0 si x 0 F (x) x si 0 x 1 1 si x 1 ≤ =

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ESILV
Complément statistique / SUJET 2
2016/2017
EXAMEN du 7 Octobre 2016
DUREE: 2 heures
AUCUN DOCUMENT AUTORISE
CALCULATRICE PROGRAMMABLE AUTORISEE
EXERCICE 1:
Une fléchette est lancée au hasard sur une cible circulaire de rayon 30 cm. On suppose que la fléchette atteint la
cible avec une probabilité 1. On trace sur la cible trois cercles concentriques de rayons respectifs 10, 20 et 30 cm.
Le joueur gagne 20, 10 ou 5 points selon la région qu'il atteint. On note X, la variable aléatoire « Gain du
joueur »
1. Donnez l’ensemble des résultats possibles de X
2. Déterminer la loi de X
EXERCICE 2:
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(8,4). Donner des valeurs approchées pour :
1. P(X<7.5)
2. P(X>8.5)
3. P(6.5<X<10)
4. P(X>6/X>5)
EXERCICE 3:
On lance deux fois un dé équilibré.
Soit la variable aléatoire X1 : Nombre de points sur le dé lors du premier tirage.
Soit la variable aléatoire X2 : Nombre de points sur le dé lors du deuxième tirage.
Nous définissons deux nouvelles variables aléatoires :
Y1 : le plus petit chiffre obtenu Y1=Min(X1,X2)
Y2 : le plus grand chiffre obtenu Y2=Max(X1,X2)
1. Donner la loi de probabilité de X1
2. Calculer E(X1) et Var(X1)
3. Donner la loi de probabilité de X2
4. Donner la loi de probabilité de Y1
5. Donner la loi de probabilité de Y2
6. Donner la loi de probabilité jointe du vecteur aléatoire (Y1,Y2)
7. Donner la loi de probabilité conditionnelle de X1 sachant que Y1 vaut 3 ou 4
8. X1 et Y1 sont elles indépendantes ? Justifiez et commentez
EXERCICE 4:
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est la suivante :
0 si x  0

FX (x)   x si 0  x  1
1 si x  1

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C. Guillot
Vérifier que FX est bien une fonction de répartition
Représenter graphiquement FX
X est-elle une variable aléatoire discrète ou continue ?
Calculer les probabilités suivantes :
P(X  0.3)
X admet-elle une fonction de densité ? Si oui, la déterminer
Recalculer P(X  0.3) avec la fonction de densité
Calculer l’espérance de X et la variance de X
Soit la variable aléatoire suivante : Y=X+2
Déterminer la fonction de densité de Y
Calculer l’espérance de Y de deux façons
0
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EXERCICE 5:
La durée de vie X d’un certain type de lampes à incandescence suit une loi normale d’espérance égale à 160h et
d’écart-type  . Les spécifications impliquent que 80% au moins de la production tombe en panne entre 120h et
200h. Quel est le plus grand écart-type  de X acceptable pour que la fabrication réponde aux spécifications ?
EXERCICE 6:
Soit une variable aléatoire X dont la fonction de répartition est la suivante :
0 si x  0
F(x)  
1  exp(2x) si x  0
1. X est-elle une variable aléatoire discrète ou continue
2. X admet-elle une fonction de densité ? (c'est-à-dire est ce que X est une variable absolument continue ?)
Si oui, déterminer sa fonction de densité.
3. Calculer P(X>1) à l’aide de la fonction de densité.
4. Calculer P(X>1) à l’aide de la fonction de répartition.
5. Calculer E(X)
EXERCICE 7:
Jeu du "crown and anchor" : on parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 2 fois un dé équilibré. Si le nombre sur
lequel on a parié sort :
2 fois, on gagne 3 euros;
1 fois, on gagne 2 euros ;
0 fois, on perd 1 euro.
Soit X le gain lors d'une partie, déterminer la loi de X et son espérance et sa variance.
EXERCICE 8:
On suppose que les réacteurs d’un avion ont, avec probabilité (1-p), une défaillance en cours de vol. Les
défaillances se produisent indépendamment les unes des autres. L’avion peut terminer sans difficulté son vol si la
moitié de ses réacteurs au moins fonctionne. Pour quelles valeurs de p les quadriréacteurs
sont-ils préférables aux biréacteurs ?
Rappels (si besoin !):
1. Formules de dénombrement dans le cas suivant : on choisit k éléments parmi n
Ordre :
OUI
NON
Répétition :
OUI
NON
2.
nk
A kn 
n!
 n  k !
 n + k  1!
k! n  1!
Ckn 
n!
k! n  k !
Si X B(n,p) (loi binomiale) alors  k  0,n P(X=k) = C p (1  p)
k
k
n k
n
C. Guillot
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Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
C. Guillot
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2016/2017
FRACTILES DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE
C. Guillot
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