Asservissement
Cours
Résumé
Sciences de
l’Ingénieur
Asservissement
Cours
L’énergie nécessaire à la grandeur de sortie ne provient pas directement de la commande. Elle est apportée
dans le système via un préactionneur (ou amplificateur).
Système de commande en chaîne directe
Un système fonctionne en chaîne directe s’il n’y a
pas de contrôle sur la manière dont la consigne a été
exécutée.
INTRODUCTION A L’AUTOMATIQUE
Système automatique
Définitions
Un système automatique est un système assurant des fonctions avec peu ou sans intervention
humaine.
L’automatique est la discipline scientifique traitant, d’une part, de la caractérisation des systèmes
automatisés et d’autre part du choix, de la conception, et de la réalisation du système de commande.
Il s’agit donc de modéliser le comportement complexe des systèmes :
Réalisant leurs fonctions en relative autonomie,
Assurant un contrôle des performances par la mise en place possible d’une chaîne d’acquisition
(boucle de retour).
Perturbation
Une perturbation est une autre cause agissant
sur le système. C’est une grandeur d’entrée qui
n’est pas contrôlée.
Système de commande en Boucle
fermée (chaîne fermée)
Un système fonctionne en boucle fermée si une mesure de la sortie est réalisée afin de la comparer à
la consigne et d’agir en conséquence.
Structure d’un système automatisé : Chaîne fonctionnelle
Représentation
Une chaîne fonctionnelle est représentée par des blocs reliés entre eux par des liens.
Chaque bloc représente un constituant.
Grandeurs
physiques
internes
et/ou
extérieures
informations
issues d’autres
systèmes
consignes de
l’opérateur
Chaîne Information
Acquérir
Coder
CAPTEUR ,
INTERFACE
HOMME/MACHINE
Traiter
mémoriser
Info pour
l’opérateur
Communiquer
restituer
UNITE DE TRAITEMENT :
Automates
programmables, circuits
logiques,
Info vers
d’autres
systèmes
MO
t
t
Commandes
Tout ou Rien,
réseaux, bus, …
Système asservi
Définition d’un système asservi
Un système asservi est un système bouclé dans lequel la grandeur de retour est comparée à la
grandeur d’entrée par élaboration d’un signal, appelé écart. Ce signal écart est adapté et amplifié
afin de commander la partie opérative.
A retenir, un système asservi est un système :
o à amplification de puissance
o en boucle fermée
Ordres
Alimenter
Stocker
Tuyaux,
raccords, fils
Moduler
Convertir
Chaîne d’énergie
PREACTIONNEUR :
Distributeur,
contacteur tripolaire,
ACTIONNEUR :
Vérin, moteur,…
Transmettre
Chaînes, engrenages,
embiellages, …
Agir
Energie(s) d’entrée
(Pression, tension)
Système de commande continu
MO
t t
Les systèmes étudiés dans ce cours sont constitués de grandeurs physiques continues. La grandeur de
sortie (mettant en jeu généralement des énergies importantes) est pilotée par la grandeur d’entrée ou
commande (faible énergie). Il est alors possible de définir une relation entrée-sortie.
Figure 2 : Schéma bloc d’un système asservi
Système régulateur ou suiveur
On distingue généralement les systèmes régulateurs où la consigne est constante (l’asservissement
corrige les effets des perturbations) et les systèmes suiveurs où la consigne évolue continûment
(l’asservissement suit la consigne).
Un réfrigérateur est un système régulateur tandis que la fusée Ariane est un système suiveur.
Figure 1 : Description d'un système de commande
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Performances d’un système asservi
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Amortissement
L’amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie.
Plus ces oscillations s’atténuent rapidement, plus le système est amorti.
Régime permanent
Le régime permanent correspond au moment où le signal de sortie est établi (temps grands)
Précision
système peu amorti
Pour caractériser la qualité de l’amortissement on peut
retenir deux critères :
le taux de dépassement, qui caractérise
l’amplitude maximale des oscillations,
le temps de réponse à 5 %
Il est à noter que pour certaines applications (l’usinage
par exemple) un comportement oscillant n’est pas
autorisé et tout dépassement est inacceptable.
Stabilité
La stabilité est la capacité du système à converger vers une valeur constante pour t → +∞ .
système bien amorti
système fortement amorti
s
D
1.05
0.95
1
O
t
t 5%
NOTION DE MODELISATION
On distingue trois phases dans la modélisation :
1. Isoler le système étudié en positionnant la frontière et en recensant les entrées sorties.
2. Effectuer une décomposition en sous-systèmes plus facilement exploitable.
3. Établir un modèle de connaissance ou de comportement pour chaque sous-système.
Un modèle de connaissance est un modèle obtenu à partir de lois physiques. Cette modélisation est
analytique et possède un sens physique fort.
Régime transitoire
Un modèle de comportement est un modèle dans lequel le sous-système est remplacé par une boîte
noire. Le comportement réel est identifié au mieux à partir de résultats expérimentaux.
Rapidité
La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur
d’entrée. Cependant la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique on retient alors
comme principal critère d’évaluation de la rapidité d’un système, le temps de réponse à n% (en pratique le
temps de réponse à 5%).
Cadre de l’Etude
Système monovariable
Un système monovariable est un système ne
possédant qu'une seule entrée et qu’une seule
sortie.
C’est le temps au bout duquel la réponse du système reste dans une bande de 5% centrée sur la valeur
visée.
s
1+n%
Système invariant
Un système invariant est un système dont les
caractéristiques de comportement ne se
modifient pas dans le temps (« le système ne
vieillit pas »)
1
1- n%
t
O
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t n%
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Système continu
Un système est continu est un système où
les variables d’entrée et de sortie sont
définies pour tout instant t.
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Système linéaire
Un système linéaire est un système où l’effet (signal de sortie) sera toujours proportionnel à la cause
(signal d’entrée).
La relation de comportement d'un système linéaire peut se mettre sous la forme
d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Modélisation des systèmes linéaires continus invariants
Représentation
par
schémas blocs
Un
système
sera
représenté par un schéma
bloc ou (schéma bloc
fonctionnel), dans lequel on
pourra distinguer :
Sommateur
Lien
point de derivation
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H(p)=
-
On définit :
Les pôles : les racines du dénominateur
Les zéros : les racines du numérateur
α classe du système : si α≠0 alors p=0 est un pôle du dénominateur. On dit que le système
comporte α intégrateurs.
K gain
Opérations sur les schémas blocs
Transmittances en série
E(p)
H1(p)
H2(p)
ε ( p)
–
M(p)
Fonction de transfert associée à un système
Le modèle mathématique (ou modèle dynamique) de comportement d'un système monovariable, linéaire,
continu et invariant peut être décrit une équation différentielle à coefficients constants :
d ( n ) s (t )
ds (t )
d ( m )e(t )
de(t )
an
+ b 0e(t) avec n > m
+ K + a1
+ a 0 s(t) = bm
+ K + b1
m
n
dt
(a p +L+a p+a ) ⋅ S(p)=(b
n
1
0
FTBF ( p ) =
S(p)
mp
m
)
+L +b1p+b0 ⋅ E(p)
La relation entrée-sortie du système se met sous la forme
H(p)
F ( p)
11++GH(p)
( p ) ×G(p)
F ( p)
S(p)
S ( p)
F ( p)
=
E ( p) 1 + G ( p) × F ( p)
FTBO( p ) =
M ( p)
= F ( p) × G ( p)
ε ( p)
Remarque : Le système bouclé peut être transformé en un système à retour unitaire
1
G ( p)
F ( p) × G ( p)
Système bouclé à retour unitaire
H(p) représente le comportement du système indépendamment du signal d'entrée. Le schéma bloc
dans le domaine de Laplace, définit le modèle mathématique du système :
H(p)
E(p)
Afin de déterminer les fonctions de transferts en chaîne directe et en boucle ouverte, la boucle de retour est
coupé.
Fonction de transfert en boucle ouverte :
La transmittance du système est une fraction rationnelle en p.
S(p)
REPONSE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU PREMIER ET DU SECOND ORDRE.
Système du 1ier ordre
Définition
Un système du premier ordre est un système où la relation entre l'entrée et la sortie peut se mettre sous la
forme d'une équation différentielle du premier ordre :
S(p)=H(p) ⋅ E(p)
En ordonnant les deux polynômes suivant les puissances croissantes de p, on obtient l’écriture suivante,
encore appelée forme canonique de la fonction de transfert :
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H1(p) H2(p) H3(p)
Fonction de transfert en boucle fermée
S(p) b m pm +L +b1 p +b 0 N(p)
=
=
D(p)
E(p) a n pn +L + a1 p +a 0
E(p)
E(p)
G(p)
On appelle fonction de transfert ou transmittance la fonction H(p):
H(p)=
≡
≡
dt
Les transformées de Laplace permettent alors de travailler aisément avec ce type d'équation (voir le chapitre
transformée de Laplace ) :
n
S(p)
S(p)
H(p)
F(p)
d ( n ) s (t )
ds (t )
d ( m )e(t )
de(t )
+b0e(t)
+ K + a1
+ a 0 s(t) = bm
+ K + b1
n
dt
dt
dtm
dt
dt
H3(p)
Structure en boucle fermée
E(p) +
A chaque bloc fonctionnel correspond une équation différentielle linéaire à coefficients constants :
dt
S(p) K 1 + b1′ p + ...
=
E(p) pα 1 + a1′ p + ...
Bloc
+
Les blocs :
Chaque sous-système est
représenté par une boîte
noire (bloc fonctionnel).
Chaque bloc fonctionnel
possède une seule entrée et une seule sortie (système monovariable).
an
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s(t) + τ.s&(t) = K.e(t)
K est le gain statique, τ est la constante de temps du système.
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La fonction de transfert de ce système est donc :
H(p) =
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Pour déterminer la sortie d'un système du second ordre, il faut distinguer trois cas en fonction de la nature
S(p)
K
=
E(p) 1 + τ.p
des pôles de H(p) ( Δ =
4
ω02
(ζ
2
− 1) ). H(p) possède :
deux pôles complexes conjugués (ξ<1), on dira que l'on est en régime pseudopériodique.
deux pôles réels distincts (ξ>1), on dira alors que l'on est en régime apériodique,
un pôle double (ξ=1), on dira que l'on est en régime apériodique critique,
Réponses temporelles aux signaux tests
Réponse indicielle : e(t ) = e0u (t )
Réponse temporelle :
La transformée de LAPLACE de e(t)
e
est égale à E(p) = 0 .
p
La sortie du processus est donc égale
à:
Ke0
.
S(p) =
p (1 + τ p )
En décomposant en éléments simples,
on obtient :
⎛
⎞
⎜1
1 ⎟
S ( p) = Ke0 ⎜ −
⎟
⎜ p ( 1 + p) ⎟
τ
⎝
⎠
Réponse indicielle :
e(t ) = e0u (t )
Régime pseudopériodique (0 < ξ < 1)
s(t) = K e0 [1 – e–ω0ξt (cos( 1 – ξ2 ω0 t) –
ξ
1−ξ 2
sin( 1 – ξ2 ω0 t))]u(t)
En déterminant la fonction originale de S(p), on en déduit la réponse indicielle d'un système du premier
ordre :
(
s(t) = K .e0 . 1 − e
−t
τ
) . u(t)
Propriétés remarquables :
•
La valeur à convergence vaut : lim s ( t ) =
t →∞
K .e0
•
Le temps de réponse à 5% est obtenu pour un temps
•
Pour le temps t = τ , on obtient :
•
La pente à l’origine vaut
K .e0
t = 3τ : s ( 3τ ) = 0,95.K .e0
s (τ ) = 0, 63.K .e0
Propriétés remarquables :
La tangente à l’origine est horizontale. La valeur à convergence permet d’identifier le gain statique K. Le
dépassement D1 permet d’identifier le coefficient d’amortissement ζ tandis que temps de dépassement t1
permet d’identifier la pulsation non amortie ω0 .
Temps du kème dépassement
τ
tk =
k .π
ω0 1 − ζ 2
Système du 2nd ordre
Amplitude du kème dépassement
Définition
L’équation différentielle d’un second ordre est de la forme :
Pseudo pulsation
&&s(t) + 2 . ξ . ω0 . s(t)
& + ω02 . s(t) = K . ω02 . e(t)
Pseudo période
K : gain statique, ξ : coefficient d'amortissement,
ω0 : pulsation propre non amortie du système.
La fonction de transfert s'écrit donc :
H(p) =
1+
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K
2.ξ .p
ω0
+
Dk = K .e0 .exp
⎛ − kπζ
⎜
⎜ 1−ζ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ω p = ω0 1 − ζ 2
T=
2π
2π
=
ω p ω0 1 − ζ 2
p2
ω02
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Régime apériodique critique (ξ =1)
s(t) = K.e0 .{1 − (1 + ω0 .t).e −ω0 .t } . u(t)
Propriétés :
Pente à l’origine nulle,
aucun dépassement.
ξ= 1
K=1
e0 = 4.5
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La réponse temporelle présente des dépassements pour
représentent les cas particuliers suivants :
• ζ = 1 réponse apériodique critique
ζ > 1 (pseudo périodique). Les courbes en gras
• ζ ≈ 0, 7 réponse optimisant le temps de réponse à 5 %(le premier dépassement vaut 1,05.K.e0)
La pulsation ω ne modifie pas l’amplitude des dépassements.
Amortissement optimal
Le coefficient d'amortissement est dit optimal si le premier maximum est lui même dans la bande des ±5%.
Dans la pratique on utilise la valeur 0.7 comme coefficient d'amortissement optimal.
Abaque du temps de réponse
Abaque du dépassement
Régime apériodique (ξ >1)
La transmittance H(p) s'écrit donc sous la forme : H ( p ) =
K ω02
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
⎜ p + ⎟⎜ p +
⎟
T 1 ⎠⎝
T2⎠
⎝
1
1
s(t) = K e0 [1 – 2 (1 + a) e– t/T1 – 2 (1–a) e– t/T2]u(t)
Plusieurs cas sont à examiner suivant la valeur
des racines T1 et T2.
Par exemple si T2 ≈ 100 T1, on obtient : ω0
ξ = 1.01
ξ = 1.5
ξ=3
=
1
10T1
⇒ ξ ≈ 5,05
Par
contre
un
amortissement
T2
ξ = 1,01 correspond à un rapport des racines T
1
= 1,04
ξ=5
K=1
e0 = 4.5
DEFINITION
L'analyse harmonique d’un système consiste
à le soumettre à une entrée sinusoïdale et à
étudier sa sortie en régime permanent en
fonction de la pulsation du signal d’entrée.
Propriétés : Lorsque les deux constantes de temps T1 et T2 sont très différentes (rapport de l’ordre de 3)
alors le système peut être assimilé à un premier ordre de constante de temps T2 éventuellement retardé de
T1.
Influence des paramètres caractéristiques
REPONSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES DU PREMIER ET DU SECOND
ORDRE.
ω0 et ζ
Déphasage
Considérons un système linéaire soumis à
une entrée sinusoïdale :
e(t) = e0 sin(ωt)
On montre qu’après extinction du régime
transitoire, la réponse s(t) est sinusoïdale de
même pulsation, mais avec une amplitude sω
et une phase φω fonctions de la pulsation :
s(t) = sω sin(ωt + ϕω )
Pour chaque valeur de ω, on va définir les
deux quantités suivantes :
le gain G ω =
t
e(t)
s(t)
sω
e0
la phase ϕω
On caractérise ainsi l’évolution du gain et de la phase en fonction de la pulsation.
FONCTION DE TRANSFERT EN REGIME HARMONIQUE
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Asservissement
Soit H(p) la fonction de transfert d’un système linéaire.
On peut démontrer qu’en remplaçant la variable p de Laplace par jω, cette fonction de transfert s’écrit :
H(jω) est un nombre complexe :
de module
H(jω ) = Gω
d’argument
arg ( H(jω ) ) = ϕω
H(jω ) =
Cours
K
⎧
⎪ H ( jω ) =
2
ω
4ξ 2ω 2
⎪
(1 − 2 ) 2 +
⎪
ω0
ω02
⎨
⎪
2
⎪ ϕω = − arg((1 − ω ) + 2 jξ ω ) = − arctan ⎛⎜ 2ξω0ω ⎟⎞ et ϕω ∈ [ −π , 0]
2
2
ω02
ω0
⎝ (ω0 − ω ) ⎠
⎩⎪
sω jϕω
e
e0
REPRESENTATION DU COMPORTEMENT HARMONIQUE
Propriétés et tracé de la courbe asymptotique : Pour 0<ξ≤1
Ordres de grandeurs et modes de représentation
On utilise des échelles logarithmiques (logarithme décimal, noté : log) pour graduer les axes ou les courbes.
Les échelles de variation de ces grandeurs sont si étendues qu’il est préférable de faire figurer les
logarithmes de ces quantités. On définit alors le gain en décibels (dB) par
Si
G dB = 20 log H ( jω ) en dB
ξ < 2 / 2 , alors la dérivée
maximum en
Afin de représenter H(jω) , on utilise principalement les représentations de BODE, de NYQUIST et de
BLACK.
ωn
gain vaut : GdB
Diagramme de BODE
Si
d H ( jω )
s’annule en ωn = ω0
dω
1 − 2ξ 2 , il y a donc un
qui est appelé pulsation de résonnance et la valeur de la résonnance en
⎛
K
= 20 log ⎜
⎜ 2ξ 1 − ξ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ξ > 2 / 2 (fortement amorti), il n’y a pas de résonnnace.
Représentation d’un système du premier ordre
La transmittance s'écrit sous la forme : H(p) =
K
1+τ p
⇒
H(jω) =
Allure des diagrammes :
K
1 + jτω
K
⎧
⎪ H ( jω ) =
1 + τ 2ω 2
⎪
⎨
⎪ ϕ = arg( H ( jω )) = − arctan(τω ) et ϕ ∈ ⎡ − π , 0 ⎤ car τω > 0
ω
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎪⎩ ω
G (dB)
1er ordre
0.01 /τ
φ (rad)
20.log K
3dB
20dB/déc
10dB
1/τ
0.1 /τ
10 /τ
100 /τ
:
Pour ξ>1
ω
0.01 /τ
0.1 /τ
1/τ
Phase en degrés
100 /τ
10 /τ
gain en décibels
les deux pôles sont réels, la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
K
H(j ω) =
[1 + j T1 ω] [1 + j T2 ω]
La fonction de transfert est la multiplication de deux premiers ordres de constante de temps T1 et T2
avec
La valeur ω0 = 1/τ de la pulsation est appelée pulsation de cassure; la courbe de phase présente un point
d’inflexion pour cette valeur
Le diagramme réel est distinct du diagramme asymptotique. L'écart maximal entre les deux diagrammes est
de 3 dB à la pulsation de cassure. Ces écarts relativement faibles font que l'on peut se satisfaire pour la
plupart des applications du seul diagramme asymptotique.
⎛1 1⎞
⎜ < ⎟.
⎝ T2 T1 ⎠
Allure des diagrammes :
Représentation d’un système du second ordre
H ( p) =
1+
K
2ξ p
ω0
+
p2
ω02
⇒ H ( jω ) =
K
ω 2 2 jξω
(1 − 2 ) +
ω0
ω0
Représentatio
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Asservissement
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n de systèmes d’ordre n
Cours
TRANSFORMEE DE LAPLACE.
Afin de représenter un système d’ordre n, il est intéressant de le décomposer en fonction élémentaire du
premier, deuxième ordre et en intégrateur ou dérivateur.
k
H ( p) = α
p
Asservissement
∏ (1 + τ p)∏ (1 + 2ξ
i
i
j
p / ω0 j + p 2 / ω0 j 2 )
j
∏ (1 + τ p)∏ (1 + 2ξ p / ω
k
k
l
0l
+ p 2 / ω0l 2 )
l
Le module de la fonction de transfert en décibels est égal à la somme des modules de chaque fonction
élémentaire.
L’argument de la fonction de transfert est égal à la somme des arguments de chaque fonction élémentaire.
Afin de construire les diagrammes de Bode en gain et en phase, il s’agit de d’ordonner les différentes
pulsation de coupure, puis en avançant vers les ω croissants de tracer les différentes asymptotes en utilisant
les propriétés de superposition.
G (dB)
G (dB)
H(p)=K
H(p)=p
20.log(K)
Utilisation des transformées de Laplace :
La transformée de Laplace permet de :
Transformer une équation différentielle linéaire en une équation algébrique plus facilement
exploitable.
De revenir dans le domaine temporel par la transformée de Laplace inverse (cas simple)
De donner les caractéristiques principales du système en termes de performances sans
calculer la réponse temporelle (cas + complexes)
Transformée de Laplace
Equation
différentielle
avec second membre
ω
Manipulation algébrique
+∞
F(p) = L ( f (t )) = ∫ e− p.t . f(t) dt
La transformée de Laplace inverse sera notée : f(t)
H(p)=1/p
π
π
-20dB/déc
PROPRIÉTÉS
φ (rad)
Dérivation
Ce théorème très important pour le traitement, par la transformée de Laplace, des systèmes linéaires
π/2
π/2
ω
0
continus permet la linéarisation des équations différentielles. La transformée de Laplace de
ω
0
−π/2
−π/2
−π
−π
G (dB)
1/τ
0
avec
f&(t)
vaut :
f(0) = lim+ f(t)
t →0
Si toutes les conditions initiales sont nulles (on parle de fonction causale) : f(0)= f'(0) =... =
(n-1)
f (0)= 0, l'expression précédente se réduit à :
tel que ε< 2/2
2
H(p)=1+2.ε.p/ω 0 +p
20dB/déc
ω
( )
L f&(t) = p.F(p) − f(0)
G (dB)
H(p)=1+τ.p
0
p est un nombre complexe
= L -1( F ( p))
1
φ (rad)
Solution
complète
Définition
ω
0
Décomposition en
éléments simples
Equation
algébrique
20dB/déc
0
Transformée de Laplace inverse
ω0
0
/ω 20
40dB/déc
(
)
L f (n) (t) = p n . F(p)
intégration
L
ω
( ∫ f(τ ) . dτ ) = F(p)p
t
0
valable uniquement pour une intégration de 0 à t
-20dB/déc
π
φ (rad)
π
π/2
0
1
-40dB/déc
1+2.ε.p/ω 0 +p2/ω 20
φ (rad)
H(p)=
H(p)=1/(1+τ.p)
Théorème de la valeur initiale et finale
Lorsque vous désirez obtenir des informations sur la fonction originale f(t) (au voisinage de t = 0 et t = infini)
sans calculer la transformée de Laplace inverse de F(p),vous pouvez utiliser les théorèmes suivants :
lim f(t) = lim p . F(p)
t →0
π/2
1/τ
ω
0
ω0
−π/2
−π
−π
et
lim f(t) = lim p . F(p)
t →+∞
p →0
Théorèmes valables dans la mesure où la limite existe
ω
Retard
−π/2
p → +∞
∀ τ ∈ ℜ L ( (f(t − τ ) ) = e-p.τ . F(p)
TRANSFORMEE DE LAPLACE INVERSE
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Cette opération consiste à rechercher la fonction temporelle qui correspond à une expression F(p) donnée.
Pour cela, il faut décomposer la fonction F(p) en éléments simples (éléments pour lesquels on connaît les
transformées de Laplace inverses).
Asservissement
formes du cosinus et sinus amorti :
1
A ij
(A kl .p + B kl )
N(p)
= A 0 + ∑in=1 ∑mj=1
+ ∑ok =1 ∑lp=1
j
D(p)
(p + α i )
((p + β k ) 2 + ω 2k ) l
H(p)
S(p)
2
1
5/2
3
4
1
2
1
2
/
5
3
4
cos
3
4
1
2
1/2
1
3
4
1
2
1/2
1
1
Ainsi, le calcul algébrique est toujours effectué sur la fonction S(p) = H(p) .E(p)
E(p) est dépendant du type de réponse que l’on souhaite déterminée.
Pour une réponse impulsionnelle l’entrée E(p) est une impulsion (Dirac) donc E(p)=1
Pour une réponse indicielle, l’entrée E(p) est un échelon unitaire donc E(p)=1/p
1
1
1
En SI, le but est de déterminer les réponses temporelles s(t) de système à partir de la connaissance de sa
fonction de transfert H(p).
E(p)
2
1
Il faut donc identifier les pôles de F(p), factoriser la fonction, puis déterminer les différentes constantes
relatives à chaque élément simple :
F(p) =
Cours
√3
√3
2
.
√3/2
1
2
5
√3
. sin
3
4
√3
2
.
Calcul algébrique :
Exemple de décomposition rencontré en SI :
Racine simple :
Racine double :
Racines complexes :
1
1
Le calcul des coefficients α,β,γ se fait par identification
Par identification exemple:
2p +3
α
β p +γ
=
+
( p 2 + p + 1)( p + 1) p + 1 p 2 + p + 1
2p +3
α ( p 2 + p + 1) + ( β p + γ )( p + 1)
=
⇒ α = 1, β = −1 et γ = 2
2
( p + p + 1)( p + 1)
( p + 1) ( p 2 + p + 1)
Transformée inverse de Laplace
La fraction rationnelle associée à S(p) étant décomposée en éléments simples, il s’agit d’utiliser le tableau
des transformées usuelles.
Exemple :
complexe
cas
de
racine
2
1
1
1
Il
faut
faire
apparaitre
Lycée Henri Poincaré
les
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Lycée Henri Poincaré
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