calcul trigonometrique - les mathematiques pour tous

2016-2017
Abderrahmane KARMIM
CALCUL TRIGONOMETRIQUE
PARTIE 1
I) RAPPELLES ET EXTENSION
1) Activités
Activité1:
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐴 tel que 𝐴𝐵 = 4 et 𝐵𝐶 = 3 ;
soit 𝐻 la projection orthogonal de 𝐴 sur (𝐵𝐶)
1. Calculer 𝐵𝐶
̂)
2. a) Calculer cos⁡(𝐴𝐵𝐶
̂]
b) En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle [𝐴𝐵𝐶
c) Déterminer la distance 𝐴𝐻
̂ ) en déduire ⁡sin(𝐴𝐵𝐶
̂)
3. ) déterminer tan⁡(𝐴𝐵𝐶
Activité2:
Dans le triangle ci-contre on considère 𝐴𝐵 = 5 et 𝐸𝐵 = 4
̂ ) en déduire sin⁡(𝐴𝑂𝐸
̂ ) et tan⁡(𝐴𝑂𝐸
̂)
Calculer cos⁡(𝐴𝑂𝐸
2) Unités de mesure des angles et des arcs géométriques
2.1 Activité
Activité:
Soient (𝒞)⁡et⁡(𝒞 ′ ) deux cercles de même centre 𝑂 et de rayons respectifs
𝑅 et 𝑅′ (on suppose que 𝑅 < 𝑅′).
̂ = 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 90°)
Soient 𝑀 et 𝑁 deux points du cercle (𝒞) tels que 𝑀𝑂𝑁
𝑀′ est le point d'intersection de la droite (𝑂𝑀) avec le cercle (𝒞′)
𝑁′ est le point d'intersection de la droite (𝑂𝑁) avec le cercle (𝒞′)
1. a) Montrer que les droites (𝑀𝑁) et (𝑀′ 𝑁 ′ ) sont parallèles.
b) En déduire la valeur du rapport 𝑘 =
𝑀′𝑁′
en
𝑀𝑁
fonction de 𝑅 et 𝑅′.
2. a) Déterminer la longueur du cercle (𝒞) et celle du cercle (𝒞′)
̂
̂ en déduire celle de l'arc 𝑀′𝑁′
b) Déterminer la longueur de l'arc 𝑀𝑁
3. Déterminer une relation entre la longueur d'un arc de cercle et la rayon de ce cercle.
2.2 Unités de mesure:
Pour mesurer un angle on a trois unités: le degré ; le grade et le radian
Définition:
Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon.
Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.
Remarques:
𝟏⁡𝑟𝑎𝑑⁡ ≃ 𝟓𝟕, 𝟑°
𝝅⁡𝑟𝑎𝑑 = 𝟏𝟖𝟎° = 𝟐𝟎𝟎⁡𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒
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Propriété:
𝒙
𝒚
𝒛
Si 𝒙⁡, 𝒚⁡et⁡𝒛 sont les mesures d'un angle en radian, degré et en grade respectivement alors: 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎 = 𝟐𝟎𝟎
Application:
Compléter le tableau suivant:
Mesure de
l'angle en degré
Mesure de
l'angle en radian
45
210
𝜋
6
360
𝜋
8
2.2 Mesure et longueur d'un arc géométrique
Définition:
La mesure d'un arc géométrique est la mesure de l'angle géométrique centrique qui l'intercepte.
Propriété:
Si 𝜶 est la mesure d'un arc géométrique en radian sur un cercle de rayon 𝑹,
alors la longueur de cet arc est 𝑹𝜶
Cas particulier:
La longueur d'un arc géométrique sur un cercle de rayon 𝑅 = 1 est la mesure de l'angle
géométrique centrique qui l'intercepte.
II) LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE; LES ABSCISSES CURVILIGNES
1) Orientation d'un cercle; cercle trigonométrique
1.1 Orientation du cercle.
Soit (𝒞) un cercle de centre 𝑂 et de rayon 𝑅. 𝐼 un point sur le cercle (𝒞).
Si on veut se déplacer sur le cercle (𝒞) à partir du point , deux sens s'impose.
L'orientation du cercle revient à choisir un sens, l'un sera directe (positif) l'autre sera
indirecte (négatif).
On convient que le sens contraire au déplacement de l'aiguille d'une montre est le sens positif
Si on oriente tous les cercles du plan de même sens on dit qu'on a orienté le plan.
1.2 Cercle trigonométrique.
Définition:
Le cercle trigonométrique est un cercle:
 de centre 𝑂 l'origine du plan
 de rayon 𝑅 = 1
 orienté une orientation positive.
 et admet une origine 𝐼
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2) Les abscisses curvilignes
1.1 L'abscisse curviligne principale d'un point sur le C.T
Soit (𝒞) le cercle trigonométrique d'origine 𝐼; considérons l'intervalle ] − 𝜋, 𝜋]
tel que 0 l'abscisse de 𝐼 sur l'axe perpendiculaire sur (𝑂𝐼). Si on fait enrouler
le segment qui représente ] − 𝜋, 𝜋] au tour du cercle (𝒞) on remarque que
chaque point 𝑁⁡d'abscisse 𝛼 de l'intervalle ] − 𝜋, 𝜋] s'associe avec un point unique
𝑀 du cercle trigonométrique.
Le réel 𝜶 s'appelle l'abscisse curviligne principale du point 𝑴
et inversement si 𝛼 est un réel de l'intervalle ] − 𝜋, 𝜋], alors il existe un point 𝑀 unique
de (𝒞) qui s'associe avec le point 𝑁(𝛼).
̂ ].
Le réel 𝛼 représente aussi la mesure de l'angle géométrique centrique [𝐼𝑂𝑀
Exercice:
Placer sur le cercle trigonométrique (𝒞) les points d'abscisse curviligne principale:
𝜋
𝜋 3𝜋 𝜋
−3𝜋
⁡;⁡− 4 ⁡;⁡ 4 ⁡⁡, 3 ⁡et⁡ 4 ⁡
4
1.2 Les abscisses curvilignes d'un point sur le cercle trigonométrique
Considérons le cercle trigonométrique (𝒞) d'origine 𝐼. (Δ) est la droite
passante par 𝐼 et perpendiculaire à (𝑂𝐼) et d'unité égale à 𝑂𝐽.
Soit 𝑀 un point sur le cercle (𝒞) et d'abscisse curviligne principale 𝛼.
Si on suppose que la droite (Δ) est un file qu'on peut enrouler autour du cercle (𝒞)
on remarque que la point 𝑀 du cercle (𝒞) coïncide avec une infinité de points de
la droite (Δ); et qui ont pour abscisses
… . . (𝛼 − 6𝜋), (𝛼 − 4𝜋), (𝛼 − 2𝜋), (𝛼), (𝛼 + 2𝜋) … ..
En générale: chaque point 𝑁𝑘 de la droite (Δ) qui coïncidera avec le point 𝑀
aura pour abscisse 𝛼 + 𝑘𝟐𝝅
Ces réels s'appellent les abscisses curvilignes du point 𝑀 sur le cercle (𝒞).
Définition:
Soit 𝑀 un point sur le cercle (𝒞) et d'abscisse curviligne principale 𝜶.
Les réels qui s'écrivent de la forme 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 où 𝒌 est un entier relatif s'appellent les abscisses curvilignes du point
𝑀 sur le cercle (𝒞).
Remarque:
̂ ] est |𝛼|.
La mesure en radian de l'angle géométrique [𝐼𝑂𝑀
1.3 Exercices
Exercice1:
Représenter sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes, les réels:
⁡−6𝜋 30𝜋 −𝜋
7𝜋
⁡; 4 ⁡;⁡ 2 ⁡⁡;⁡ 2
4
Exercice 2:
1. Les réels
2. Les réels
17𝜋
197𝜋
⁡⁡et⁡ 5 sont-elles des abscisses curvilignes du même point sur le cercle trigonométrique.
5
−25𝜋
2292𝜋
⁡⁡et⁡ 7 sont-elles des abscisses curvilignes du même point sur le cercle trigonométrique.
7
Exercice 3:
7𝜋
Déterminer toutes les abscisses curvilignes du point 𝑀 ( 5 ) et qui appartiennent à l'intervalle [
−11𝜋 14𝜋
, 7 ]
7
Exercice 4:
𝜋
3
Construire sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes +
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𝑘𝜋
4
où 𝑘 ∈ ℤ.
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Propriété :
𝑥 et 𝑦 sont des abscisses curvilignes du même point 𝑀 sur le cercle trigonométrique s’il existe un entier relatif 𝑘 tel
que 𝑥 = 𝑦 + 2𝑘𝜋
On dit que 𝒙 est congru à 𝒚 modulo 𝟐𝝅
Applications : 𝑥 et 𝑦 sont-elles des abscisses curvilignes du même point 𝑀 sur le cercle trigonométrique dans les cas
suivants :
𝑥=
𝑥=
13𝜋
et 𝑦
4
123𝜋
et
9
=
𝑦
−87𝜋
4
−186𝜋
= 6
II LES ANGLES ORIENTES
1) Les angles orientés de deux demi droites.
Définition :
Dans le plan orienté on considère deux demi droites [𝑂𝑋) et [𝑂𝑌) l’angle déterminé par le couple ([𝑂𝑋), [𝑂𝑌)) s’appelle
̂
[𝑂𝑌)).
l’angle orienté de deux demi droites on le note : ([𝑂𝑋),
̂
[𝑂𝑌)).
([𝑂𝑋),
̂
[𝑂𝑋)).
([𝑂𝑌),
2) Mesure d’un angle orienté de deux demi droites.
Définition :
̂
[𝑂𝑌)) un angle orienté de deux demi droites, et (𝒞) le cercle trigonométrique de centre 𝒪, 𝐴 et 𝐵 sont
Soient ([𝑂𝑋),
respectivement les points d’intersection de [𝑂𝑋) et [𝑂𝑌) et (𝒞).
Soient 𝛼 et 𝛽 les abscisses curvilignes de 𝐴 et 𝐵 respectivement sur le cercle trigonométrique(𝒞).
̂
[𝑂𝑌)).
le réel 𝜷 − 𝜶 s’appelle mesure de l’angle orienté ([𝑂𝑋),
̂
[𝑂𝑌)).
Chaque réel qui s’écrit de la forme 𝜷 − 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 où 𝑘 un entier relatif est aussi une mesure de l’angle orienté([𝑂𝑋),
̂
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
[𝑂𝑌)) par ([𝑂𝑋),
[𝑂𝑌)). et on écrit : (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
[𝑂𝑋), [𝑂𝑌)) = 𝛽 − 𝛼 + 2𝑘𝜋 où 𝑘 ∈ ℤ
On note la mesure de l’angle orienté([𝑂𝑋),
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
[𝑂𝑌)) ≡ 𝛽 − 𝛼⁡⁡[2𝜋] et on lit :
On écrit aussi : ([𝑂𝑋),
̂
[𝑂𝑌)) est congru à 𝛽 − 𝛼⁡⁡modulo 2𝜋.
la mesure de l’angle orienté ([𝑂𝑋),
3) Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Définition : Soient 𝑢
⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls ; et soient 𝐴 et 𝐵 deux points du
plan orienté tels que 𝑢
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴⁡⁡et⁡𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵.
l’angle orienté des demis droites [𝑂𝐴) ; [𝑂𝐵) s’appelle aussi angle orienté des
̂
vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 et on le note par : (𝑢
⃗ , 𝑣 ).
̂
̂
[𝑂𝐵)) et se
la mesure de l’angle orienté (𝑢
⃗ , 𝑣 ) est la mesure de l’angle orienté ([𝑂𝐴),
̅̅̅̅̅
note par (𝑢
⃗ , 𝑣 ).
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Remarque :
̂
 Parmi les mesures de l’angle orienté (𝑢
⃗ , 𝑣 ), il y a une mesure dans l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋] et qui s’appelle la mesure
̂
principale de l’angle orienté (𝑢
⃗ , 𝑣 ).
̂
 Si 𝜶𝟎 est la mesure principale de l’angle orienté (𝑢
⃗ , 𝑣 ) alors toutes les mesures de cet angle orienté s’écrivent sous
la forme de 𝜶𝟎 + 𝟐𝒌𝝅 où 𝑘 un entier relatif.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
 𝑢
⃗ et 𝑣 sont colinéaires si et seulement si (𝑢
⃗ , 𝑣 ) ≡ 0⁡[2𝜋] ou (𝑢
⃗ , 𝑣 ) ≡ 𝜋⁡[2𝜋]
̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ⁡⁡et⁡𝑣 = 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ alors la valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté (𝑢
 Si 𝑢
⃗ = 𝑂𝐴
⃗ , 𝑣 ) est la mesure de
̂]
l’angle géométrique [𝑨𝑶𝑩
4) Relation de Shales et conséquence.
Propriété : Soient 𝑢
⃗ ⁡, 𝑣 ⁡et⁡𝑤
⃗⃗ trois vecteurs on a :
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
⃗ ,𝒗
⃗ ) + (𝒗
⃗ +𝒘
⃗ ,𝒘
⃗⃗⃗ ) ≡ (𝒖
⃗⃗⃗ )⁡⁡[𝟐𝝅]
(𝒖
Cette relation s’appelle relation de Shales pour les angles orientés.
Exemple :
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝐴𝐵
𝐴𝐸 ) ≡ (𝐴𝐵
𝐴𝐷 ) + (𝐴𝐷
𝐴𝐸 )⁡[2𝜋]
𝜋
𝜋
2
4
3𝜋
⁡⁡[2𝜋]
4
≡ + ⁡⁡[2𝜋]
≡
Propriétés :
Soient 𝑢
⃗ ⁡, 𝑣 et ℎ et 𝑘 deux réels non nuls ; on a :
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
 (𝑣
,𝑢
⃗ ) ≡ −(𝑢
⃗ , 𝑣 )⁡⁡[2𝜋]

si ℎ𝑘 > 0 alors :
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
⃗ , 𝑘𝑣 ) ≡ (𝑢
⃗ , 𝑣 )⁡⁡[2𝜋]
(ℎ𝑢

si ℎ𝑘 < 0 alors :
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
⃗ , 𝑘𝑣 ) ≡ 𝜋 + (𝑢
⃗ , 𝑣 )⁡⁡[2𝜋]
(ℎ𝑢
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Exercice 1: Calculer les mesures des angles orientés suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ )
1. (𝐴𝐵
, 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗̂
2. (𝐶𝐴
, 𝐷𝐹 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂
3. (𝐵𝐷
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐴)
⃗⃗⃗⃗⃗̂
4. (𝐶𝐴
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐸 )
3𝜋
13𝜋
)
6
Exercice 2 : Considérons sur le cercle trigonométrique les points ( 4 ) , 𝐵 (
−14𝜋
)
3
et 𝐶 (
̂
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) , (𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (−3𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Calculer les mesures des angles orientés suivants : (𝑂𝐴
, 𝑂𝐵
, 𝐶𝑂
, 4𝑂𝐶
III LES RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES
1) Le repère orthonormé lié au cercle trigonométrique.
Soit (𝒞) le cercle trigonométrique de centre 𝒪 et d’origine le point 𝐼,
̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽
⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋] ;
soit 𝐽 un point du plan tel que 𝑂𝐽 = 1 et (𝑂𝐼
2
⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽
⃗⃗⃗⃗ ) est un repère orthonormé qui s’appelle le repère orthonormé directe lié au cercle(𝒞)
le repère ℛ(𝒪, 𝑂𝐼
2) Les valeurs trigonométriques.
2.1 Définition
Définitions :
Soit (𝒞) le cercle trigonométrique et ℛ(𝒪, ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐼 , ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐽) le repère orthonormé
directe lié au cercle(𝒞) .
Soit 𝑀 un point sur le cercle trigonométrique d’abscisse curviligne 𝑥.
Soit 𝐶 la projection orthogonale du point 𝑀 sur la droite (𝑂𝐼) et
𝑆 la projection orthogonale du point 𝑀 sur la droite (𝑂𝐽).
 L’abscisse du point 𝑀 dans le repère ℛ s’appelle le cosinus du réel 𝑥 et se note 𝑐𝑜𝑠𝑥
 L’ordonné du point 𝑀 dans le repère ℛ s’appelle le sinus du réel 𝑥 et se note 𝑠𝑖𝑛𝑥
⃗⃗⃗⃗
 Soit (Δ) la droite tangente au cercle (𝒞) au point 𝐼, munie d’un repère (𝐼, 𝑢
⃗ ) où 𝑢
⃗ = 𝑂𝐽
Si 𝑀 ≠ 𝐽⁡et 𝑀 ≠ 𝐽′⁡alors la droite (𝑂𝑀) coupe la droite (Δ) en un point 𝑇. l’abscisse du point 𝑇 sur la droite (Δ) munie du
repère (𝐼, 𝑢
⃗ )⁡⁡s’appelle la tangente du réel 𝑥 et on le note : 𝑡𝑎𝑛𝑥
Remarques :
𝑐𝑜𝑠:⁡ℝ → ℝ
 La fonction qui à tout réel associe le réel 𝑐𝑜𝑠𝑥 s’appelle la fonction cosinus et on la note 𝑐𝑜𝑠 ⁡⁡⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥
Si 𝑥 est un réel associé au point 𝑀 sur le cercle trigonométrique alors 𝐶 ∈ [𝐼𝐼′] donc −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
D’autre part 𝑥 + 2𝑘𝜋 est aussi abscisse curviligne de 𝑀 ; donc 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠:⁡ℝ → ℝ
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥
Si 𝑥 est un réel associé au point 𝑀 sur le cercle trigonométrique alors 𝑆 ∈ [𝐽𝐽′] donc −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1
 La fonction qui à tout réel associe le réel 𝑠𝑖𝑛𝑥 s’appelle la fonction sinus et on la note 𝑠𝑖𝑛 ⁡⁡⁡⁡
D’autre part 𝑥 + 2𝑘𝜋 est aussi abscisse curviligne de 𝑀 ; donc 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 2𝑘𝜋) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝜋
 La fonction qui à tout réel 𝑥 ≠ 2 + 𝑘𝜋 où 𝑘 ∈ ℤ associe le réel 𝑡𝑎𝑛𝑥 s’appelle la fonction tangente et on la note
𝑡𝑎𝑛:⁡ℝ → ℝ
𝑡𝑎𝑛
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 → 𝑡𝑎𝑛𝑥
2.2 Propriétes
Propriété :
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑥
Soit 𝑥 un réel tel que 𝑥 ≠ 2 + 𝑘𝜋 où 𝑘 ∈ ℤ, on a 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
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𝜋
∈⁡]2𝑘𝜋, 2
Preuve : On prend 𝑥
+ 2𝑘𝜋[ (la démonstration est la même pour les autre valeurs de )
𝑂𝐶
𝑂𝑀
𝐶𝑀
= 𝑂𝑇 = 𝐼𝑇
𝑂𝐼
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
alors :𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1 et par suite
Dans le triangle 𝑂𝐼𝑇 on a (𝑀𝐶)//(𝐼𝑇) donc et d’après le théorème de Thalès
et puisque 𝑂𝐼 = 1 et 𝑂𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 et 𝐶𝑀 = 𝑂𝑆 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 et 𝐼𝑇 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
: 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
En utilisant le cercle trigonométrique on peut conclure que :
Propriétés :
 cos(−𝑥) = cos⁡(𝑥)
sin(−𝑥) = −sin⁡(𝑥)
On dit que la fonction 𝐜𝐨𝐬 est paire et la fonction sin est impaire
 cos(𝜋 − 𝑥) = −cos⁡(𝑥)
sin(𝜋 − 𝑥) = sin⁡(𝑥)
 cos(𝜋 + 𝑥) = −cos⁡(𝑥)
sin(𝜋 + 𝑥) = −sin⁡(𝑥)
Les quadrilatère 𝑂𝐶′𝐵𝑆 et 𝑂𝐶𝐷𝑆′ étant des carrées, on peut conclure que :
𝜋
 cos ( − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥)
2
𝜋
sin ( − 𝑥) = cos⁡(𝑥)
2
De ce qui précède on en déduit que :
𝜋
 cos ( + 𝑥) = −𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥)
2
𝜋
sin ( + 𝑥) = cos⁡(𝑥)
2
3) les valeurs trigonométriques usuelles.
Exercice 1 :
𝜋
3
Soit 𝑀 un point sur le cercle trigonométrique (𝒞) d’abscisse curviligne principale .
1) Déterminer la nature du triangle 𝑂𝐼𝑀.
2) Soit 𝐶 la projection orthogonale de 𝑀 sur (𝑂𝐼)
a) Montrer que 𝐶 est le milieu du segment [𝑂𝐼]
𝜋
b) En déduire la valeur de 𝑐𝑜𝑠 ( 3 )
𝜋
𝜋
𝜋
c) Calculer les valeurs : 𝑠𝑖𝑛 ( 3 ) ;⁡𝑐𝑜𝑠 ( 6 ) et 𝑠𝑖𝑛 ( 6 )
7𝜋
6
4𝜋
3
122𝜋
).
3
3) Déterminer 𝑜𝑠 ( ) , 𝑠𝑖𝑛 ( ) et 𝑠𝑖𝑛 (
Exercice 2 :
𝜋
4
Soit 𝑀 un point sur le cercle trigonométrique (𝒞) d’abscisse curviligne principale .
1) Soit 𝐶 la projection orthogonale de 𝑀 sur (𝑂𝐼) ; monter que le triangle 𝑂𝐶𝑀 est isocèle rectangle en 𝐶.
𝜋
𝜋
3𝜋
5𝜋
2) En déduire 𝑐𝑜𝑠 ( 4 ) et 𝑠𝑖𝑛 ( 4 )
127𝜋
)
4
3) En déduire 𝑐𝑜𝑠 ( 4 ) ; 𝑠𝑖𝑛 ( 4 ) et 𝑐𝑜𝑠 (
Tableau des valeurs trigonométriques usuelles :
𝑥
0
𝑠𝑖𝑛𝑥
0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
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𝜋
6
1
2
√3
2
𝜋
4
√2
2
√2
2
𝜋
3
√3
2
1
2
𝜋
2
1
0
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EXERCICES CHAPTRE TRIGONOMETRIE (1)
𝜋
6𝜋
Exercice1 :
𝐴2 = 𝑠𝑖𝑛² ( ) + 𝑠𝑖𝑛² ( )
14
14
1.Déterminer les abscisses curvilignes principales associées
𝜋
9𝜋
325𝜋
−2365𝜋
2
aux abscisses curvilignes 12 et 15 .
𝐴3 = 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠² ( )
7
14
2.Représenter sur le cercle trigonométrique les points
𝜋
8𝜋
𝐴4 = 𝑠𝑖𝑛² ( ) + 𝑠𝑖𝑛² ( )
−𝜋 13𝜋
59𝜋
d’abscisses curvilignes ,
⁡⁡𝑒𝑡⁡
14
14
6
4
3
Exercice
8
:
3.Représenter sur le cercle trigonométrique les images de
Pour tout 𝑥 dans ℝ on pose :
𝜋
𝑘𝜋
l’ensemble { 6 + 3 ⁡; 𝑘 ∈ ℤ}
𝐻(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − (𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥)
Exercice2 :
1.Montrer que 𝐻(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 × 𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝜋
Dans le plan (𝒫) muni d’un repère orthonormé direct
2.Verifier que 𝐻⁡ (𝑥 + 2 ) = −𝐻(𝑥) et que :
ℛ(𝒪, 𝑖, 𝑗), on considère les points 𝐴 et 𝐵 d’abscisses
𝐻⁡(𝑥 + 𝜋) = −𝐻(𝑥)
267𝜋
238𝜋
curvilignes respectives 6 et 3 et soit 𝐶 un point sur le
2017𝜋
3.Calculer 𝐻 ( 6 )
−12𝜋
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
cercle trigonométrique tel que (𝑂𝐴, 𝑂𝐶 ) ≡ 5 [2𝜋]
Exercice 9
1.Déterminer les abscisses curvilignes principales de 𝐴 et 𝐵
1.Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 + 𝑏 = 𝜋 ; Montrer
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ )
que : 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 0.
2. a)Déterminer la mesure principale de l’angle (𝑂𝐴
, 𝑂𝐵
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2.Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 − 𝑏 = 𝜋 ; Montrer
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ )
b) Déterminer cos⁡((𝑂𝐴
que : 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 0.
⃗⃗⃗⃗⃗̂
3. Déterminer la mesure principale de l’angle (𝑂𝐶
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵)
3.En déduire les sommes :
4.Représenter les points 𝐴, 𝐵⁡et⁡𝐶 sur le cercle
𝜋
2𝜋
3𝜋
4𝜋
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( )
trigonométrique
5
5
5
5
Exercice 3 :
𝜋
2𝜋
4𝜋
5𝜋
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( )
1. Calculer les sommes suivants :
3
3
3
3
𝜋
3𝜋
5𝜋
7𝜋
Exercice 10 :
2
2
2
2
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 ( )
𝜋
𝜋
8
8
8
8
Soient 𝛼 et 𝛽 deux réels tels que 0 < 𝛼 < et < 𝛽 < 𝜋 et
2
2
𝜋
3𝜋
5𝜋
7𝜋
𝐵 = 𝑠𝑖𝑛² ( ) + 𝑠𝑖𝑛² ( ) + 𝑠𝑖𝑛² ( ) + 𝑠𝑖𝑛² ( )
𝛼 + 𝛽 = 𝜋 ; on pose tan(𝛼) tan(𝛽) = 2√2 − 3
8
8
8
8
𝜋
𝜋
1.Montrer que tan(𝛼) = √2 − 1
2. Sachant que 𝑡𝑎𝑛( 8 ) = √2 − 1 déterminer 𝑐𝑜𝑠 ( 8 ) ;
√2+√2
𝜋
7𝜋
2. Calculer cos⁡(𝛼) puis en déduire que cos(𝛽) = − 2
𝑠𝑖𝑛 ( 8 ) et 𝑐𝑜𝑠 ( 8 ).
Exercice 11 :
Exercice 4 :
Le cercle trigonométrique (𝒞) est associé à un repère
1. Simplifier :
⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽
⃗⃗⃗⃗ )⁡du plan.
7𝜋
27𝜋
orthonormé direct ℛ(𝑂, 𝑂𝐼
𝐶 = 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(7𝜋 − 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 (
− 𝑥) 𝑠𝑖𝑛(3𝜋 + 𝑥)
2
2
Partie1
6
2. Montrer que 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1
𝜋
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀⁡est le point de (𝒞) tel que (𝑂𝐼
𝑂𝑀) ≡ 4 [2𝜋]
Exercice 5 :
𝜋
𝑡𝑎𝑛−1
1. Quelles sont les coordonnées de 𝑀 dans le repère ℛ.
Soit 𝑥 ∈] 2 , 𝜋] on pose : 𝐴 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥+1
2. Calculer la distance 𝐼𝑀
1. Montrer que 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 × 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥
𝜋
3. a. Démontrer que 𝐼𝑀⁡ = ⁡2𝑠𝑖𝑛 ( )
4
8
2. Si 𝑖𝑛𝑥 = 5 , calculer 𝐴.
𝜋
b.
En
déduire
la
valeur
exacte
de
𝑠𝑖𝑛 ( )
3.Si 𝐴 = 0 calculer 𝑥.
8
𝜋
Exercice 6 :
4. Calculer la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠 ( 8 )
1
6
6
On pose 𝐵(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 4 où 𝑥 ∈ [0, 𝜋]
5. Déduire des questions précédentes les lignes
3
7𝜋 9𝜋 5𝜋
3𝜋
2
1.Montrer que 𝐵(𝑥) = 4 (2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1)²
trigonométriques de : 8 ; 8 ; 8 et 8 .
Partie2
2.Ecrire 𝐵(𝑥) en fonction de 𝑡𝑎𝑛𝑥
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋]
3.Si 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −√2 calculer 𝐵(𝑥) et 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑁⁡est le point de (𝒞) tel que (𝑂𝐼
6
Exercice 7 :
𝜋
1.Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 + 𝑏 = 2 ; Montrer
que : 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑏 = 1⁡et⁡𝑠𝑖𝑛2 𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑏 = 1
𝜋
2.Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 − 𝑏 = 2 ; Montrer
que : 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑏 = 1⁡et⁡𝑠𝑖𝑛2 𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑏 = 1.
3. En déduire les sommes :
𝜋
5𝜋
𝐴1 = 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) + 𝑐𝑜𝑠² ( )
7
14
Calculs trigonométriques
lycée Oued eddahab
1. Quelles sont les coordonnées de 𝑁 dans le repère ℛ.
2. Calculer la distance 𝐼𝑁
𝜋
3. a. Démontrer que 𝐼𝑁⁡ = ⁡2𝑠𝑖𝑛 (12)
𝜋
b. En déduire la valeur exacte de 𝑠𝑖𝑛 (12)
𝜋
4. Calculer la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠 (12)
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