Trigonométrie cours 3e F.Gaudon 9 novembre 2004 Table des matières 1 Cosinus, sinus et tangente d’un 1.1 Cosinus (rappel) . . . . . . . . 1.2 Sinus . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tangente . . . . . . . . . . . . angle . . . . . . . . . . . . aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Application au calcul d’angles et de longueurs 2.1 Calcul du sinus, de la tangente ou du cosinus d’un angle dont la mesure est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Calcul de la mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Cas où l’on connaı̂t la mesure de l’angle . . . . . . . 2.2.2 Cas où l’on connaı̂t deux longueurs dans un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Calcul de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 . . . 3 3 3 . . 3 4 3 Relations trigonométriques 4 4 Valeurs particulières du cosinus, du sinus et de la tangente 6 5 Angles inscrits 6 1 1 Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu C H coté opposé H H Z en B HH à l’angle H Z ~ Z A 1.1 HH HH Y H H H hypoténuse H H H H B coté adjacent à l’angle en B Cosinus (rappel) Définition : d = longueur du côté adjacent cos(ABC) longueur de l’hypoténuse 1.2 Sinus Définition : d le nombre noté sin ABC d défini On appelle sinus de l’angle aigu ABC, par : d = longueur du côté opposé sin(ABC) longueur de l’hypoténuse 1.3 Tangente Définition : d le nombre noté tan ABC d défini On appelle tangente de l’angle aigu ABC, par : d = longueur du côté opposé tan(ABC) longueur du côté adjacent 2 Remarque : Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1, ce n’est pas le cas de la tangente. 2 Application au calcul d’angles et de longueurs La calculatrice doit être en mode DEGRÉS. 2.1 Calcul du sinus, de la tangente ou du cosinus d’un angle dont la mesure est connue Exemple : Calcul de sin(60◦ ). On tape 60 sin = ou sin 60 = suivant le modèle de calculatrice. Il s’affiche 0,86602540. Attention ce n’est qu’une valeur approchée de sin(60◦ ). Arrondie à 0,01 près on a : sin(60◦ ) ≈ 0, 87. 2.2 2.2.1 Calcul de la mesure d’un angle Cas où l’on connaı̂t la mesure de l’angle Exemple : Calcul de l’angle x dont la tangente vaut 1, 3. On tape 1,3 tan−1 = ou tan−1 1,3 = ou 1,3 inv tan = ou1,3 etc. suivant les calculatrices. Il s’affiche 52,43140797. Attention, ce n’est qu’une valeur approchée. Arrondie à 0,1 près on a : x ≈ 52, 4◦ . 2.2.2 1 tan =, Cas où l’on connaı̂t deux longueurs dans un triangle rectangle Exemple : Soit EF G un triangle rectangle en F avec EF = 2, 6 cm et EG = 4 cm. d . Calcul de l’angle EGF 3 Dans le triangle EF G rectangle en F , on connaı̂t le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse : d = AB sin EGF CB 2, 6 = 4 = 0, 65 d mesure 40,5◦ environ. Donc l’angle EGF 2.3 Calcul de longueurs Exemple : d = 40◦ . Soit ABD un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD Calcul de la longueur BD. d et le côté Dans le triangle ABD rectangle en B, on connaı̂t l’angle BAD adjacent, on cherche le côté opposé : d = BD tan BAD BA BD tan 40◦ = 9 c◦ × 9 c’est à dire BD ≈ 7, 6 cm. Donc BD = tan 40 3 Relations trigonométriques C H HH HH HH HH A Propriété : 4 HH HH H B Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre. C’est à dire, pour tout angle aigu x, cos(x) = sin(90 − x) et sin(x) = cos(90 − x) Preuve : AB BC d = sin(ACB) d = cos(ABC) d = sin(90 − ABC) Propriété : Pour tout angle aigu x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1 où on note (cos(x))2 = cos2 x Preuve : d + sin2 (ABC) d = ( AB )2 + ( AC )2 cos2 (ABC) BC BC AB 2 AC 2 + = AC 2 BC 2 AB 2 + AC 2 = BC 2 D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC 2 = AB 2 + AC 2 Donc BC 2 BC 2 =1 d + sin2 (ABC) d = cos2 (ABC) 5 Propriété : Pour tout angle aigu x tel que cos(x) 6= 0, tan(x) = sin(x) cos(x) Preuve : d = tan(ABC) AC AB d sin(ABC) = d cos(ABC) AC BC AB BC BC AC × BC AB AC = AB = 4 Valeurs particulières du cosinus, du sinus et de la tangente angle 0◦ 30◦ cosinus 1 √ 45◦ 60◦ 5 3 √2 2 2 1 2 sinus 0 tangente 0 1 √2 2 √2 3 2 √1 3 1 √ 3 Angles inscrits Définition : Sur un cercle C de centre O, on considère trois points A, B et M. L’angle d est appelé angle au centre. On dit que l’angle AM dB est inscrit AOB dans le cercle si M se trouve du même côté que O par rapport à la droite (AB). 6 Propriété : dB a pour mesure la moitié de la mesure de l’angle AOB d c’est L’angle AM à dire : d = 2 × AM dB AOB Preuve : admise 7