c91p074

Corrigé centrale 91 M-P'
Première partie.
I- Collision neutron-noyau
G
G
G
G
G
G
1/ Conservation de la qdm : mV1 = mV2 + Mw 2 ⇒ V1 = V2 + Aw 2
G
G
G
G
G
G
Conservation de l'énergie: ½ mV12 = ½ mV22 + ½ Mw 22 ⇒ V12 = V22 + Aw 22
G
G
G
G
G
G
G
G
2/ De V1 = V2 + Aw 2 , on tire : V22 = ( V1 − Aw 2 )2 = V12 + Aw 22 − 2AV1w 2 cos θ
G
G
G
G
G
V12 − V22 + A 2 w 22 Aw 22 + A 2 w 22 w 2 1 + A
Soit cos θ =
=
=
> 0 donc 0 < θ < π/2
2AV1w 2
2AV1w 2
V1 2
G
G
G
G
G
En fonction des énergies : ½ mV12 = ½ mV22 + ½ Mw 22 ⇒ E1 − E2 = ½ Am w 22 et E1 = ½ m V12
w 1+ A
=
Alors cos θ = 2
V1 2
E2
4A cos2 θ
E1 − E2 1 + A
= 1−
donc
E1
(1 + A )2
AE1
2
II- Modèle des sphères dures.
1/ La force de contact passe par le centre d'inertie,
G
donc la vitesse w 2 sera dirigé suivant la réaction
b
normale. On en déduit : sin θ =
R1 + R 2
2/ Le paramètre d'impact peut varier entre 0 et la valeur
R1 + R2. Ce qui correspond pour le centre du neutron à
à une cible de surface variant de 0 à (R1 + R2)2.
noyau
b
W2
θ
neutron
V1
La probablité de recevoir un impact sur une couronne de rayon : b → b + db est :
Kb 2
3/ Par définition: < − Ln [1 − K cos θ] > b =< − Ln [1 −
] >b = −
( R 1 + R 2 )2
2
dP
2πbdb
=
1
π( R1 + R 2 )2
R1 + R 2
∫
Ln[1 −
0
Kb 2
] db
( R 1 + R 2 )2
2
Kb
1
1
K
⇒
(1 − x )Ln(1 − x ) − (1 − x )]0 = [(1 − K )Ln(1 − K ) − (1 − K ) + 1]
[
2
( R1 + R 2 )
K
K
1− K
Ce qui donne : 1 +
Ln(1 − K ) cqfd . Il faut que 0 < K < 1 pour que la fonction aît un sens.
K
E
4 A cos2 θ
4A
< 1 si A > 1
4/ On a obtenu 2 = 1 −
= 1 − K cos2 θ avec K =
2
(1 + A )2
E1
(1 + A )
En posant x =
on peut utiliser le résultat précédent : K =
4A
 A − 1
⇒1− K = 

2
 A + 1
(1 + A )
2
2
E
A −1
1− A
)=
Donc coefficient de ralentissement : γ =< − Ln [ 2 ] > b = 1 + 
 Ln(
 2A 
E1
A +1
1/ 2
−1/ 2
A − 1  1   1  
 1 − A    A + A 
5/ a)La dérivée de γ vaut zéro pour : 0 = 
)−
 Ln(
 − 


 A    2 2 A 
A + 1  A   ( A + 1)  
Le terme entre crochet ne s'annulant pas, la racine est A = 1. On vérifiera que c'est bien un
maximum pour le ralentissement.
b) A-N : 1H (A = 1) γ = 1 ; 2H (A = 2) γ = 0,725 ; 12C (A = 12) γ = 0,158 ; 238U (A = 238) γ = 0,008 ;
III- Application aux ralentissements des neutrons.
1/ Il y a ½ kT par degré de liberté, donc E300K = 3/2kT = 3,9.10−2 eV.
C'est très faible devant l'énergie initiale des neutrons. On peut considèrer les noyaux immobiles,
sauf pour les dernières collisions.
2 a/ Avec γ =< − Ln [
n
 E 
E 
E
E E
E
E2
] > b et en écrivant : n = n n −1 " 1 ⇒ Ln  n  = ∑ Ln  p 
E0 E n −1 E n − 2 E0
E1
 E0 
 E p−1 
1
E 
on a en raisonnant sur les valeurs moyennes : Ln n  = − nγ ⇒ E n = E0e− γ
 E0 
2b/ n = −
1  E300 K 
Ln 
 d'où
γ  E0 
1
H : n = 17 ; 2H : n = 24 ; 12C : n = 108 ; 238U : n = 214;
2 E( t )
λ
, la durée moyenne intercollision est: ∆t =
et le nombre de
m
v( t )
3a/ A une date t : v( t ) =
collisions par unité de temps est :
dn 1
dn 1
=
⇒
=
dt ∆t
dt λ
2E
.
m
E 
E + dE
dE
3b/ L'équation Ln n  = − nγ donne, en passant à la limite : γ dn = − Ln [
]= −
E
E
 E0 
soit : γ
dt
λ
2E
dE
E
=−
; en posant y =
on a
m
E
E0
[
]
3c/ L'intégration conduit à : 2 y−1/ 2 − 1 =
4a/ On calcule d'abord
On a toujours :
γ
dt 2 E0
dy
= − 3/ 2
λ m
y
γ
2E0
t
soit :
λ
m
E0
≈ 5000 puis avec γ = 0,158 on trouve t = 120 µs .
E
E0
2λ m
>> 1 donc t =
E
γ 2E
indépendant de E0.
4b/ La distance parcourue pendant dt est : dx = v. dt = dt
donc dx = −
E0
γ
2E0
= 1+
t
E
2λ
m
2E
dt
et on a aussi γ
m
λ
2E
dE
=−
m
E
λ dE
λ
E
⇒ x = Ln 0
on trouve ainsi x = 2,8 m.
γ E
γ
E 300 K
On peut remarquer que cette distance corespond à nλ puisque n = −
1  E300 K 
Ln 
.
γ  E0 
Deuxième partie.
G
→
G
G
µI G
1a/ Avec ξ u = A1M ⇒ le théorème d'Ampère donne B = 0 2 k ∧ ξu
2πξ
G
G B − a sin θ u r
→
G
G
2
2
2
1b/ A1M = ( r − a cos θ )u r + a sin θu θ ⇒ B = 20 
G et ξ = a + r − 2 a r cos θ
ξ ( r − a cos θ )u θ
 a sin θ
2
2
− ξ 2 = − sin θ + 2 u sin θ cos θ − u sin θ[1 − 4 cos θ]
G
1c/ B′ = B0 
 ( r − a cos θ ) = u − cosθ − 2u cos2θ + u 2 cos θ[3 − 4 cos 2 θ]

ξ2
[
]
[
]
G
G
2a/ Il faut faire une rotation de π et changer le signe du courant. Soit: B"( u, θ ) = − B'( u, θ + π )
[
]
2b/ B1r = B'r ( u, θ ) − B' r ( u, θ + π ) = −2B0 sin θ − u 2 sin θ[1 − 4 cos 2 θ]
[
]
B1θ = B'θ ( u, θ ) − B'θ ( u, θ + π ) = −2 B0 cosθ − u 2 cos θ[3 − 4 cos2 θ]
[
]
[
en linéarisant : B1r = −2 B0 sin θ + u 2 sin 3θ et B1θ = −2 B0 cosθ + u 2 cos 3θ
3a/ Il faut faire une rotation d'angle − 2π/3 et d'angle +2π/3 .
3b/ Donc Br = B1r ( u , θ ) + B1r ( u , θ − 2π / 3) + B1r ( u , θ + 2π / 3)
Bθ = B1θ ( u , θ ) + B1θ ( u , θ − 2π / 3) + B1θ ( u, θ + 2π / 3)
cos(θ − 2π / 3) + cos(θ + 2π / 3) = − cos θ
Or 
on a finalement:
sin(θ − 2π / 3) + sin(θ + 2π / 3) = − sin θ
Br = −2B0 3u 2 sin 3θ
Bθ
[
= −2B [3u
4a/
Ligne
0
2
]
cos 3θ] donc
de
champ:
]
y
C=6
G G
dr
B
dA // B ⇒
= r
rdθ Bθ
dr sin 3θ
=
dθ ⇒ r 3 = r03 / cos 3θ
r cos 3θ
4b/ ci-contre : allure des lignes de champ.
4c/ Module B( r ) = 6B0 r 2 / a 2 ,
lignes isomodules B(r) = Cte sur un cercle de
centre O
⇒
o
x
II- Action du champ sur un neutron
GG
1a/ Pour un dipôle E p = − M. B donc deux cas possibles : E / / = − M B et E⊥ = M B
Soit en remplaçant B par CB0 r 2 / a 2 ⇒ E / / = −½ mΩ 2 r 2 et E /// = ½ mΩ 2 r 2
G
G
G
G
G
G
1b/ La force est donnée par : F = − grad E p donc F/ / = mΩ 2 r et F/// = − mΩ 2 r
Pour confiner il faut une force de rappel, seuls les neutrons antiparallèles peuvent être confinés.
G
G
G
G
G
d2 r
d2z G
d2 r
d 2z
2a/ La RFD donne : F/// = − mΩ2 r = m 2 + m 2 k ⇒ − mΩ 2 r = m 2 et 2 = 0
dt
dt
dt
dt
G
G
G
G
G
2b/ L'intégration donne : r ( t ) = A1 cos Ωt + A 2 sin Ωt où A1 et A 2 sont des constantes.
G
G
u G
soit avec les conditions initiales: z = v 0 t et r ( t ) = x 0 i cos Ωt + 0 j sin Ωt .
Ω
2c/ La trajectoire est une hélice d'axe Oz et de section elliptique.
3a/ Le neutron est confiné si le grand axe de l'ellipse est inférieur au rayon a; x0 étant plus petit que
u
a il faut que: a > 0 soit encore : u C = a Ω .
Ω
3b/ A-N: uC = 5,9 m.s−1ce qui donne EC = 18.10−8 eV et aussi TC = 1,4.10−3 K
Ce résultat justifie l'appellation neutron ultra-froids.
3c/ La fonction de répartition de Boltzmann permet de calculer la fraction de neutrons qui ont une
énergie inférieure à la valeur calculée précédemment:
EC
1
1
F= ∫
E exp( − E / kT) dE
2π ( kT)3/ 2
0
EC
si T = 300 K << TC on peut simplifier ⇒ F ≈
∫
0
1
1
1
1 2 3/ 2
E dE =
E
3/ 2
2π ( kT)
2π ( kT)3/ 2 3
[ ]
EC
0
3/ 2
3  TC 
≈ 510
. −9 donc extrémement faible.
4π  T 
4/ Les neutrons ont un mouvement de dérive suivant l'axe Oz. or les fils créant le champ magnétique
ne peuvent être rééllement infinis. Le confinement n'a lieu que dans la partie centrale du dispositif et
se termine lorsque les neutrons sortent du dispositif.
Soit finalement : F =
III- Amélioration du confinement
G
G
→
G
G
G
1a/ Pour les neutrons confinés : F/ / = − mΩ 2 r avec maintenant r = O' M = (ρ − R )u ρ + zk
G
G
G
)uG + zk
+ ρθ
1b/ En cylindriques : a = (
ρ − ρθ 2 )u + ( 2ρθ
ρ
θ

ρ − ρθ 2 = − Ω 2 (ρ − R )
 = 0
+ ρθ
1c/ Equations du mouvement : 2ρθ
z = − Ω 2 z

2a/ Compte tenu des conditions initiales: z = −Ω 2 z ⇒ z = z0 cos(Ωt ) +
V0
sin Ωt .
Ω
2
= 1 d (ρ θ ) = 0 ⇒ ρ2θ = Cte = ρ2ω "mouvement projeté sur x0y à force centrale".
+ ρθ
2b/ 2ρθ
0 0
ρ dt
 ρ4 ω 2 
ρ − ρθ 2 = ρ −  0 3 0  = − Ω 2 (ρ − R )
2c/ Il reste l'équation en ρ(t):  ρ 
3a/ si ω0 = 0 alors θ = θ0 est constant : ρ = −Ω 2 (ρ − R ) ⇒ (ρ − R ) = (ρ0 − R ) cos Ωt ,
c'est l'équation paramètrique (z(t),ρ(t)) d'une ellipse de centre O'.
3b/ si θ = Cte = ω 0 alors ρ2 = ρ20 , la trajectoire est sinusoïde dessinée sur un cylindre d'axe Oz.
La trajectoire sera fermée si la durée d'un tour est un multiple de la période, soit Ω = nω 0 .
 ρ40ω 20 
ρ
ε
−
4a/ Si ρ = ρm [1 + ε( t )] alors l'équation en ε est : m  3  [1 − 3ε ] = − Ω 2 (ρm − R + ρm ε )
 ρm 
 ρ4 ω 2 
4b/ La valeur moyenne correspond à ε = 0 : − 0 3 0  = − Ω 2 (ρm − R ) on a
 ρm 
 ρ40ω 20 
 ρ40ω 20 
2
ρ
ε
ε
Ω
ρ
ε
ε + Ω2 ε = 0
4c/ Par différence : m + 3 3  +
m = 0 soit : ε + 3
4 
 ρm 
 ρm 
 ρ40ω 20 
ce qui s'intègre en ε( t ) = ε 0 cos(Ω' t + ϕ 0 ) en posant : Ω' = 3 4  + Ω 2 .
 ρm 
ρ2ω
ρ2ω
Ce qui donne alors la vitesse angulaire: θ = 0 2 0 ≈ 0 2 0 [1 − 2ε ] .
ρ
ρm
4d/ Les trajectoires sont alors ses oscillations autour des sinusoïdes tracées sur un cylindre. La
vitesse angulaire étant elle même oscillante.
5/ La pesanteur entaîne un mouvement de chute selon l'équation z = ½ gt2 qui s'ajoute aux
oscillations. Au bout d'une période la "chute" vaut donc : h = 2gπ 2 / Ω 2 .
On calcule alors : h = 5,6 mm, ce qui n'est pas négligeable.
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