FIMFA, Mars 2006 Rachel Ollivier TD d’Analyse Complexe -III1 Aire de l’image du disque P Soit f holomorphe et injective sur le disque ouvert unité D, de développement f (z) = cn z n . Exprimer l’aire de f (D) en fonction des c n . La comparer avec π|f 0 (0)|2 et donner les cas d’égalité. 2 Inégalité de von Neumann Soit n ≥ 1. Si E est un C-espace vectoriel, on dit d’une application R : C n → E qu’elle est polynomiale s’il existe e1 , ..., ek ∈ E et des polynômes R1 , ..., Rk ∈ C[X1 , ..., Xn ] tels que R(z1 , ..., zn ) = k X Ri (z1 , ..., zn )ei . i=1 1. On note D le disque unité ouvert de C. Montrer que si R : C n → C est polynomiale, alors |R(z1 , ..., zn )| ≤ sup |R| ∂D n pour tout (z1 , ..., zn ) ∈ D̄ n . En déduire que si (E, k.k) est un espace vectoriel normé complexe et si R : Cn → E est polynomiale, alors supkRk = supkRk. ∂D n D̄ n √ 2. Soit M ∈ Mn (C) ; on note λ1 , ..., λn les valeurs propres de la matrice M ∗ M . En utilisant la décomposition polaire, montrer qu’il existe une application Q : C n → Mn (C) vérifiant les propriétés Q est polynomiale, Q(λ1 , ..., λn ) = M, Q(z1 , ..., zn ) est unitaire si |z1 | = ... = |zn | = 1. 3. On note k.k la norme sur Mn (C) subordonnée à la norme hermitienne usuelle sur C n . Montrer que si M ∈ Mn (C) vérifie kM k ≤ 1, alors pour tout polynôme P ∈ C[X], on a kP (M )k ≤ sup{|P (z)|; z ∈ D̄}. 3 Structure d’espace de Fréchet sur H(Ω) On considère Ω un ouvert de C et l’on note H(Ω) l’espace vectoriel des fonctions holomorphes sur Ω. On définit, pour K compact de Ω, p ∈ N, et f ∈ H(Ω), ||f ||K,p := sup |f (p) (z)|. z∈K 1 1. Montrer que la topologie définie par la famille de semi-normes ||.|| K,p (K variant dans l’ensemble des compacts de Ω, et p variant dans N), ainsi que la topologie définie par la famille de semi-normes ||.||K,0 (K variant dans l’ensemble des compacts de Ω) sont des topologies métrisables. Comment se caractérise la convergence de suites relativement à chacune de ces deux topologies ? Indication : on pourra montrer d’abord que si E est un C-espace vectoriel muni d’une famille de semi-normes (Nk )k∈N dénombrable et séparante (i.e. pour tout x ∈ E\{0}, il existe k ∈ N, Nk (x) 6= 0), alors la topologie définie par la famille de semi-normes est métrisable. 2. Montrer que ces deux topologies coïncident. Remarque : ainsi, pour les suites de fonctions holomorphes sur Ω, la convergence uniforme des fonctions sur tout compact est équivalente à la convergence uniforme des fonctions ainsi que de toutes leurs dérivées sur tout compact. 3. Montrer que l’on peut métriser cette topologie de façon à faire de H(Ω) un espace complet. 4. Montrer que de toute suite (fn ) de H(Ω) telle que pour tout K compact de Ω, ||f n ||K,0 est bornée, on peut extraire une sous suite qui converge uniformément sur tout compact. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Montel. 4 Norme et topologie de la convergence uniforme sur tout compact Soit U un ouvert connexe de C. Montrer que l’on ne peut pas normer la topologie de la convergence uniforme sur tout compact sur l’espace H(U ). 5 Théorème de Mac Lane Nous allons montrer qu’il existe une fonction ϕ ∈ H(C) telle que la suite (ϕ (n) )n≥0 de ses dérivées successives est dense dans H(C). 1. On note T : H(C) → H(C) l’opérateur de dérivation et S : H(C) → H(C) l’application qui à un élément de H(C) associe son unique primitive sur C qui s’annule en 0. Montrer les assertions suivantes : (a) T n S n f = f pour toute f ∈ H(C) et tout n ≥ n. (b) Il existe une partie dense A ⊂ H(C) telle que T n f et S n f tendent vers 0 dans H(C) pour toute f ∈ A. 2. (a) Montrer que si u ∈ A et si v ∈ H(C), alors T n (S n v + u) tend vers v dans H(C). (b) En déduire que si V est un ouvert non vide de H(C), alors l’ensemble {ϕ ∈ H(C), ∃n ≥ 0 T n ϕ ∈ V} est un ouvert dense de H(C). (c) Conclure à l’aide du théorème de Baire. 2