Prof : Zegtaoui khalid érie S cours de soutien 0699024385 o N 1 Electricité III : SMP- S4 -MP-ENSA Exercice 1 Un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.) de permittivité électrique r , est limité par deux conducteurs sphériques ( S1 ) et ( S 2 ) de même centre O er de rayons respectifs R 1 et R 2 ( R 1 R 2 ). Les deux surfaces regard de ( S1 ) et ( S 2 ) portent des charges réelles (+Q) et (-Q). Sous l’action du champ appliqué créé par ces charges réelles, le milieu diélectrique possède une polarisation de la forme P(M) ( r 1)Q e r où r est la distance du point M (r, , ) au centre O. 4 r r 2 1) Déterminer les distributions de charge fictive de polarisation. 2) Calculer les charges électriques fictives de polarisation. Montrer que la charge fictive totale est nulle. 3) En appliquant le théorème de Gauss à une surface sphérique de centre O et rayon r, déterminer le champ E(M) et (+Q) R2 S2 S1 O l’induction électrique D(M) en tout point M de l’espace. R1 4) Déterminer l’énergie électrostatique stockée dans le milieu diélectrique (-Q) Exercice 2 On considère un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope de permittivité diélectrique r , limité par deux surfaces sphériques ( S1 ) et ( S 2 ) de même centre O et rayons respectifs R1 et R2. Le milieu est constitué par des molécules non polaires. Une charge électrique ponctuelle q, réelle et positive, est placée au centre O. 1) Expliquer comment le milieu considéré se polarise-t-il. 2) Montrer que le champ électrique, en tout point M(r, , ) dans la base sphérique ( (er , e , e ) est de la forme E(M) E(r).er . 3) En appliquant le théorème de Gauss généralisé, déterminer l’induction électrique D(M) et le champ électrique total E(M) créés en tout point M de l’espace. 4) En rappelant le champ électrique créé par une charge ponctuelle q en un point de l’espace, déduire le champ dépolarisant E d (M) en tout point de l’espace. R2 (S1 ) O q R1 5) Déterminer l’expression du vecteur polarisation P(M) du milieu. 6) a- Calculer les densités des charges fictives de polarisation. b- Calculer les charges fictives correspondantes. 7) Déterminer l’énergie électrostatique We emmagasinée dans le volume diélectrique. Exercice 3 Un milieu diélectrique parfait, de permittivité diélectrique relative r , est limité par deux surfaces cylindriques de même axe ZZ’ et de même hauteur h: une surface externe (S 2 ) de rayon b et une surface interne (S1 ) de rayon a. Le volume cylindrique interne, de rayon a et de hauteur h, contient une charge électrique volumique réelle Q répartie avec une densité uniforme. La polarisation du milieu est induite par le champ électrique créé par la charge réelle. (S 2 ) Z 1) Exprimer la densité volumique de charge réelle en fonction du rayon a et de la charge électrique réelle Q. 2) -En appliquant le théorème de Gauss généralisé déterminer l’induction électrique D(M) en tout point M de l’espace. -En déduire le champ électrique E(M) . 3) Déterminer le vecteur polarisation P(M) dans le milieu 4) Déterminer les densités de charge fictive de polarisation. 5) Calculer les charges fictives et montrer que la charge fictive totale est nulle. 6) Calculer l’énergie électrostatique We emmagasinée dans le milieu diélectrique. Exercice 4 a b h Z’ Un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique relative r , de forme sphérique (centre O, rayon R), est polarisé sous l’action d’un champ électrique créé par une charge volumique réelle répartie dans le volume du milieu diélectrique avec une densité (uniforme). On désignera par Q la charge réelle totale contenue dans le volume sphérique de rayon R. 1) Montrer que le champ électrique créé par cette distribution est radial et son module ne dépend que de la distance r du point M au centre O : E(M) E r (r).e r . 2) -En appliquant le théorème de Gauss généralisé, à une surface bien choisie, Déterminer le champ d’induction électrique D(M) en tout point M de l’espace. -En déduire le champ électrique E(M) . 3) Déterminer l’expression du vecteur polarisation P(M) . a- Calculer les densités de charge fictives de polarisation. b- Calculer les charges fictives volumique et surfacique et montrer que la charge fictive totale est nulle. 4) Ecrire l’expression de la densité volumique d’énergie électrostatique e , puis calculer l’énergie We emmagasinée dans le volume diélectrique. R (εr) O ᵨ ( ) Rappel : - En coordonnées sphériques, pour un champ de vecteurs A(r, , ) : - En coordonnées 1 2 1 1 A div.A r Ar A sin r sin r sin r 2 r cylindriques, pour un champ de vecteurs A(r, , z) : 1 A A r.A r 1 z div.A r r r z Exercice 5 Un condensateur plan d'épaisseur 2 est rempli par deux diélectriques de permittivités respectives 1 et 2 , séparés par une surface non chargée et de vecteurs polarisation respectifs P1 et P2 . Ses armatures situées en z = 0 et z = 2 sont chargées avec une densité de charge mobile uniforme. ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) P2 P1 O k ( 0 ) Z 2 On suppose négligeable les effets de bord et que les lignes de champs à l'intérieur du condensateur sont perpendiculaires aux armatures. 1) Déterminer le vecteur déplacement électrique D en tout point de l'espace. 2) Calculer les champs électriques E1 et E 2 et les polarisations P1 et P2 dans les deux milieux en fonction de , 1 et 2 . 3) Calculer les densités surfaciques des charges fictives. Exercice 6 Un matériau diélectrique linéaire, homogène et isotrope, de permittivité relative r est limité par deux surfaces sphériques. La surface externe de rayon R 2 et la surface interne (surface d’une cavité sphérique) de rayon R 1 R 2 ne contenant aucune charge. Une charge électrique réelle ponctuelle Q positive est placée au centre O de la cavité sphérique. 1) En appliquant le théorème de Gauss généralisé, calculer l’induction O électrique D , le champ E et la polarisation P en tout point de l’espace. (εr) 2) Déterminer les densités de charge de polarisation. Q 3) Calculer la charge électrique totale Q contenue dans une sphère de centre O et de rayon R 1 r R 2 . Conclure. 4) Calculer l’énergie électrostatique emmagasinée dans le matériau diélectrique. Rappel : L’expression de la divergence d’un champ radial en coordonnées sphériques est : 1 2 A 1 .A 2 r Ar A sin r sin r r R2 R1 Exercice 7 On considère deux conducteurs cylindriques coaxiaux (C1) et (C2), en équilibre électrostatique, de même hauteur h, de rayons respectifs a et b (avec a < b) et de charges libres totales respectives (Q>0) et (-Q) réparties sur les surfaces en regard des deux conducteurs. L’espace compris entre les deux cylindres est séparé en deux milieux, de même volume, par une surface diamétrale plane ne contenant aucune charge libre (couronne circulaire comprise entre les rayons r = a et r = b). Les milieux (1) et (2) sont remplis par des matériaux diélectriques linéaires, homogènes et isotopes, de permittivités diélectriques absolues 1 et 2 respectivement. a 1) – Justifier pourquoi le champ électrique entre les deux conducteurs est radial et ne dépend que de r : E(M) E(r).e r . – En utilisant la relation de passage, pour le champ électrique, à la surface de séparation entre les deux milieux, montrer que E 1 (r ) E 2 (r ) E(r) . ( 1 ) – A l’aide du théorème de Gauss généralisé, déterminer, en fonction de Q, r, h, 1 et 2 , le champ électrique E(r) et les inductions électriques D et D dans les deux milieux. 2 1 ( 2 ) b -Q h Q 2) Déterminer les vecteurs polarisation P et P dans les 2 1 deux milieux. 3) Déterminer les densités de charge électriques fictives équivalentes aux deux milieux diélectriques polarisés. 4) En utilisant la relation de passage pour l’induction électrique D , déterminer les densités de charges libres sur les deux surfaces latérales SL1 et S' L1 du cylindre (C1) plongées respectivement dans les milieux (1) et (2). 5) Calculer les énergies électrostatiques W1 et W 2 emmagasinées respectivement dans les milieux (1) et (2). Rappel : La divergence d’un champ A radial à symétrie cylindrique s’écrit : 1 .A (r.A r ) où A est la composante radiale de A . r r r → → Deux dipôles de moment − p 1 et − p 2 sont placés dans la conguration indiquée sur la gure, à une distance r l'un de l'autre. → → 1. Exprimer l'énergie potentielle W2 du dipôle de moment − p 2 placé dans le champ du dipôle de moment − p1 → p 2 est dans une position d'équilibre. 2. En déduire la relation entre les angles θ1 et θ2 lorsque le dipôle de moment − Exercice 9 Considérons une lame diélectrique (l.h.i.) de permittivité rela→ tive εr , placée dans un champ électrique uniforme − E 0 (voir gure). Les faces de la lame sont considérées comme des plans innis. − 1) Déterminer le champ électrique → E à l'intérieur de la lame en fonction de − → − → E 0 et εr . En déduire la polarisation P à l'intérieur du diélectrique. Préciser → le sens de − P. → 2) Déterminer le champ électrique dépolarisant − E p créé à l'intérieur du di− électrique. Quel est le sens de → Ep ? 3) Calculer les densités de charges ctives de polarisation. → 4) Retrouver le champ électrique dépolarisant − E p à partir des charges de polarisation. Exercice 9 → Une molécule polaire de moment dipolaire − p est placée à l'origine O d'un axe (Ox), son moment dipolaire étant→ orienté suivant l'axe Ox. → e x . On repère la On applique un champ électrostatique uniforme −E 0 = E0 − position d'un point M par ses coordonnées polaires (r, θ). 1. Déterminer l'expression du potentiel électrostatique V0 (M) associé au → champ électrostatique − E 0 au point M. On prendra comme origine du potentiel V0 le point O. 2. En déduire le potentiel→ electrostatique V (M) créé en M par la molécule et − le champ électrostatique E 0 , en se placant dans l'approximation dipolaire. 3. Quelle est la nature de l'équipotentielle V = 0 ? 4. Montrer qu'il existe deux points de champ nul, en précisant leur position. Exercice 9 On place au point O de l'axe (Ox) un dipôle dont le mo→ → ment dipolaire − p est orienté selon − e x . A une distance x sur l'axe (Ox), on place un cation de charge Q. On suppose que le dipôle est susamment loin du cation, i.e., x est grand devant la longueur du dipôle. → 1. Exprimer le champ électrostatique − E créé par le dipôle au niveau du ca tion. 2. Quelle est la force − F exercée par le dipôle sur le cation ? L'interaction → est-elle attractive ou répulsive ? En déduire l'énergie potentielle W du cation dans le champ du dipôle. −′ 3. Donner le champ électrique → E créé par le cation au centre du dipôle. En déduire l'énergie potentielle W ′ du dipôle dans le champ du cation. 4. Comparer W ′ et W . Conclusion. Exercice 9 Un cylindre magnétique, de rayon R et de longueur L est aimanté de façon permanente suivant parallèlement son axe. r J C .e z (C est une constante positive) R J 1) Déterminer les vecteurs densités des courants d’aimantation, équivalents au milieu aimanté dans le vide. 2) Calculer les intensités des courants volumique et surfacique I v et Is et montrer que le courant d’aimantation total est nul. Rappel : Le rotationnel d’un champ de vecteurs F en coordonnées cylindriques s'écrit : (r.F ) Fr F F 1 Fz F ).e z ).e r ( r - z ).e ( ro t F ( r z r r z où (er , e , ez ) est la base locale en coordonnées cylindriques. Exercice 9 Un volume magnétique, limité par deux surfaces sphériques concentriques ( S1 ) et ( S 2 ) de rayons R 1 et R 2 respectivement (avec R 1 R 2 ), possède une aimantation permanente de a r . la forme : J(M) pour R 1 r R 2 4. r 3 R2 1 où a est une constante positive et r OM 1) Déterminer les densités de courant d'aimantation B - En déduire le champ d'induction magnétique a , créé par le volume aimanté, en tout point de l’espace. 2) Déterminer le champ d'excitation magnétique en tout point de l’espace. Ha R1 O (S1 ) (S 2 ) Rappel : Le rotationnel d'un champ de vecteurs F , en coordonnées sphériques dans la base locale (er , e , e ) s'écrit : F 1 1 1 Fr 1 (r.F ).e (r.F ) r .e (F sin ) F .er rot F r r r sin r r sin Exercice 9 Un matériau magnétique L.H.I. de forme sphérique de centre O, de rayon R et de perméabilité magnétique relative r , ne contenant pas de courants réel est soumis à un champ d’induction magnétique uniforme B 0 B 0 .e z parallèle à la direction OZ. Ce matériau possède une aimantation uniforme J = J. e z . 1) Déterminer les densités des courants fictifs d'aimantation. 2) Calculer le champ d'induction magnétique B ia (supposé uniforme) et l’excitation magnétique H ia créés par le matériau à l'intérieur de la sphère. Exprimer les champs Bitot et H itot . 3) Calculer le champ d’induction magnétique B etot et l’excitation magnétique H etot à l'extérieur de la sphère en admettant que celle-ci est équivalente à un dipôle magnétique situé en son centre O. 4) Déterminer l’expression du moment magnétique du dipôle équivalent. 5) Calculer l'énergie magnétique W m emmagasinée dans ce volume.
