\
F
A=
t ∈[0 ; 1]
Montrer que N et n sont deux normes sur E et qu’elles sont équivalentes.
F fermé
A⊂F
3 Soient E = C 2 ([0 ; 1]) et
∀f ∈ E
2. Comparer (Int A)c et Ac .

k f k = k f k∞ = Sup | f |



[0 ; 1]
3. Comparer A et A.
k f k1 = k f 0 k∞ + | f (0)|



k f k2 = k f 00 k∞ + | f 0 (0)| + | f (0)|
4. A-t-on A ∩ B = A ∩ B ?
5. Si A est ouvert, montrer que A ∩ B = A ∩ B.
Vérifier que l’on a trois normes sur E et les comparer.
6. Montrer que A est borné si, et seulement si, A est borné et comparer leurs diamètres.
4 Unicité du centre et du rayon d’une boule : Soient E un espace vectoriel normé, a, a 0 ∈ E
et r, r 0 > 0. On suppose que B f (a, r ) = B f (a 0 , r 0 ). Montrer que a = a 0 et r = r 0 .
7. Montrer que Vect A ⊂ Vect A ⊂ Vect A.
8. Soit F un sous-espace strict de E. Montrer que F est aussi un sous-espace et que Int F
est vide. Si F est de dimension finie, montrer que F = F.
5 Distance à une partie : Soient E un espace vectoriel normé et A ⊂ E non vide. Si x ∈ E,
on appelle distance de x à A le réel
7 Soit E un espace vectoriel normé. Si A et B sont deux sous-ensembles de E, non vides,
on pose
dA (x) = d (x, A) = Inf d(x, a)
a∈A
1. Montrer que dA est 1-lipschitzienne, c’est-à-dire que
¯
¯
¯dA (x) − dA (y)¯ 6 kx − yk
∀x, y ∈ E
A + B = {a + b | a ∈ A b ∈ B}
1. Si A ou B est ouvert, montrer que A + B est ouvert.
2. Si F est fermé non vide et K est compact, montrer que K + F est fermé. Montrer qu’on
ne peut pas se débarasser de l’hypothèse « K compact. »
dA est-elle continue ? Caractériser A à l’aide de la fonction dA . Comparer les fonctions
dA et dA .
3. Si K et K0 sont deux compacts, montrer que K + K0 est compact.
2. On suppose que A et B sont deux parties de E, telles que A ∩ B = ;. Montrer qu’il existe
deux ouverts U et V, d’intersection vide, tels que A ⊂ U et B ⊂ V.
8 Soient E = C ([0 ; 1], K) et F = { f ∈ E | f (0) = f (1)}. Déterminer F et Int F lorsque E est
normé par k k∞ , k k1 ou k k2 .
d −d
Indication : Considérer la fonction dA +dB , après avoir justifié qu’elle est bien définie.
A
B
1
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Topologie
14 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, K une partie compacte de E, et f : E −→ F
continue injective. Alors f est une bijection de K sur f (K). Montrer que la bijection réciproque est continue.
Convergence, continuité
9 Soit f ∈ C 1 (R, R). Montrer que l’application g suivante est continue :
( f (y)− f (x)
∀(x, y) ∈ R
2
g (x, y) =
15 Soit K un compact dans un espace vectoriel normé E. On se donne f : K −→ K telle que
si x 6= y
y−x
∀x, y ∈ K x 6= y =⇒ k f (x) − f (y)k < kx − yk
f 0 (x) si x = y
Montrer que f a un unique point fixe dans K.
10 Soit f ∈ C (R2 , R). Montrer que l’application g définie ci-dessous est continue :
∀x ∈ R
Indication : Considérer la fonction continue x 7−→ k f (x) − xk.
16 Topologie dans Mn (K) : Soit n un entier non nul.
g (x) = Sup f (x, y)
1. Montrer que GLn (K) est un ouvert dense dans Mn (K).
y∈[0 ; 1]
2. Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans Mn (C).
11 Soit f : Rn −→ R, continue, telle que
3. Montrer que On (R) est un compact de Mn (R).
∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ B (0, M)
c
| f (x)| 6 ε
4. Montrer que l’ensemble des projecteurs dans Mn (K) est fermé.
5. Montrer que les projecteurs orthogonaux dans Mn (R) forment un ensemble compact.
On dit alors que lim f (x) = 0. Montrer que f est uniformément continue, bornée, et que
kxk→∞
Sup | f | est atteint.
17 Normes subordonnées dans Mn,p (K) : Soient n et p deux entiers non nuls. Soit M dans
Mn,p (K), qui représente canoniquement un élément de L (Kp , Kn ). Calculer kMk lorsque
Kp et Kn sont normés respectivement par :
Rn
12 Soit n ∈ N? . Montrer que l’application
χ : Mn (K) −→ Kn [X]
A 7−→ χA
1. k k1 et k k1 ;
2. k k∞ et k k∞ ;
est continue.
3. k k1 et k k∞ .
13 Convergence de polynômes : Soient m ∈ N et E = Cm [X]. Soit (Pn )n∈N une suite dans E,
qui converge vers un P ∈ E. On note
∀n ∈ N
Pn =
m
P
k=0
k
a k,n X
P=
m
P
k=0
k
ak X
18 Soient E = C ([0 ; 1], R) et F = C 1 ([0 ; 1], R). On pose
x
Z
∀ f ∈ E ∀x ∈ [0 ; 1]
avec a m 6= 0
(Φ f )(x) =
f (t ) dt
0
Montrer que Φ est linéaire, continue, lorsque E et F sont normés respectivement par
1. Montrer que chaque suite (a k,n )n∈N converge vers a k .
1. k k∞ et k k∞
2. Montrer que (Pn )n∈N converge uniformément vers P sur tout compact de C. Même
chose pour la suite des dérivées successives.
2. k k1 et k k1
3. k k∞ et f 7−→ k f k∞ + k f 0 k∞
Calculer sa norme dans chaque cas.
Indication : Dans le cas k k1 –k k1 , considérer la suite de fonctions f n : x 7−→ (n + 1)(1 − x)n .
Indication : Vous avez le choix de la norme.
19 Soient E un R-espace vectoriel normé et f une forme linéaire sur E. Montrer que f est
continue si, et seulement si, Ker f est fermé.
3. Soient z ∈ C une racine de P et r > 0. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que, pour tout n > N,
Pn a une racine dans B f (z, r ).
Indication : Si Ker f est fermé, poser H+ = {x ∈ E | f (x) > 0} et H− = {x ∈ E | f (x) < 0}. Montrer qu’une
boule incluse dans (Ker f )c est entièrement incluse dans H+ ou dans H− .
Indication : Par l’absurde. Utiliser le théorème de d’Alembert et les résultats précédents.
4. On suppose de plus que toutes les racines de P sont simples. Montrer qu’il existe δ0 > 0
tel que pour tout δ ∈ [0 ; δ0 ], il existe N ∈ N tel que, pour tout n > N, Pn a exactement
une racine dans B f (z, δ).
2
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Divers
20 Le théorème de Picard : Soient E un espace de Banach et f : E −→ E une application
contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈]0 ; 1[ tel que
∀x, y ∈ E
k f (x) − f (y)k 6 kkx − yk
Montrer que f a un unique point fixe.
Indication : Fixer u 0 ∈ E et considérer la suite définie par récurrence par u n+1 = f (u n ).
21 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, avec F complet. Montrer que Lc (E, F) est
complet.
22 Le théorème de Riesz : Soit E un espace vectoriel normé.
1. Soit F un sous-espace strict, fermé, de E. Montrer qu’il existe u ∈ E, de norme 1, tel que
d (u, F) > 21 .
Indication : Faire un dessin. Commencer par trouver un x ∈ E tel que d (x, F) = 12 . Prendre un
e ∈ F, correctement choisi, et considérer la fonction λ 7−→ kx −λek : montrer qu’elle est continue.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
2. On suppose que E est de dimension infinie. Construire une suite (u n )n∈N de vecteurs
de E, de norme 1, tels que ku n − u p k > 12 pour n 6= p. Conclure que B f (0, 1) n’est pas
compacte.
23 Si α > 0 et I est un intervalle, on dit qu’une fonction f est α-höldérienne sur I si, et
seulement si, il existe K > 0 tel que
∀x, y ∈ I
On notera alors
| f (x) − f (y)| 6 K |x − y|α
| f (x) − f (y)|
|x − y|α
x,y∈I
Kα ( f ) = Sup
x6= y
L’ensemble des fonctions α-höldériennes est noté Λα (I). Lorsque α = 1, on parle aussi d’applications lipschitziennes.
1. Vérifier qu’une fonction α-höldérienne est uniformément continue.
2. Trouver une description très simple de Λα (I) lorsque α > 1.
3. Soit f ∈ C 1 (I). Montrer que f est lipschitzienne si, et seulement si, f 0 est bornée sur I.
4. On suppose ici que α ∈]0 ; 1] et I = R. Trouver un exemple de fonction non constante
dans Λα (R).
5. Montrer que l’application
k kα : Λα ([0 ; 1]) −→ R+
f 7−→ k f k∞ + Kα ( f )
¡ α
¢
est une norme et que Λ ([0 ; 1]), k kα est complet.
3