Université de Caen Année universitaire 2007 - 2008 U.F.R. Sciences semestre 5 Licence 3 Mathématiques ◦ Espaces métriques, TD n 6 Exercice I Soit (X, d) un espace métrique complet et f : X → X une application continue. On suppose qu'il existe un entier n ∈ N∗ tel que l'application f ◦n (f composée n fois avec elle même) est contractante. Montrer que f admet un unique point xe. Exercice II On munit le R-espace vectoriel E := C 0 ([0, 1], R) des applications continues de [0, 1] dans R de la norme k · k∞ . On considère de plus l'application : f: E x −→ E Z 1 1 1+ test x(s)ds 7−→ t 7→ 2 0 Montrer que f possède un unique point xe x et donner une majoration de kx − xn k∞ où xn est la suite d'éléments de E dénie par x0 : t 7→ 1 et xn+1 = f (xn ), pour tout n ∈ N. Exercice III On note Cb0 (R, R) le R-espace vectoriel des applications continues et bornées de R dans R. Soient λ ∈]0, 1[ et g ∈ Cb0 (R, R). 1. Montrer qu'il existe une unique fonction f ∈ Cb0 (R, R) telle que : ∀x ∈ R, f (x) = λf (x + 1) + g(x). 2. Exprimer f en fonction de g . Exercice IV Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E et F un fermé non vide de E . 1. Montrer que si F est compact, alors il existe (k, f ) ∈ K × F tels que d(k, f ) = d(K, F ). 2. Montrer qu'il existe (k1 , k2 ) ∈ K 2 tels que d(k1 , k2 ) = diam(K). 3. On suppose ici E = Rn ; montrer que dans ce cas il existe (k, f ) ∈ K ×F tels que d(k, f ) = d(K, F ). Exercice V Montrer que dans un espace vectoriel normé, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte. Exercice VI Soit (E, d) un espace métrique. On considère une suite (Kn )n∈N décroissante de compacts non vides de E , c'est-à-dire vériant, pour tout n entier naturel : Kn+1 ⊆ Kn . 1. Montrer que ∩n∈N Kn est compact. 2. Soit (un )n∈N une suite d'éléments de E telle que, pour tout n ∈ N on ait un ∈ Kn . (a) Montrer que si (uϕ(n) )n∈N est une sous-suite de (un )n∈N , alors pour tout n ∈ N, on a uϕ(n) ∈ Kn . (b) En déduire que ∩n∈N Kn est un compact non vide de E . 3. Soit O un ouvert de E contenant ∩n∈N Kn , montrer qu'il existe n ∈ N tel que kn ⊆ O. Exercice VII Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un espace métrique compact X , telles que f soit positive sur X et strictement positive sur g −1 (] − ∞, 0]). Montrer qu'il existe une constante A > 0 telle que ∀x ∈ X, A · f (x) + g(x) > 0. (Indication : raisonner par l'absurde, et considérer les ensembles An = {x ∈ X | n · f (x) + g(x) ≤ 0}). Exercice VIII Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé et A et B deux parties de E . On note : A + B := {a + b | (a, b) ∈ A × B}. 1. Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert. 2. Montrer que si A est compact et B fermé, alors A + B est fermé. 3. Montrer que si A et B sont compact, alors A + B est compact. 4. On munit R × R de la norme euclidienne et on pose : A := {(a, b) ∈ R × R | a > 0 et ab = 1} et B := {(a, b) ∈ R × R | a = 0 et b ≤ 0}. Déterminer la nature topologique de A, B et A + B . Exercice IX Soit n ∈ N∗ . On se place dans le R-espace vectoriel Mn (R) des matrices de taille n × n munit de la norme k · k∞ , c'est-à-dire si A(ai,j )1≤i,j≤n alors kAk∞ = max1≤i,j≤n |ai,j |. Les ensembles Mn (R) et On (R) (ensemble des matrices orthogonales) sont-ils compacts ? Exercice X On munit R de la norme euclidienne. Donner la nature topologique (ouvert, fermé, compact) des ensembles suivants : 2 1. A := {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 − 2xy ≤ 1} 2. B := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 + exy ≤ 36} 3. C := {(x, y) ∈ R2 | 2x2 + 3y 2 < 1} Exercice XI 1. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui converge vers a ∈ E . Montrer que K = {xn | n ≥ 0} ∪ {a} est un compact de E . 2. Soit (E, d) un espace métrique compact et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui possède une seule valeur d'adhérence a dans E . Montrer que cette suite converge vers a.