Rapport d'analyse numérique: Méthodes d'Euler et Runge-Kutta

UNIVERSITE AUBE NOUVELLE
INSTITUT SUPERIEUR D’INFORMATIQUE ET DE GESTION
DEPARTEMENT : HIGH-TECH
FILIERE : IT3
RAPPORT DU PROJET D’ANALYSE NUMERIQUE
Membres du Groupe : Professeur :
OUEDRAOGO YOHANN Dr METCHEBON Aimé
ZOURE Omar Binkabo
KABORE Hamidou
BAZIE Samuel
BEBANE Yaya
Groupe 6

SOMMAIRE
INTRODUCTION
I. Sous-programme function implémentant la méthode d'Euler
II. Sous-programme function RK3 implémentant la méthode RungeKutta
III. Programme principale implémentant les tâches suivantes :
- demander à l'utilisateur d'entrer au clavier le nombre d'équations à résoudre,
le vecteur des conditions initiales, les bornes tmin et tmax de l'intervalle sur
lequel on souhaite résoudre le système, le pas d'intégration choisi h, le second
membre de l’équation.
- créer à partir de tmin, tmax et h, un vecteur time contenant tous les instants
en lesquels la solution sera calculée.
- demander à l'utilisateur d'entrer au clavier son choix de méthode de
résolution : Euler ou RK3.
- selon la réponse, appeler Euler ou RK3 pour calculer la solution y
- visualiser à l'écran les solutions obtenues.
IV. Résolution du problème suivant : la hauteur différentielle H d’un
manomètre à mercure.
V. Exemple personnel
CONCLUSION

INTRODUCTION
Le présent projet nous a été soumis dans le cadre de l’application pratique des
méthodes théoriques vues au cours d’Analyse Numérique. Notre travail consiste
essentiellement à réaliser des programmes sur des fonctions à exécuter sur le logiciel
MATLAB. Ces fonctions seront exécutées suivant les méthodes d’EULER ou RUNGE
KUTTA.
Tout au long du travail nous implémenterons les programmes qui permettront
d’aboutir aux résolutions des systèmes qui nous ont été soumis.
Le bon fonctionnement des programmes sera évalué en résolvant le problème
suivant.
En remplaçant λ1 et λ2 par leur valeur respective -1 et -5 dans les deux équations,
on obtient
La fonction évaluant le vecteur à utiliser avec la méthode d’Euler ou RungeKutta 3
est la suivante :

function[f]=fct (t,y)
% t=le scalaire
% y=le vecteur
% f=vecteur de sortie
% y(1,1)=y1
% y(2,1)=y2
f(1,1)=-3*y(1,1)+2*y(2,1);
f(2,1)=2*y(1,1)-3*y(2,1);
I. Sous-programme function implémentant la méthode d'Euler
Pour commencer déterminons yanal1 et yanal2 en remplaçant λ1 et λ2 par leur valeur.
On obtient :
On a Y’=AY dont la solution est de la forme Y(t) = k. eA*t avec k un vecteur de deux
réels.
Vu que A n’est pas diagonale, nous allons la diagonaliser afin de déterminer son
exponentiel :
Résolvons l’équation det (A – λ*I2) = 0
Ce qui nous donne le polynôme caractéristique suivant :
det (A – λ*I2) = (−3 − �)² − 4

Donc det (A – λ*I2) = 0 implique que : (−3 − �) ² − 4 = 0 <=> (−3 − �) ² = 4
<=> −3 − � = 2 ou −3 − � = −2.
Ce qui nous donne les racines λ1 = -1 et λ2 = -5. Nous remarquons qu’il s’agit des
valeurs qui nous ont été données dans l’énoncé du projet.
Les vecteurs propres associee aux valeurs propres :
Pour Eλ1 :
On obtient alors le système suivant :
Soit e1 un vecteur directeur de Eλ1, on peut écrire que e1 = car en effet 1 – 1 = 0.
Pour Eλ2 :
On obtient alors le système suivant :