AyRA§r s
rtFA Y¤± Tns
2020 − 2019
¨þþµ ®þ³ ¤ AyRA§r Tyl
A`§Ewt T§r\
¨ CdtF¯ CAbt³
Théorie des Distributions. Durée : 1h 00
2
Tnþþ A T`þþþA
2020.10.15
Chargé de la matière : Ahmed Z. Mokrane
EXAMEN DE RATTRAPAGE
Énoncé et Corrigé.
Exercice.
1. Soit ϕ ∈ D (R). Montrer que l’expression
⟨u, ϕ⟩ =
Z
R
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
d x,
2x − 1
existe dans C et définit une distribution u sur R d’ordre ≤ 1.
2. Soit ϕ ∈ D (R). Montrer que l’expression
⟨v, ϕ⟩ =
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 12 )
Z
(2x − 1)2
R
d x,
existe dans C et définit une distribution v sur R d’ordre ≤ 2.
3. Soit ψ la fonction x 7→ ψ(x) = 2x − 1 définie de R dans R. Trouver la valeur de la distribution ψ.v.
CORRIGÉ DE L’EXERCICE
Barème :
1. (7
POINTS ),
2. (10
POINTS ),
3. (3
POINTS ).
1
1. La fonction x 7→
est continue dans R\{ 12 }, mais elle n’est pas intégrable au voisinage de x = 21 . En effet, par
2x − 1
exemple pour tout " ∈]0, 12 [ et pour x ∈]" + 12 , +1[, on a 0 < " < 2x − 1 < 1 , et
Z1
1
dx
1
= ln(2x − 1)| x=1
ln(2"),
1 = −
x="+
2
|2x − 1|
2
2
"+ 1
2
Comme lim (− ln(2")) = +∞, par le Lemme de Fatou on a
"→0
1
Z
1
2
dx
= +∞
|2x − 1|
Soit ϕ ∈ D (R). Utilisons le développement de Taylor de ϕ en
1
2
jusqu’à l’ordre 1 : Pour tout y ∈ R , nous avons
Z1
1
ϕ 0 ((1 − t) + t y)d t.
avec ψ( y) =
2
0
1
1
ϕ( y) = ϕ( ) + ( y − )ψ( y)
2
2
La fonction ψ est une fonction de classe C ∞ dans R en vertu du théorème de dérivation des intégrales dépendant
d’un paramètre et du fait que ϕ ∈ D (R). Par conséquent, pour x ∈ R\{ 21 } , en prenant y = x et y = 1 − x on a :
1
1
ϕ(x) = ϕ( ) + (x − )ψ(x)
2
2
d’où
et
1
1
ϕ(1 − x) = ϕ( ) + (1 − x − )ψ(1 − x),
2
2
1
ϕ(x) − ϕ(1 − x) = (x − ) ψ(x) + ψ(1 − x) .
2
et
w(x) :=
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
1 ϕ(x) − ϕ(1 − x)
1
=
= (ψ(x) + ψ(1 − x))
1
2x − 1
2
2
x−2
x 6=
1
.
2
La fonction w est continue dans R\{ 12 } comme somme de deux fonctions continues dans R\{ 12 } et se prolonge par
1
1
1
continuité en x = 12 en posant w( 12 ) = lim
ψ(x) + ψ(1 − x) = ψ( ) = ϕ 0 ( ).
2
2
x→ 21 2
En outre, comme ϕ ∈ D (R), et donc que son support est un ensemble compact dans R, il existe R(ϕ) := R > 1
dépendant de ϕ tel que supp ϕ ⊂ [−R, +R].
Posons R0 = R + 1. On remarque d’abord que supp ϕ ⊂ [−R, R] ⊂ [−R0 , R0 ]. Soit x ∈ R. Si x ≥ R0 > R, alors d’une part
ϕ(x) = 0. D’autre part x ≥ R0 implique que 1 − x ≤ −R et donc ϕ(1 − x) = 0.
Si par contre x ≤ −R0 = −1 − R < 1 − R, alors d’une part x < −R et donc ϕ(x) = 0, et d’autre part 1 − x > R, et donc
ϕ(1 − x) = 0.
1
2
En conclusion pour tout x ∈ R tel que x ≥ R0 ou x ≤ −R0 , c’est à dire |x| ≥ R0 on a ϕ(x) = ϕ(1 − x) = 0. On en déduit
que pour tout x ∈ R tel que |x| ≥ R0 on a w(x) = 0 et donc
Z
Z
Z
Z
|ϕ(x) − ϕ(1 − x)|
dx =
|w(x)|d x +
|w(x)|d x =
|w(x)|d x.
|2x − 1|
|x|≤R0
|x|≥R0
|x|≤R0
R
Z
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
d x existe dans C et définit un nombre complexe que l’on notera ⟨u, ϕ⟩, comme
Cela implique que
2x − 1
R
intégrale d’une fonction continue sur l’intervalle compact [−R0 , R0 ] et
Z
Z R0
Z R0
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
1
< u, ϕ >:=
w(x)d x =
ψ(x) + ψ(1 − x) d x.
dx =
2x − 1
2
−R0
R
−R0
Z
R0
Z
R0
1
ψ(x) + ψ(−x) d x. Cette
2
−R0
−R0
opération définit donc une application u: D (R) → C. C’est une forme linéaire sur D (R) , grâce aux propriétés de
linéarité de l’intégrale. Prouvons que u est une application continue au sens de la topologie de D (R) :
Soit K un compact de R. Il existe donc R(K) > 0 dépendant de K tel que K ⊂ [−R(K), +R(K)]. Soit ϕ ∈ D (R) telle
que supp ⊂ K. Cela implique que en répt́ant le raisonnement ci-dessus pour tout x ∈ R tel que |x| ≥ R(K) alors
ϕ(x) = ϕ(1 − x) = w(x) = 0.
Nous pouvons alors reprendre le raisonnement précédent mais relativement à K :
Z R(K)
Z R(K)
Z
ϕ(x) − ϕ(−x)
1
dx =
w(x)d x =
ψ(x) + ψ(1 − x) d x,
< u, ϕ >=
x
2
−R(K)
R(K)
R
À chaque ϕ ∈ D (R) on associe un unique nombre complexe ⟨u, ϕ⟩ =
Z
w(x)d x =
1
1
ϕ 0 ((1 − t) + t y))d t. Or la fonction |ϕ 0 | est continue et à support contenu dans
2
0
supp ϕ donc dans le compact K, elle est donc bornée sur ce compact et y atteint sa borne supérieure et nous avons
pour tout y ∈ R
Z1
Z1
1
0
0
|ϕ ((1 − t) + t y)|d t ≤ sup|ϕ (x)|
|ψ( y)| ≤
d t = sup|ϕ 0 (x)|.
2
x∈K
x∈K
0
0
Z R(K)
Z R(K)
1
d x = 2R(K)sup|ϕ 0 (x|). Pour tout
Ceci entraîne que |< u, ϕ >| ≤
|ψ(x)| + |ψ(1 − x)| d x ≤ sup|ϕ 0 (x)|
2
x∈K
x∈K
−R(K)
−R(K)
K partie compacte de R, il existe CK = 2(R(K)) > 0 et un entier m = 1 tels que pour tout ϕ ∈ DK (R) on ait
avec pour tout y ∈ R
ψ( y) =
|⟨u, ϕ⟩| ≤ CK sup|ϕ 0 (x| ≤ CK max{sup|ϕ(x|, sup|ϕ 0 (x|} = CK pK,1 (ϕ),
x∈K
x∈K
x∈K
donc u est une distribution sur R d’ordre ≤ 1. u ∈ D (R).
0
1
est continue dans R\{ 21 }, mais elle n’est pas intégrable au voisinage de x = 21 . En effet,
(2x − 1)2
par exemple pour tout " ∈]0, 12 [ et pour x ∈]" + 21 , +1[, on a 0 < " < 2x − 1 < 1 , et
Z1
dx
1 −1 x=1
1 1
=
| x="+ 1 =
−1 ,
2
2
(2x − 1)
2 2x − 1
2 2"
"+ 1
2. La fonction x 7→
2
Comme lim
"→0
1
2"
− 1 = +∞, par le Lemme de Fatou on a
Z
1
1
2
dx
= +∞.
(2x − 1)2
Soit ϕ ∈ D (R). Utilisons le développement de Taylor de ϕ en 12 jusqu’à l’ordre 2 pour analyser le comportement de
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 21 )
la fonction r : x 7→ r(x) =
x 6= 21 . Pour tout y ∈ R , nous avons
(2x − 1)2
Z1
1 0 1
1 2
1
1
ϕ( y) = ϕ( ) + ( y − )ϕ ( ) + ( y − ) χ( y)
avec χ( y) =
(1 − t)ϕ 00 ((1 − t) + t y)d t.
2
2
2
2
2
0
La fonction χ est une fonction de classe C ∞ dans R en vertu du théorème de dérivation des intégrales dépendant
d’un paramètre et du fait que ϕ ∈ D (R).
3
Par conséquent, pour x ∈ R\{ 12 } , en prenant y = x et y = 1 − x on a
1
1
1
1
ϕ(x) = ϕ( ) + (x − )ϕ 0 ( ) + (x − )2 χ(x)
2
2
2
2
1
1 0 1
1
ϕ(1 − x) = ϕ( ) + (1 − x − )ϕ ( ) + (1 − x − )2 χ(1 − x)
2
2
2
2
d’où
1
1
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( ) = (x − )2 χ(x) + χ(1 − x) .
2
2
et
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 21 )
(2x − 1)2
:= r(x) =
1
(χ(x) + χ(1 − x))
4
x 6=
1
.
2
La fonction r est continue dans R\{ 21 } comme somme de deux fonctions continues dans R\{ 21 } et se prolonge par
1 1
1
1
continuité en x = 12 en posant r( 12 ) = 14 lim χ(x) + χ(1 − x) = χ( ) = ϕ 00 ( ).
2 2
4
2
x→ 12
En outre, comme ϕ ∈ D (R), et donc que son support est un ensemble compact dans R, il existe R0 > 1 dépendant de
ϕ tel que supp ϕ ⊂ [−R0 , +R0 ], et donc que pour tout x ∈ R nous avons l’implication
|x| ≥ R0
⇒
ϕ(x) = ϕ(1 − x) = 0.
On en déduit que pour tout x ∈ R tel que |x| ≥ R0 on a r(x) = −2
Z
|ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 21 )|
(2x
R
− 1)2
ϕ( 12 )
(2x − 1)2
Z
et donc que
1
dx ≤
|r(x)|d x + 2|ϕ( )|
2
|x|≤R0
Z
|x|≥R0
dx
.
(2x − 1)2
La première intégrale du second membre est finie puisque on intègre une fonction continue |r| sur une partie compacte
[−R0 , R0 ].
La deuxième intégrale du second membre est finie puisque on a pour tout x ∈ R tel que |x| ≥ R0 > 1,
|2x − 1| ≥ 2|x| − 1 ≥ 2|x| − |x| = |x| ≥ R0 ,
ce qui implique que
Z
|x|≥R0
dx
≤
(2x − 1)2
Z
|x|≥R0
dx
=2
x2
Z
Z
[R0 ,+∞[
2
dx
= 0 < +∞.
2
x
R
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 12 )
dx
>
0.
Ceci
implique
que
d x existe dans C et définit un
(2x − 1)2
(2x − 1)2
R
|x|≥R0
nombre complexe que l’on notera ⟨v, ϕ⟩,
Z
Z R0
ϕ(x) + ϕ(1 − x) − 2ϕ( 12 )
1
< v, ϕ >: =
dx =
r(x)d x + ϕ( )C(ϕ)
2
(2x − 1)
2
R
−R0
Z R0
1
1
=
χ(x) + χ(1 − x) d x + +ϕ( )C(ϕ).
4 −R0
2
Z R0
1
1
χ(x) + χ(1 − x) d x + ϕ( )C(ϕ). Cette
À chaque ϕ ∈ D (R) on associe un unique nombre complexe ⟨v, ϕ⟩ =
4 −R0
2
opération définit donc une application v : D (R) → C. C’est une forme linéaire sur D (R) , grâce aux propriétés de
linéarité de l’intégrale. Prouvons que v est une application continue au sens de la topologie de D (R) :
Soit K un compact de R. Il existe donc R(K) > 1 dépendant de K tel que K ⊂ [−R(K), +R(K)]. Soit ϕ ∈ D (R) telle
que supp ⊂ K. Cela implique que pour tout x ∈ R tel que |x| ≥ R(K) alors ϕ(x) = ϕ(1 − x) = 0.
Nous pouvons alors reprendre le raisonnement précédent mais relativement à K :
Z R(K)
1
1
< v, ϕ >=
χ(x) + χ(1 − x) d x + ϕ( )C(K),
4 −R(K)
2
Z
Z1
dx
1
avec C(K) = 2
>
0
et
pour
tout
y
∈
R
χ(
y)
=
(1 − t)ϕ 00 ((1 − t) + t y))d t.
2
(2x
−
1)
2
|x|≥R(K)
0
00
La fonction |ϕ | est continue et à support contenu dans supp ϕ donc dans le compact K. Les fonctions |ϕ| et |ϕ 00 | sont
donc bornées sur ce compact et y atteignent leurs bornes supérieures et nous avons pour tout y ∈ R
Z1
Z1
1
1
00
00
|χ( y)| ≤
(1 − t)|ϕ ((1 − t) + t y)|d t ≤ sup|ϕ (x)|
(1 − t)d t = sup|ϕ 00 (x)|,
2
2 x∈K
x∈K
0
0
Posons C(ϕ) = 2
Z
4
et nous avons aussi |ϕ( 12 )| ≤ sup|ϕ(x)|. Ceci entraîne que
x∈K
|< v, ϕ >| ≤
1
4
R(K)
Z
−R(K)
1
1
|χ(x)| + |χ(1 − x)| d x + |ϕ( )|C(K) ≤ R(K)sup|ϕ 00 (x|) + C(K) sup|ϕ(x)|.
2
2
x∈K
x∈K
Pour tout K partie compacte de R, il existe C̃K = 2 max{ 12 (R(K)), C(K)} > 0 et un entier m = 2 tels que pour tout
ϕ ∈ DK (R) on ait
1
|⟨v, ϕ⟩| ≤ max{ (R(K)), C(K)} sup|ϕ 00 (x| + sup|ϕ(x)| ≤ C̃K max{sup|ϕ(x|, sup|ϕ 0 (x|, sup|ϕ 00 (x|} = C̃K pK,2 (ϕ),
2
x∈K
x∈K
x∈K
x∈K
x∈K
donc v est une distribution sur R d’ordre ≤ 2. v ∈ D 0 (R).
3. Considérons la fonction ψ: x 7→ ψ(x) = 2x − 1. C’est une fonction de classe C ∞ (R).
Par définition de la multiplication de la fonction ψ avec la distribution v, ψ.v est une distribution sur R définie pour
tout ϕ ∈ D (R) par
Z
(ψϕ)(x) + (ψϕ)(1 − x) − 2(ψϕ)( 21 )
⟨ψv, ϕ⟩ = ⟨v, ψϕ⟩ =
d x.
(2x − 1)2
R
Or
(ψϕ)(x) = (2x − 1)ϕ(x),
(ψϕ)(1 − x) = 2(1 − x) − 1 ϕ(1 − x) = −(2x − 1)ϕ(1 − x)
1
1
1
(ψϕ)( ) = (2 − 1)ϕ( ) = 0.
2
2
2
Par conséquent
⟨ψv, ϕ⟩ =
=
Z
ZR
R
(2x − 1)ϕ(x) − (2x − 1)ϕ(1 − x)
dx =
(2x − 1)2
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
d x = ⟨u, ϕ⟩,
2x − 1
Ce qui implique que ψv = u (D 0 (R)).
Z
R
(2x − 1)
ϕ(x) − ϕ(1 − x)
dx
(2x − 1)2
