TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.
Exercice 1.
Exercice 2. Soient G un groupe fini, A un sous-groupe abélien de G et (ρ, V ) une C-représentation
irréductible (de dimension finie) de G. Puisque A est abélien, il existe un vecteur v ∈ V non
nul qui est propre pour l’action de chacun des éléments de A. (cf. réduction simultanée d’endomorphismes qui commutent deux à deux). Puisque la représentation est irréductible, l’espace
vectoriel V a pour famille génératrice l’ensemble
{ρ(g)v, g ∈ G},
ou encore, V est la somme des droites vectorielles dirigées par les ρ(g)v. L’action de G sur ces
droites vectorielles est bien sûr transitive. Le stabilisateur de la droite dirigée par v contient A
par construction. Ainsi, le nombre de telles droites vectorielles est inférieur ou égal à |G|/|A| =
[G : A]. On a montré que la dimension de V est inférieure ou égale à [G : A].
Exercice 3 (Toujours GL2 (Fp )...). Soit p un nombre premier impair et G = GL2 (Fp ).
1. Soit ǫ un générateur du groupe cyclique F∗p . La Fp -algèbre quotient
Fp [X]/(X 2 − ǫ)
est un Fp -espace vectoriel de dimension 2 de base les images des polynômes 1 et X dans
l’espace quotient. En effet, pour tout polynôme P ∈ Fp [X], la division euclidienne
P = (X 2 − ǫ)Q + R
fournit R, de degré inférieur ou égal à 1, tel que P est égal R modulo l’idéal (X 2 − ǫ). Ainsi,
la classe de P dans le quotient s’écrit bien comme combinaison linéaire des classes de 1 et
X.
La Fp -algèbre quotient Fp [X]/(X 2 − ǫ) est un corps (c’est donc un corps à p2 éléments) :
un élément non nul s’écrit
α + βX
mod (X 2 − ǫ)
avec (α, β) 6= (0, 0). On remarque que
(α + βX)(α − βX) = α2 − β 2 X 2 = α2 − ǫβ 2
mod (X 2 − ǫ).
La constante α2 − ǫβ 2 ne saurait être nulle car ǫ n’est pas un carré dans F∗p . Ainsi, on a un
inverse pour α + βX mod (X 2 − ǫ) donné par
α2 − ǫβ 2
mod (X 2 − ǫ).
α − βX
Remarque 1. Plus tard on lira ici la norme d’un élément, son conjugué, etc...
Remarque 2. De façon générale, si P0 est un polynôme de degré n, irréductible à coefficients
dans le corps K, alors la K-algèbre quotient K[X]/(P0 ) est un K -espace vectoriel de
dimension n. C’est de plus un corps : l’inverse de tout élément non nul P mod (P0 )
s’obtient en écrivant un couple de Bezout pour les polynômes premiers entre eux P0 et P ...
α ǫβ
2. Soit K =
, (α, β) 6= (0, 0) . On définit l’application bijective
β α
α ǫβ
∗
(Fp2 ) → K, α + βX 7→
.
β α
C’est un isomorphisme de groupes (vérifier qu’elle est compatible avec le produit dans (Fp2 )∗
d’une part et le produit matriciel d’autre part.)
1
Le sous-groupe K de G est isomorphe au groupe multiplicatif de (Fp2 )∗ . On dit que c’est un
tore non déployé de G, par opposition au sous-groupe de G des matrices diagonales qui est
isomorphe à F∗p × Fp ∗ et est appelé tore déployé...
3. Remarquer que les 3 trois premières sortes de classes de conjugaison sont les classes de
similitude de matrices trigonalisables dans Fp . (Certaines sont mêmes diagonalisables). Les
dx,y quant à elles ne sont pas réductibles dans Fp . Leur polynôme caractéristique n’admet
pas de racine dans Fp . (En revanche il admet une racine dans une extension de degré 2 de
Fp ...)
4. Il y a autant de caractères irréductibles de G que de classes de conjugaisons dans G c’està-dire p2 − 1.
5. Un morphisme φ : F∗p → C∗ est déterminé par l’image de ǫ qui est une racine p − 1ème de
l’unité dans C∗ . Il y a donc p − 1 tels morphismes. Les composer chacun avec
det : G → F∗p
fournit p − 1 caractères G → C∗ .
6. Le groupe G agit par homographies sur la droiteprojective
P1 (Fp ).
a b
(cf TD2 Exercice 6, on rappelle que l’action de
sur z est donnée par az+b
cz+d . Cette
c d
action reflète l’action naturelle de G sur l’ensemble des p + 1 droites de l’espace vectoriel
(Fp )2 lorsque l’on associe à l’élément z ∈ P1 (Fp ) la droite vectorielle dirigée par le vecteur
(z, 1).)
Le caractère de la représentation associée à cette action est donné, en l’élément g ∈ G, par
le nombre de points fixes pour g dans son action sur les points de P1 (Fp ).
az+b
Résoudre cz+d
= z selon les 4 cas donne les valeurs suivantes pour le caractère :
ax =
x 0
0 x
x 1
x 0
x ǫy
7 p + 1, bx =
→
7→ 1, cx,y =
7→ 2, dx,y =
7→ 0.
0 x
0 y
y x
Rien d’étonnant à cela quand on revient à l’action naturelle de ces éléments sur les droites
de (Fp )2 : il est clair que la matrice ax qui est une homothétie fixe les p + 1 droites de
l’espace, que la matrice bx qui est trigonalisable et non diagonalisable fixe exactement une
droite, que la matrice cx,y qui est diagonalisable avec deux valeurs propres distinctes fixe
exactement deux droites, et enfin, que la matrice dx,y que l’on ne peut pas réduire dans Fp
ne fixe aucune droite.
Cette représentation n’est pas irréductible. En effet, le calcul du produit scalaire de son
caractère par lui-même donne la valeur 2, donc cette répresentation est une somme directe de
deux représentations irréductibles non isomorphes. L’une d’entre elles est la représentation
triviale. Voir le cours sur la représentation standard de Sn .
Exercice 4 (Lemme de Schur.). Soit G un groupe fini et (ρ, V ) une représentation de dimension finie de G à coefficients dans K. On note EndK[G] (V ) l’algèbre des endomorphismes de
l’espace vectoriel V qui commutent à l’action de G sur V .
1. On suppose que (ρ, V ) est irréductible. Soit f ∈ EndK[G] (V ) un endomorphisme non nul
de V qui commute à l’action de G. Son image est un sous-espace de V non trivial et stable
sous l’action de G. C’est donc V tout entier par irréductibilité de V . De même, le noyau
de f est trivial. Ainsi, f est inversible.
Supposons que K est algébriquement clos. Notre endomorphisme f admet alors une valeur propre λ, c’est-à-dire que l’élément f − λid ∈ EndK[G] (V ) n’est pas inversible. Par
l’argument précédent, il est donc nul et f est égal à l’homothétie de rapport λ. L’algèbre
EndK[G] (V ⊕ V ) s’identifie alors à l’algèbre des matrices carrées de taille 2 à cœfficients
dans K.