Le Monde Perdu

III. Les petits corps
III. Les petits corps
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 1 / 53

III. Les petits corps Le calcul des congruences
I. Le calcul des congruences
Idée !
Se concentrer sur les restes dans la division euclidienne (par un nombre entier fixé), et en faire
des objets d’opérations !
Définition. Si aet bsont des entiers et nest un nombre naturel 6=0, on
dit que aet bsont congrus modulo n, et on écrit a≡b(mod n)si ndivise
a−b.
De manière équivalente, si on considère les restes dans les divisions
euclidiennes de aet bpar n:
a=n·qa+ra
b=n·qb+rb
avec 0 6ra<net 0 6rb<n, alors :
a≡b(mod n)⇔ra=rb
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III. Les petits corps Le calcul des congruences
1. Les opérations sur les « classes de restes »
Les opérations d’addition et de multiplication, définies sur l’ensemble Zdes
entiers rationnels, induisent des opérations sur les ensembles de « classes
de restes ».
Plus précisément : si a≡b(mod n)et c≡d(mod n), alors
a+c≡b+d(mod n)
et
a×c≡b×d(mod n)
ou a·c≡b·d(mod n). Etc.
N.B. On note
Z/n·Z:= {[0],[1],[2],...,[n−1]}
au sens de l’ensemble des « classes de restes ». Mais par abus d’écriture, on se permet
de noter
Z/n·Z:= {0,1,2,...,n−1}
pour rester au plus près de l’idée de (nouveaux) nombres.
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III. Les petits corps Le calcul des congruences
Théorème
1˚ Si n∈Z>0, alors (Z/n·Z; +,×)est un anneau commutatif, noté aussi
(Z/n·Z; +,·).
2˚ Un nombre apossède un inverse dans Z/n·Zsi et seulement si le
P.G.C.D.(a,n) = 1.
En particulier, si pest un nombre premier, (Z/p·Z; +,×)est un corps
commutatif, noté aussi (Fp; +,×)ou (Fp; +,·).
Démonstration. L’existence de l’inverse provient de ce que la condition
P.G.C.D.(a,n) = 1 implique qu’il existe bet x∈Ztels que
b·a+x·n=1
d’où
b·a≡1(mod n)
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III. Les petits corps Le calcul des congruences
2. Des exemples
Les tables d’addition et de multiplication pour F7:
+0123456
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
·0123456
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
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