transparents - Jérôme Buzzi`s

Introduction
Classification
Systèmes Dynamiques et Applications
En géométrie et en théorie des nombres
MAT 551
Jérôme Buzzi (CNRS & Université Paris-Sud)
http://jbuzzi.wordpress.com/teaching
[email protected]
Amphi 2
Dynamique topologique
21 septembre 2011
Ecole polytechnique
Orbites denses
Introduction
Classification
Orbites denses
Systèmes dynamiques topologiques
Définition
(X , T , φ) (ou simplement φ) système dynamique topologique:
• X espace métrique compact
• T semi-groupe topologique
• φ : T × X → X application continue
Exemples
1. Rα : R/Z → R/Z, x 7→ x + α (α ∈ R/Z)
2. TN : R/Z → R/Z, x 7→ Nx (N ∈ N∗ )
3. A : G → G , x 7→ g .α(x) avec G groupe métrique compact,
g ∈ G et α ∈ Aut(G )
4. tout flot préservant une partie compacte d’une variété
5. mais pas l’application de Gauss, même sur R/Z
Remarque: pour nous T = R, Z ou N
Introduction
Classification
Orbites denses
Conjugaison topologique
Définition
(X , T , φ) et (Y , T , ψ) systèmes dynamiques topologiques sont:
• topologiquement conjugués s’il existe h : X → Y :
• h homéomorphisme
• h ◦ φ(t, x) = ψ(t, h(x)) pour tout (t, x) ∈ T × X
• topologiquement semi-conjugués s’il existe h : X → Y :
• h continue et surjective (X extension, Y facteur)
• h ◦ φ(t, x) = ψ(t, h(x)) pour tout (t, x) ∈ T × X
Remarques
• conjugaison = équivalence
• semi-conjugaison = pré-ordre (mais équivalence faible 6=
conjugaison!)
Introduction
Classification
Orbites denses
Classification topologique
I : C → X , avec C classe de systèmes dynamiques topologiques
Définition
I invariant topologique dans C si:
∀φ, ψ ∈ C φ ≡ ψ =⇒ I(φ) = I(ψ)
I invariant topologique complet dans C si:
∀φ, ψ ∈ C φ ≡ ψ ⇐⇒ I(φ) = I(ψ)
Exemples
• spectre topologique:
σtop (φ) = {λ ∈ C : ∃f ∈ C 0 (X ) f ◦ φt = e λt f 6= 0}
C := {Rα : α ∈ R}, I(Rα ) := {k ± α : k ∈ Z}
• spectre périodique: σper (φ) := {t ∈ T : ∃x ∈ X φt (x) = x}
C := {TN : N ≥ 1}, I(T ) := #Fix(T )
Introduction
Classification
Semi-conjugaison topologique
f : R/Z → R/Z C 0 avec f (0) = 0
∃!F : R → R C 0 telle que F (0) = 0, π(F (x)) = f (π(x))
Exercice
f est une extension topologique de D : R/Z → R/Z
D(x) = (deg f )x avec deg f := F (1) − F (0)
Montrer que cette extension peut être non-triviale
Indication
Considérer
F(h) = D −1 (Id + h)F − Id
0 (R) muni de khk := sup |h(x)|.
sur Cper
x
Exercice
Le degré est-il un invariant topologique complet parmi les
f : R/Z → R/Z C 0 avec f (0) = 0?
Orbites denses
Introduction
Classification
Orbites denses
Irréductibilité
Définition
φ (topologiquement) transitif: ∃x ∈ X Oφ (x) = X
φ minimal: ∀x ∈ X Oφ (x) = X
Exemples
• TN topologiquement transitif, non minimal
• Rα , α ∈
/ Q, minimal
Proposition
φ transitif ssi∀U, V 6= ∅ ouverts, ∃t ∈ T
U ∩ φ−t (V ) 6= ∅
Preuve:
=⇒ : ok
⇐= : soit V1 , V2 , . . . base topologie et x0 ∈ X , 0 > 0
B(xn+1 , 2n+1 ) ⊂ B(xn , n ) ∩ φ−Tn (Vn+1 )
x = limn→∞ xn
Introduction
Classification
Orbites denses
Théorème de Récurrence de Birkhoff
Théorème (Birkhoff)
Tout système dynamique topologique admet un point récurrent
Définition
L’ensemble ω-limite: ωφ (x) := {limk→+∞ φtk (x) : tk % ∞}.
(si φ inversible, αφ (x) := {limk→+∞ φtk (x) : tk ∈ T , tk & −∞})
Lemme
ωφ (x) est un compact non-vide, strictement invariant:
φt (ωφ (x)) = ωφ (x) pour tout t ∈ T
Lemme
Tout SDT admet un sous-système minimal
Preuve du théorème