Exercices réduction


1
8. Soit A = 2
3
PC Réduction
1.
(a) Soit A ∈ Rn [X ] tel que
R1
A(t )d t 6= 0 et u défini sur Rn X ] par
Z 1
Z 1
u(P ) = A
P (t )d t − P
A(t )d t
0
0


0
1
0 et D = 0
9
0
0
4
0

0
0
9
(a) Montrer que les matrices carrées d’ordre 3 N telles que N D = D N sont les
matrices diagonales d’ordre 3
0
(b) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Y telles que Y 2 = D
. Montrer que u détermine un endomorphisme de Rn [X ] et déterminer les
éléments propres de u. u est-il diagonalisable ?
(c) Déterminer les éléments propres de A et montrer que A est semblable à D.
(d) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 X telles que X 2 = A. Montrer que
chacune de ces matrices s’écrit Q(A), où q est un polynôme de degré inférieur
ou égal à 2. Donner explicitement Q pour la matrice X ayant toutes ses valeurs
propres positives.
(b) Soit
u une forme linéaire non nulle d’un espace vectoriel E et f :
½
E →
E
où ~
a ∈ E , u(~
a ) 6= 0
x 7→ u(~
a )~
x − u(~
x )~
a
Montrer que f est un endomorphisme de E , déterminer ses éléments propres.
f est-il diagonalisable ? Quel est le lien avec l’exercice précédent ? Déterminer
u p pour p ∈ N
2.
0
4
5
(e) Déterminer un polynôme P de degré É 2 tel que P (D) = D −1 . (Penser aux polynômes d’interpolation
(a) Montrer que toute matrice carrée d’ordre n ∈ N∗ A de rang 1 s’écrit sous la
forme t UV où U et V sont des matrices colonnes non nulles de n lignes.
(f ) Vérifier alors que P (A) = A −1


3 −3 2
9. Soit A = −1 5 −2.
−1 3
0
(b) Montrer que tr(A) = V t U (on identifie les scalaires et les matrices carrées
d’ordre 1),puis que A 2 = tr(A)A.
(c) Déterminer avec les mêmes notations les éléments propres de A.Donner le
polynôme caractéristique de A
(a) Déterminer les éléments propres de A
(b) Calculer A n pour n ∈ N. Cette formule est-elle encore valable pour n < 0 ?
(d) Montrer que pour n > 1, A est diagonalisable si et seulement si t r (A) 6= 0.
(c) Montrer que tout sous-espace de R3 stable par l’endomorphisme canoniquement associé à A est engendré par des des vecteurs propres de f .
3. Montrer que f défini par
f (P )(X ) = X (X − 1)P 0 (X ) − nX P (X )
(d) En déduire les sous-espaces propres de f stables par f
détermine un endomorphisme de R[X ] dont on déterminera les éléments propres.
(e) Vérifier que les plans stables par f ont une équation de la forme ux +v y +c z =
0, où t (u, v, w) est vecteur propre de t A. Le justifier.


3 1 −1
Soit M = 1 1 1 
2 0 2
10. (a) Déterminer les éléments propres de M . M est-elle diagonalisable ?
n
4. Soit f un endomorphisme de C
(a) Si r g ( f ) = 2 déterminer son polynôme caractéristique en fonction de tr( f ) et
tr( f 2 ).
(b) Si rg( f ) = 3, déterminer son polynôme caractéristique en fonction de
t r ( f ), t r ( f 2 ), t r ( f 3 ).
5. Montrer que M ∈ M3 (R) vérifiant M 2 +t M = I 3 est diagonalisable et déterminer ses
éléments propres.
(b) Montrer que le plan vectoriel de R3 d’équation ax + b y + c z = 0 est stable par
M si et seulement si (a, b, c)est vecteur propre de t M .
6. Polynôme caractéristique de A ∈ GL5 (R) vérifiant A 3 − 3A 2 − A = 0 et t r (A) = 8


1 j2 j
1 j 2 . Déterminer les éléments
7. Soit la matrice carrée d’ordre 3 : A =  j
2
j
j
1
propres de A. Déterminer les sous-espaces de C3 stables par l’endomorphisme canoniquement associé à A.
(c) Déterminer les sous-espaces de R3 stables par M .
(d) Déterminer les matrices qui commutent avec M .
µ
¶
A A
11. Soit A ∈ M n (R).On considère la matrice diagonale par blocs B =
. Soit P un
0 A
0
polynôme. Calculer P (B ) en fonction de P (A) et P (A). En déduire que B est diagonalisable si et seulement si A = 0.
1
(f) En déduire que χv (v) = 0
12. On½considère b ∈ R et l’application :
Rn [X ] →
Rn [X ]
u:
P
7→ (X − b)(P 0 (X ) + P 0 (b)) − 2(P (X ) − P (b))
(g) Montrer finalement que χu (u)(x) = 0E
(h) Conclure.


1 2 −3
15. Soit A = 2 4 −6 .
4 8 −12
(a) Montrer que u définit un endomorphisme de Rn [X ]
(b) Montrer que Im(u) ⊂ (X − b)3 R[X ] ∩ Rn [X ]
(c) Montrer que ker(u) ⊂ R2 [X ]
(d) Déterminer les éléments propres de u, la trace de u. (On choisira astucieusement une base de Rn [X ]). u est-il diagonalisable ?
(a) Déterminer le rang de A. En déduire sans calcul le polynôme caractéristique
de A.
13. On dit qu’une matrice A réelle symétrique est positive (respectivement définie
positive) lorsque pour tout X ∈ M n,1 (R), on a (AX |X ) ≥0. (resp pour tout X ∈
M n,1 (R), X 6= 0, (AX |X ) > 0. Les ensembles correspondants sont notés S n+ (R) (resp
S n++ (R))
(b) A est-elle diagonalisable ?
(c) Déterminer les éléments propres de A

x(t )
(d) Résoudre le système différentiel X 0 = AX d’inconnue X : t 7→  y(t )
z(t )


13 −5 −2
16. Soit A = −2 7 −8 et f l’endomorphisme canoniquement associé.
−5 4
7

(a) A quelle condition une matrice diagonale est-elle positive ? (resp définie positive ?)
(b) Montrer qu’une matrice symétrique est positive (resp définie positive) si et
seulement si ses valeurs propres sont positives (resp strictement positives)
µ
¶
a b
(c) Montrer que
∈ M2 (R) est positive (resp définie positive) si et seuleb c
ment si a ≥ 0 et ac − b 2 Ê 0 (resp a > 0 et ac − b 2 > 0)
(a) Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A
(b) Montrer qu’il existe une base (e 1 , e 2 , e 3 ) de R3 dans laquelle la matrice de f est


9 1 0
0 9 1 (On écrira les équations que doivent vérifier e 1 , e 2 , e 3 .)
0 0 9
(d) Soit A une matrice positive. Montrer qu’il existe une unique matrice carrée B
positive telle que B 2 = A.
µ
¶
1 2
(e) Soit A =
. Déterminer B symétrique positive telle que B 2 = A
2 8
(c) Résoudre le système différentiel X 0 = AX
(d) Vérifier que (A − 9I 3 )3 = 0. En déduire A n pour tout n ∈ N. On pourra introduire par exemple B = A − 9I 3
µ
¶
µ
¶
1 2
1 3
17. Soit A =
et B =
2 1
3 1
(f ) Soit A ∈ S n++ (R). Montrer que l’application (X , Y ) →t X AY définit un produit
scalaire sur Rn (identifié à M1,n (R)
14. Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle et u ∈ L (E ). On veut montrer le théorème de Cayley-Hamilton qui s’énonce par : χu (u) = 0.
(a) A et B sont-elles diagonalisables ? Donner leurs éléments propres.
µ
¶
A 3A
(b) Soit C ∈ M4 (R) définie par blocs par C =
Montrer que C est dia3A A
gonalisable en utilisant les vecteurs propres de A et B . Calculer le polynôme
caractéristique de C .
(a) Soit x un élément non nul de E . Montrer que E x = {P (u)(x)|P ∈ K[X ]} est un
sous-espace vectoriel non nul de E stable par u
(b) Soit p = dim E x . Montrer que Bx = (x, u(x), · · · , u p−1 (x)) est une base de E x
(on montrera par l’absurde que cette famille est libre).
(c) Montrer qu’il existe des scalaires a 0 , · · · , a p−1 tels que (u p )(x) =
p−1
X
a k u k (x)
(c) Généraliser à deux matrices A et B diagonalisables quelconques d’ordre 2.
k=0
(d) Montrer que l’application v : M 7→ AM − M B définit un endomorphisme de
M2 (R) et déterminer ses éléments propres.
(d) Déterminer la matrice de l’endomorphisme v induit par u dans la base Bx .
Ã
!
p−1
X
k
p
p
(e) Montrer que χv (λ) = (−1) λ −
ak λ
k=0
2