Sommaire du cours 6 MAT431 Equations différentielles Raphaël KRIKORIAN 25 septembre, 2012 MAT431 Equations différentielles 25 septembre, 2012 1 / 35 1 Plan cours 6 2 Sous-variétés 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord MAT431 Equations différentielles Plan cours 6 25 septembre, 2012 2 / 35 Plan du cours 6 Remarques : 1 (1) : Lire tout le chapitre 8 de [V]. Sous-variétés Définition Diverses représentations 2 Espace tangent 3 Points critiques des fonctions Extrema liés Héssienne (2) : Supports de cours disponibles à l’adresse : http ://www.mathematiques.polytechnique.edu/accueil/enseignement/cyclepolytechnicien/annee-2/support-pedagogique-mat-4317583.kjsp ?RH=1254312611509 ou http ://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php ?id=users :krikorian :mat431 2012-13 4 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 5 Sous-variétés à bord Sous-variétés orientables MAT431 Equations différentielles Plan cours 6 (3) Erreur énoncé devoir (à rendre le 2 octobre) : Dans l’énoncé de l’exercice 1, questions 2 et 3, remplacer R(T , 0) par R(1, 0). 25 septembre, 2012 3 / 35 MAT431 Equations différentielles Plan cours 6 25 septembre, 2012 4 / 35 Sous-variétés de Rn Sommaire du cours 6 Introduction 1 Plan cours 6 2 Sous-variétés Définition Diverses représentations 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord MAT431 Equations différentielles La notion de sous-variété généralise, en dimension supérieure, la notion de courbe et de surface dans Rn . Cette notion apparaı̂t naturellement quand on étudie des systèmes dynamiques où des quantités sont conservées ou, en Physique, des systèmes vérifiant des contraintes (exemple : une particule astreinte à se déplacer sans frottement sur une surface). Une notion plus générale est la notion de variété : l’espace ambiant Rn n’est plus nécessaire pour les définir. On peut alors munir d’une structure différentiable des objets topologiques obtenus par quotients et recollements (exemple le plus simple : les tores Rn /Zn ). Nous n’en parlerons pas dans ce cours. Outils de base : Théorème des fonctions implicites et théorème d’inversion locale. Sous-variétés 25 septembre, 2012 5 / 35 MAT431 Equations différentielles Sous-variétés Sous-variétés Sous-variétés Définition Diverses façons de définir les sous-variétés 25 septembre, 2012 6 / 35 Définition Un sous-ensemble N ⊂ Rn est une sous-variété de Rn (C ∞ ) si pour tout x ∈ N il existe un ouvert Ux de Rn , contenant x, un entier k 6 n et un difféomorphisme ϕ : Ux → ϕ(Ux ) ⊂ Rn tel que ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (R × {0}). telles que W ∩ N = W ∩ A · {(z, u(z)) : z ∈ Rk } L’entier k s’appelle la dimension de N en x. La paire (U, ϕ) s’appelle une carte locale en x. La dimension d’une sous-variété N de Rn en un point x est définie de façon unique. Si N est connexe, cet entier est indépendant de x et s’appelle la dimension de la sous-variété N. 25 septembre, 2012 (ii) Equation : il existe une application C ∞ , F : Rn ⊃ W → Rn−k telle que DF (x0 ) est surjective et W ∩ N = F −1 (0) (iii) Nappe paramétrée : Il existe j : Rk → Rn de classe C ∞ et définie sur un voisinage U de 0 telle que j(0) = x0 , Dj(0) est injective et j est une bijection bicontinue j : U → N ∩ W . Proposition Sous-variétés N ⊂ Rn est une sous-variété ssi pour tout point x0 ∈ N il existe un ouvert W de Rn , W 3 x0 sur lequel l’une des propriétés suivantes est vérifiée : k n−k ∞ (i) Graphe : il existe A ∈ Gl(n, R) et u : R → R de classe C k MAT431 Equations différentielles Proposition 7 / 35 MAT431 Equations différentielles Sous-variétés 25 septembre, 2012 8 / 35 Sous-variétés Sous-variétés Diverses façons de définir les sous-variétés Exemples Démonstration : Par exemple pour (ii) Si N est une sous-variété : choisissons une carte (Ux0 , ϕ) ; alors localement N est l’ensemble des y ∈ Ux0 ⊂ Rn pour lesquels F (y ) = 0 où F est la projection sur Rn−k de ϕ : DF (x0 ) est bien surjective. Réciproquement, si N est définie localement par F = 0 où DF (x0 ) est surjective : Comme DF (x0 ) est surjective, il existe un espace vectoriel E , dim E = Rn−k tel que DF (x0 )|E soit bijective sur Rn−k . Notons H un supplémentaire et ψ : H ⊕ E → Rn définie par ψ(u, v ) = (u, F (u, v )). On a ψ(u, v ) ∈ Rk × {0} ssi F (u, v ) = 0 donc ssi (u, v ) ∈ N. Vérifions que ψ est un difféomorphisme local : Dψ(u0 , v0 ) · (∆u, ∆v ) = (∆u, Du F (x0 ) · ∆u + Dv F (x0 ) · ∆v ). Le théorème d’inversion locale s’applique ; on pose ϕ = ψ −1 MAT431 Equations différentielles Sous-variétés 25 septembre, 2012 Une sous-variété n’est pas nécessairement fermée : par exemple une spirale image de t 7→ e −t+it . P 2 La sphère Sn := {x = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : n+1 i=1 xi = 1} est une sous-variété : Si F : Rn+1P→ R est définie par 2 n −1 (0). On calcule F (x1 , . . . , xn+1 ) = −1 + n+1 i=1 xi on a S = F DF (x) = 2x1 dx1 + · · · + 2xn+1 dxn+1 ; surjective si x 6= 0. En particulier, ∀x ∈ Sn : Sn est bien une sous-variété. Le tore plongé dans R3 : c’est l’image de j : R × R → R3 , j(θ, ϕ) = ((r − ρ cos θ) cos ϕ, (r − ρ sin θ) sin ϕ, ρ sin ϕ) MAT431 Equations différentielles 9 / 35 Sous-variétés Sous-variétés 25 septembre, 2012 10 / 35 25 septembre, 2012 12 / 35 Sommaire du cours 6 Exemples Immersion : 1 Plan cours 6 2 Sous-variétés 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord Définition (Immersion) On dit que j : Rk ⊃ U → Rn est une immersion si Dj(x) est injective en tout x ∈ U. L’image j(U) n’est pas nécessairement une sous variété. Par abus de langage on parle de sous-variété immergée. Exemple : le “huit”. Ce n’est pas une sous-variété de R2 mais c’est une sous-variété immergée. MAT431 Equations différentielles Sous-variétés 25 septembre, 2012 11 / 35 MAT431 Equations différentielles Espace tangent Espaces tangents Espaces tangents Définition Définition Soit N une sous-variété de Rn et (U, ϕ), (V , ψ) deux cartes locales en x ∈ N. On a D(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) · (Rk × {0}) ⊂ (Rk × {0}). Comme D(ψ ◦ ϕ−1 ) est injective on a D(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) · (Rk × {0}) = (Rk × {0}). En composant par Dψ −1 (ψ(x)) on obtient Dϕ−1 (ϕ(x)) · (Rk × {0}) = Dψ −1 (ψ(x)) · (Rk × {0}). Si N est définie localement en x comme un graphe {(z, u(z)) : z ∈ Rk } on a Tx N = {(h, Du(x) · h) : h ∈ Rk }. Si N est définie localement en x par une équation F (x) = 0 où F : Rn → Rn−k telle que DF (x) est localement surjective, alors Tx M = ker DF (x). Définition Dϕ−1 (ϕ(x)) (Rk Rn L’espace vectoriel · × {0}) de ainsi obtenu, qui ne dépend pas de la carte (U, ϕ) choisie en x s’appelle l’espace tangent à N en x et se note Tx N. L’espace affine tangent à N en x est celui passant par x et de direction Tx N ; on le note T̃x N. MAT431 Equations différentielles Espace tangent 25 septembre, 2012 13 / 35 Si N est définie localement en x comme l’image par j : Rk → Rn où j(0) = x et Dj(0) est injective, alors Tx M = Dj(0) · Rk . MAT431 Equations différentielles Espaces tangents Espaces tangents Définition Exemples On a la caractérisation suivante Espace tangent 25 septembre, 2012 Proposition La sphère S ⊂ Rn+1 admet pour espace tangent en x l’hyperplan ker DF (x) qui est orthogonal à x ∈ Rn+1 . L’espace tangent Tx N est l’ensemble de tous les vecteurs vitesses γ̇(0) où γ : (−, ) → N ⊂ Rn , γ ∈ C ∞ . Le cône C := {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 = 0} n’est pas une variété. MAT431 Equations différentielles Espace tangent 25 septembre, 2012 15 / 35 MAT431 Equations différentielles Espace tangent 25 septembre, 2012 14 / 35 16 / 35 Sommaire du cours 6 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Définition 1 Plan cours 6 2 Sous-variétés Problème : Soit f : Rn → R une fonction de classe C 1 et N une sous-variété de Rn . On se propose de déterminer 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions Extrema liés Héssienne 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions max f (x) x∈N et l’ensemble des points où ce maximum est atteint ; plus généralement on veut déterminer l’ensemble des points critiques x ∈ N de f restreinte à N. 25 septembre, 2012 17 / 35 MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 18 / 35 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Définition Définition On dit que x ∈ N est un point critique de f si Df (x)|Tx N = 0. x0 est un point critique de f , Proposition x ∈ N est un point critique de f ssi pour tout chemin γ : (−, ) → N ⊂ Rn , passant par x (γ(0) = 0) on a d dt (f (γ(t))|t=0 = 0. quand N est définie localement en x0 comme un graphe, ∂f ∂f (x0 , u(x0 )) + ∂y (x0 , u(x0 )) · ∂u {(z, u(z)) : z ∈ Rk } ssi ∂x ∂x (x0 ) = 0 C 1, Si x ∈ N est un maximum ou un minimum local de f|N , alors c’est un point critique. MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 19 / 35 quand N est définie localement en x par une équation, F (x) = 0 où F : Rn → Rn−k telle que DF (x) est localement surjective, ssi ker DF (x0 ) ⊂ ker df (x0 ). Si N est définie localement en x0 comme l’image par j : Rk → Rn où j(0) = x0 et Dj(0) est injective, ssi Df (j(0)) · Dj(0) = 0 MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 20 / 35 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Extrema liés Hessienne Corollaire (Extrema liés) Problème : Soit f : Rn → R et N une sous-variété de dimension n − 1. Comment déterminer si un point critique de f est un maximum ou un minimum local (ou pas) ? On a Tx0 N ⊂ ker Df (x0 ) donc Df (x0 )|Tx0 N = 0. Soit γ : (−, ) → N un chemin C ∞ tracé sur N et passant par un point critique x0 ∈ N de f ∈ C 2 (Rn , R) (γ(0) = x0 ). On a Soit V = {x : F (x) = 0} où F ∈ C 1 (Rn , Rn−k ) a sa différentielle surjective en tout point de V . Alors, pour que la restriction de f ∈ C 1 (Rn , R) à V ait un point critique en x0 il faut et il suffit qu’il existe w ∈ Rn−k tel que f (γ(t)) = f (γ(0)) + t Df (x0 ) = hw , DF (x0 )i. d d2 (f ◦ γ)t=0 + (t 2 /2) 2 (f ◦ γ)t=0 + o(t 2 ). dt dt On a d (f ◦ γ)t=0 = Df (x0 ) · γ̇(0) = 0 dt car x0 est un point critique. MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 21 / 35 MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Hessienne Hessienne En outre, Comme tout à l’heure d d2 f˜ϕ (γ̃ϕ (t)) = f˜ϕ (γ̃ϕ (0)) + t (f˜ϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 + (t 2 /2) 2 (f˜ϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 + o(t 2 ) dt dt d2 (f ◦ γ)t=0 = D 2 f (x0 ) · (γ̇(0), γ̇(0))+Df (x0 ) · γ̈(0) dt 2 Le fait remarquable est que cette quantité est quadratique en γ̇(0) (malgré le terme en γ̈(0)). Pour le voir, soit (U, ϕ) une carte locale en x0 = γ̇(0) et notons γϕ = ϕ ◦ γ, fϕ = f ◦ ϕ−1 : Rk × {0} → R; où d ˜ (fϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 = D f˜ϕ (x0 ) · γ̃˙ ϕ (0) = 0 dt et d2 ˜ (fϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 = D 2 f˜ϕ (x0 ) · (γ̃˙ ϕ (0), γ̃˙ ϕ (0)) + D f˜ϕ (x0 ) · γ̃¨ϕ (0). dt 2 on peut supposer ϕ(x0 ) = 0. Si on note pk la projection de Rk × Rn−k → Rk et γ̃ϕ = pk ◦ γϕ , f˜ϕ = fϕ |Rk : Rk → R on a Mais à présent (D f˜ϕ )|Rk = 0 si bien que (remarquer que γ̃¨ϕ (0) ∈ Rk ) f ◦ γ = fϕ ◦ γϕ = f˜ϕ ◦ γ̃ϕ . MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 22 / 35 D f˜ϕ (x0 ) · γ̃¨ϕ (0) = 0. 25 septembre, 2012 23 / 35 MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 24 / 35 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Hessienne Hessienne On a donc f˜ϕ (γ̃ϕ (t)) = f˜ϕ (0) + (t 2 /2)D 2 f˜ϕ (x0 ) · (γ̃˙ ϕ (0), γ̃˙ ϕ (0)) + o(t 2 ) Remarque : L’interprétation mécanique du fait précédent est que le vecteur accélération γ̈(0) a une composante tangentielle (qui est annulée par Df (x0 )) et une composante normale qui est proportionnelle au carré de la vitesse (et à la courbure) “v 2 /r ”. Si on note H(x0 ) · (v , v ) la forme quadratique définie sur Tx0 N par H(x0 ) · (v , v ) = D 2 f˜ϕ (x0 ) · (Dϕ(x0 ) · v , Dϕ(x0 ) · v ) on voit que f (γ(t)) = f (x0 ) + (t 2 /2)H(x0 ) · (γ̇(0), γ̇(0)) + o(t 2 ). C.Q.F.D. Incidemment, cela démontre que la forme quadratique H(x0 ) ainsi obtenue est indépendante de la carte (U, ϕ) choisie. MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 25 / 35 MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 26 / 35 25 septembre, 2012 28 / 35 Sommaire du cours 6 Points critiques des fonctions sur les sous-variétés Hessienne 1 Plan cours 6 2 Sous-variétés 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord On appelle H(x0 ) la héssienne au point critique x0 . Proposition Si la héssienne de f au point critique x0 est définie positive (resp. négative) alors f|N admet un minimum (resp. maximum) local en x0 . MAT431 Equations différentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 27 / 35 MAT431 Equations différentielles Champs de vecteurs sur les sous-variétés Champs de vecteurs sur les sous-variétés Champs de vecteurs sur les sous-variétés On considère à présent la situation suivante : (t, x) 7→ X (t, x) est un champ de vecteurs de classe C 1 défini sur R × Rn et N est une sous variété de N. Démonstration : Soit τ = sup{t ∈ I : γ([0, t]) ⊂ N}. On veut montrer que τ = s. Comme N est fermée, γ(τ ) ∈ N. On choisit une carte locale (U, ϕ) en γ(τ ) ∈ N et on pose Y = ϕ∗ X . Dans les nouvelles coordonnées (u, v ) ∈ Rk × Rn−k l’équation différentielle s’écrit sous la forme Proposition Si N est une sous-variété fermée de Rn et X tel que u̇(t) = A(t, u(t), v (t)), ∀t ∈ R, ∀x ∈ N, X (t, x) ∈ Tx N alors, si γ(·) est solution de l’équation différentielle γ̇(t) = X (t, γ(t)), γ(0) ∈ N définie sur l’intervalle de temps [0, s], on a pour tout t ∈ [0, s], γ(t) ∈ N. MAT431 Equations différentielles Champs de vecteurs sur les sous-variétés 25 septembre, 2012 29 / 35 Sommaire du cours 6 u(τ ) = u0 , v (τ0 ) = 0. (∗) où B(t, u, 0) = 0 (c’est l’hypothèse ∀t ∈ R, ∀x ∈ N, X (t, x) ∈ Tx N). Si u(·) est la solution sur [0, τ + ] de u̇(t) = A(t, u(t), 0), u(τ ) = u0 on constate que (u(t), 0) est solution de (∗) sur [0, τ + ]. On a donc τ = s MAT431 Equations différentielles v̇ (t) = B(t, u(t), v (t)), Champs de vecteurs sur les sous-variétés 25 septembre, 2012 30 / 35 Sous-variétés à bord Définition 1 Plan cours 6 Notons Hk = {(x1 , . . . , xk )|x1 6 0} le demi-espace de Rk . 2 Sous-variétés Définition 3 Espace tangent 4 Points critiques des fonctions Un sous-ensemble N ⊂ Rn est une sous-variété à bord (C ∞ ) si pour tout x ∈ N il existe un ouvert Ux de Rn , contenant x, un entier k 6 n et un difféomorphisme ϕ : Ux → ϕ(Ux ) ⊂ Rn tel que 5 Champs de vecteurs sur les sous-variétés 6 Sous-variétés à bord Sous-variétés orientables MAT431 Equations différentielles (i) soit ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (Rk × {0}) (ii) ou ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (Hk × {0}). Chacune de ces deux situations exclut l’autre. L’entier k s’appelle la dimension de N en x (si N est connexe, il est constant).L’ensemble des x pour lesquels on est dans le cas (ii) s’appelle le bord ∂N de N. Sous-variétés à bord 25 septembre, 2012 31 / 35 MAT431 Equations différentielles Sous-variétés à bord 25 septembre, 2012 32 / 35 Sous-variétés à bord Sous-variétés orientables Définition Définition Proposition Une sous-variété N (à bord) de dimension k est orientable s’il elle admet un sous-atlas {(U, ϕ)} tel que pour tout changement de cartes ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ) le déterminant de D(ψ ◦ ϕ−1 ) est positif. Si N est une sous-variété de dimension k à bord, son bord ∂N est une sous-variété sans bord de dimension k − 1. Remarque :Il existe des sous-variétés qui ne sont pas orientables : cf. Bande de Möbius. MAT431 Equations différentielles Sous-variétés à bord 25 septembre, 2012 33 / 35 Sous-variétés orientables Normale extérieure à une hypersurface Une hypersurface de Rn compacte, connexe, sans bord est toujours orientable : elle admet un intérieur et un extérieur (composantes connexes bornée et non-bornée de Rn − N). On peut définir dans ce cas la normale extérieure ν(x) ∈ (Tx N)⊥ (kν(x)k = 1) en tout point x ∈ N : celle pour laquelle x + ν(x) appartienne à l’extérieur de N dès que > 0 est assez petit. Si N = F −1 (E ), E > 0, où F : Rn → R+ alors la normale extérieure est ν(x) = MAT431 Equations différentielles ∇F (x) k∇F (x)k Sous-variétés à bord 25 septembre, 2012 35 / 35 MAT431 Equations différentielles Sous-variétés à bord 25 septembre, 2012 34 / 35