DM n°3
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TS spécialité maths D ˚2 Décembre 2007 TS spécialité maths D ˚2 Décembre 2007 Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n désigne un entier naturel non nul. Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n désigne un entier naturel non nul. 1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. 1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. 2. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n − 1. Montrer que E posséde au moins deux éléments. 2. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n − 1. Montrer que E posséde au moins deux éléments. 3. On suppose que E est un ensemble fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et soit X = 4P − 1. 3. On suppose que E est un ensemble fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et soit X = 4P − 1. (a) Montrer que X > P. Quel est le reste de la division euclidienne de X par 4 ? (a) Montrer que X > P. Quel est le reste de la division euclidienne de X par 4 ? (b) Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier de X est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. (b) Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier de X est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. (c) On suppose que tous les diviseurs premiers de X sont de la forme 4n + 1. Quel est alors le reste de la division de X par 4 ? En déduire que X possède au moins un diviseur premier de la forme 4n − 1. (c) On suppose que tous les diviseurs premiers de X sont de la forme 4n + 1. Quel est alors le reste de la division de X par 4 ? En déduire que X possède au moins un diviseur premier de la forme 4n − 1. (d) Soit p un diviseur premier de X de la forme 4n − 1. En déduire une contradiction. Conclure. (d) Soit p un diviseur premier de X de la forme 4n − 1. En déduire une contradiction. Conclure. TS spécialité maths D ˚2 Décembre 2007 TS spécialité maths D ˚2 Décembre 2007 Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n désigne un entier naturel non nul. Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n désigne un entier naturel non nul. 1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. 1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. 2. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n − 1. Montrer que E posséde au moins deux éléments. 2. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n − 1. Montrer que E posséde au moins deux éléments. 3. On suppose que E est un ensemble fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et soit X = 4P − 1. 3. On suppose que E est un ensemble fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et soit X = 4P − 1. (a) Montrer que X > P. Quel est le reste de la division euclidienne de X par 4 ? (a) Montrer que X > P. Quel est le reste de la division euclidienne de X par 4 ? (b) Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier de X est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. (b) Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier de X est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n − 1. (c) On suppose que tous les diviseurs premiers de X sont de la forme 4n + 1. Quel est alors le reste de la division de X par 4 ? En déduire que X possède au moins un diviseur premier de la forme 4n − 1. (c) On suppose que tous les diviseurs premiers de X sont de la forme 4n + 1. Quel est alors le reste de la division de X par 4 ? En déduire que X possède au moins un diviseur premier de la forme 4n − 1. (d) Soit p un diviseur premier de X de la forme 4n − 1. En déduire une contradiction. Conclure. (d) Soit p un diviseur premier de X de la forme 4n − 1. En déduire une contradiction. Conclure.
