Vecteurs aléatoires

Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
Méthodes
I. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans ¡2
§
Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans ¡2 . Soient X et Y deux variables aléatoires
réelles discrètes. L’application (X,Y):
W®¡
2
w a (X(w),Y(w))
est un vecteur aléatoire discret à
valeur dans ¡2 (ou couple de variables aléatoires réelles discrètes).
§
Loi de probabilité ou loi conjointe de (X,Y). On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe)
d’un
couple
de
variables
aléatoires
réelles
discrètes
(X,Y),
l’application
(X,Y)(W) ® ¡
p:
.
(i, j) a p ([X = i] Ç [Y = j ])
§
Loi marginale de X. Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On
X(W) ® ¡
appelle loi marginale de X, l’application p : i a
p [X = i] Ç [Y = j ] .
å (
jÎY( W )
§
Loi conditionnelle de X sachant [Y=j]. Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires
réelles discrètes et j Î Y(W) tel que p(Y = j) ¹ 0. On appelle loi conditionnelle de X sachant
[Y=j], l’application :
X(W) ® ¡
p:
§
)
(
iap X =i
=
Y = j)
p ([X = i] Ç [Y = j ]) .
p(Y = j)
Indépendance de deux variables aléatoires. Soient (X,Y) un couple de variables
aléatoires réelles discrètes. X et Y sont indépendantes si
"(i, j ) Î (X,Y)(W),p ([X = i ] Ç [Y = j ]) = p (X = i) p ( Y = j) .
II. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans ¡n
§
Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans ¡n . Soient n un entier naturel supérieur ou
égal à 2 et ( Xi )1£i£ n n variables aléatoires réelles discrètes.
L’application ( Xi )1£i£n :
§
W ® ¡n
w a ( Xi (w))
est un vecteur aléatoire discret à valeurs dans ¡n .
1£i£n
Loi de probabilité de (Xi)1=i=n. On appelle loi du vecteur aléatoire discret ( Xi )1£i£ n ,
(X i )1£i£n(W) ® ¡
l’application p :
p:
æn
ö÷ , également notée
ç
(K)
÷
i 1£i £n a p çI [ Xi = K i ]÷
çèi=1
ø÷
( xi )1£i£n(W) ® ¡
(K)
i 1£i £n a p ( X1 = K1, X2 = K2 ,...,Xn = Kn )
Page 1
.
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Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre
que la consultation individuelle et privée sont interdites.
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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
§
Loi marginale de X 1. Soit ( Xi )1£i£ n un vecteur aléatoire discret à valeurs dans ¡n . On appelle
X1 (W ) ® ¡
loi marginale de X1 , l’application p :
§
ia
æ
æn
öö÷ .
p ççç[X1 = i] Ç ççç I éë X j = K j ùû ÷÷÷÷÷
÷ø÷ø÷
ç
èç j=2
(K j )2£j £n Î( Xj )2£j £n ( W) è
å
Indépendance. Soit ( Xi )1£i£ n un vecteur aléatoire discret à valeurs dans ¡n . Les variables
aléatoires ( Xi )1£i£ n sont mutuellement indépendantes (ou indépendantes) si :
n
æn
÷÷ö = p (X = K , X = K ,...,X = K ) =
ç
"(K)
p ( Xi = K i ) .
i 1 £i£n Î ( Xi )1£i £n (W),p çI [X i = Ki ]÷
1
1
2
2
n
n
Õ
÷ø
çè i=1
i=1
§
Soit ( Xi )1£i£ n un vecteur aléatoire discret à valeurs dans ¡n . Si les variables aléatoires ( Xi )1£i£ n
sont indépendantes, alors :
-toute permutation de ( Xi )1£i£ n est indépendante,
-pour tout p Î §1,n¨ , les variables aléatoires ( Xi )1£i£ p sont indépendantes et :
-pour tout p Î §1,n - 1¨ , toute fonction de ( Xi )1£i£ p est indépendante de toute fonction de
( Xi )p +1£ i£ n .
Soit (Xn )nÎ ¥ une suite de variables aléatoires discrètes. Cette suite est une suite de variables
aléatoires indépendantes si toute sous-suite finie de cette suite est constituée de variables
aléatoires indépendantes.
III.
Opérations sur les variables aléatoires
§
Linéarité de l'espérance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes
admettant une espérance. On a : " (a,b) Î ¡2 ,E (aX + bY) = aE (X) + bE (Y) .
§
Covariance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes admettant une
espérance et telles que XY admette également une espérance. On appelle covariance de X et
Y et on note cov(X,Y) , le nombre :
cov(X,Y) = E (((X - E(X)(Y - E(Y))) soit :
cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) .
En particulier, on a : cov(X,X) = V(X) .
§
Propriétés de la covariance. Soient X, Y et Z trois variables aléatoires réelles discrètes
admettant une espérance et telles que XZ et YZ admettent également une espérance.
On a :
"(a,b) Î ¡2 ,cov(aX + bY,Z) = a cov(X,Z) + b cov(Y,Z) ,
cov(X,Y) = cov(Y,X) ,
cov(X,Y) £
Page 2
V(X)V(Y) .
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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
§
Variance d'une somme. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes admettant
une variance et telles que XY admette une espérance. On a :
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X,Y) .
Plus généralement, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour toute suite ( Xi )1£i£ n de
variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance et telles que, pour tout couple
(i, j) Î §1,n¨2 , XiX j admette une espérance, on a
æ n
ö
V ççå Xi ÷÷÷ =
çè i=1 ÷ø
n
å V(X ) + 2 å
i
i=1
1£ i £j £n
c o v ( Xi , Xj ) .
Soient I et J deux sous-ensembles de ¥ , X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes
telles que X(W) = {xi, i Î I} et Y(W) = {y j, j Î J} , f une fonction définie sur
(X,Y) (W) et Z = f(X,Y) . Z est une variable aléatoire discrète et, si la double somme
å f(x,y) p([X = x ] Ç [Y = y ])
iÎI
jÎJ
i
j
i
vaut : E(Z) =
existe, alors Z adme t une espérance et cette espérance
j
å f(x,y) p([X = x ]Ç [Y = y ]) .
iÎI
j ÎJ
i
j
i
j
En particulier, si E(XY) existe, on a : E(XY) = å xy
i j p([X = x i ]Ç [Y = y j ]) .
iÎI
jÎJ
Indépendance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes. On a
alors :
- cov(X,Y) = 0,
- E(XY) = E(X)E(Y) (si X et Y admettent une espérance);
- V(X + Y) = V(X) + V(Y) (si X et Y admettent une variance).
Coefficient de corrélation linéaire. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes non
constantes ou quasi-constantes. On appelle coefficient de corrélation linéaire et on note r x,y le
nombre : r x,y =
On a :
cov(X,Y)
.
s x sy
rx,y £ 1 et rx,y = 1 et si et seulement si $(a,b) Î ¡ * ´ ¡, Y = aX + b. Y est alors dite
fonction quasi-affine de X.
Stabilité pour la somme des lois binomiale et de Poisson. Soient X et X' deux variables
aléatoires réelles discrètes indépendantes,
- si X suit B(n,p) et X' suit B(n',p), alors (X+X') suit B(n+n',p),
- si X suit P( l ) et X' suit P( l ' ), alors (X+X') suit P (l + l ') .
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