TD TI et Identification

TD N 2
Schéma TI et Identification
Exercice N01
On s’intéresse à la mesure du niveau h dans une cuve ouverte. Le débit d’entrée Qe est contrôlé par
une vanne positionnée LV, commandée par un signal U . Le débit de sortie Qs est contrôlé grâce à
une vanne manuelle HV. La mesure Y (en %) du niveau est délivrée par un transmetteur LT. Le
transmetteur est réglé avec une étendue de mesure de 200 cm.
1. Faire un schéma TI de l’installation et préciser le régulateur de niveau, ainsi
que les signaux W , Y, U et Z.
2. Le procédé étant stabilisé en boucle ouverte à son point de fonctionnement (U = 30 %, Z=
30 %, h=114 cm), on applique un échelon de commande ∆U = 20 %. On enregistre
l’évolution du niveau dans la cuve suite à cet essai :
Essai en BO : Echelon de commande
3. Caractériser le procédé : Le procédé est il stable en BO ? Réaliser l’identification du
procédé à un modèle du premier ordre. En déduire la fonction de transfert réglante Gc(s) du
procédé en BO.
Le procédé étant stabilisé en boucle ouverte à son point de fonctionnement (U = 30 %, Z= 30 %,
h=114 cm), on effectue un échelon de perturbation ∆Z = 20 %. On enregistre l’évolution du niveau
dans la cuve suite à cet essai:
Essai en BO : Echelon de perturbation
4. Réaliser l’identification du procédé à un modèle du premier ordre. En déduire la fonction de
transfert perturbatrice Gz (s) du procédé en BO.
TD N 2
Schéma TI et Identification
Solution
1. Schéma TI de l’installation
U
Qe
W
Y
h
QS
2. Le système du premier ordre, naturellement stable en BO (entrée bornée sortie bornée).
3. Identification par un système du premier ordre pour un échelon de commande de 20%.
GC s  
K
K
1 s
Y ( y   y 0 )% ???%



U (u   u 0 )% 20%
= y  y0 =51 et Y %  ???
On a l’étendue de mesure de la hauteur h=200 cm.
Y
200 cm 
  100 %
51 cm 
 Y %
100  51
 y% 
 25 . 5 %
200
K
y  y 0 25.5%
Y
 

 1.275
U u   u 0
20%
La constante du temps d’un système du premier ordre correspond le temps pour atteindre 63% de
la valeur finale de y.
On a Y =51 cm
51 cm 
  100 %
ycm 
  63 %
 ycm

51  63
 32 . 13 cm
100
La valeur réelle de la hauteur égale 114+32.13=146.13 cm
A partir de la courbe, le temps correspond cette valeur est  7.5 sec
Donc
GC s  
1.275
1  17 s
4. Identification par un système du premier ordre pour un échelon de perturbation de 20%.
TD N 2
Schéma TI et Identification
GZ s  
K
K
1 s
Y ( y   y 0 )% ???%



Z ( Z   Z 0 )% 20%
= y  y0 =65-114=-49 et Y %  ???
On a l’étendue de mesure de la hauteur h=200 cm.
Y
200 cm 
  100 %
49 cm 
 Y %
 y% 
K
100  49
 24 . 5 %
200
y  y 0 24.5%
Y
 

 1.225
U z   z 0
20%
La constante du temps d’un système du premier ordre correspond le temps pour atteindre 63% de
la valeur finale de y.
On a Y =49 cm
49 cm 
  100 %
ycm 
  63 %
 ycm

49  63
 30 . 87 cm
100
La valeur réelle de la hauteur égale 114-30.87=83.13 cm
A partir de la courbe, le temps correspond cette valeur est  17 sec
Donc
GZ s  
1.225
1  7 .5s
Remarque on a constaté que : GZ (s) est en sens inverse c.-à-d. l’augmentation de la perturbation
provoque la diminution de la mesure
Exercice N 02
Step Response
Réponse Indicielle
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
Amplitude
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
Time (sec)
Soit, ci dessous, la réponse x(t) d'un système à un échelon d'entrée y(t) de 1%.
1. Déterminer graphiquement (le plus précisément possible) le premier dépassement D1 et la
pseudo période TP .
TD N 2
Schéma TI et Identification
2. En déduire le gain statique K, le coefficient d'amortissement  et la pulsation propre (naturelle)
wn du système. On utilisera les formules qui figurent dans le cours.
3. En déduire la fonction du transfert G (s) du système.
Solution :
Step Response
Réponse Indicielle
0.8
0.75
Tp
0.7
D1
0.65
0.6
0.55
Amplitude
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
Time (sec)
D1 
 
y t D1  y 
y   y0

0.76  0.5
0.5  0
On a ‫ܦ(ݐ‬ଵ) = 1.6 ‫ܿ݁ݏ‬, ݁‫ܦ(ݐݐ‬ଶ) = 4.8 sec

K

ܶ௣ = ‫ܦ(ݐ‬ଶ) − ‫ܦ(ݐ‬ଶ) = 4.8 − 1.6 = 3.2 ‫ܿ݁ݏ‬
Calcul du Gain statique K
Y y   y 0 0 .5  0


 0 .5
X x  x0
1 0
Calcul du coefficient d’amortissement ࣈ
‫ܦ‬ଵ% =
ିగ.క
మ
ඥଵିక
݁
‫ܦ‬ଵ% =
ିగ.క
మ
ඥଵିక
݁
⇒ ln (‫ܦ‬ଵ%) = ln
ିగ.క
మ
ඥଵିక
(݁
ln(‫ܦ‬ଵ%) =
‫ܦ‬ଵ% =
−ߨ. ߦ
ඥ1 − ߦଶ
100 × 0.24
= 48%
0.5
⇒ ln(‫ܦ‬ଵ%) =
−ߨ. ߦ
ඥ1 − ߦଶ
⇒ ln(‫ܦ‬ଵ%) ඥ1 − ߦଶ = −ߨ. ߦ֜
(ln(‫ܦ‬ଵ%) ඥ1 − ߦଶ)ଶ = (−ߨ. ߦ)ଶ = ߨଶ. ߦଶ ⇒
ln(‫ܦ‬ଵ%)ଶ (1 − ߦଶ) = ߨଶ. ߦଶ
48
‫ܦ‬ଵ% = 48 ⇒ ln(‫ܦ‬ଵ%) = ln ൬ ൰ = −0.73
100
(−0.73)ଶ (1 − ߦଶ) = ߨଶ. ߦଶ ⇒ 0.53(1 − ߦଶ) = ߨଶ. ߦଶ
12.5
13
13.5
14
14.5
15
TD N 2
Schéma TI et Identification
0.476 = 0.53ߦଶ + ߨଶ. ߦଶ = (3.14)ଶߦଶ + 0.53ߦଶ = 10.85ߦଶ ⇒
ߦ= ඨ
 Calcul de wn
0.53
≈ 0.22
10.85
wn 
wn 
2
Tp 1   2
G (s) 

3.14  2
3.2 1  (0.22) 2

2
Tp 1   2
6.28
 2.06 =
3.2  0.95
kwn2
0.5  4
2
 2
 2
2
2
s  2wn s  wn s  2  0.22  2s  4 s  0.88s  4
Exercice n 03
A partir de la réponse indicielle (voir ci-dessous) d'un procédé industriel, dont
le signal de commande (ou signal réglant) subit une variation en échelon ∆X
unitaire, on se propose de modéliser la fonction de transfert G(s) de ce procédé.
1. Calculer le gain statique K
2. Déterminer les paramètres du modèle de Broïda. En déduire l'expression de G(s) ainsi
modélisée.
3. Déterminer les paramètres du modèle de Strejc. En déduire la nouvelle expression de G(s)
modélisée.
Solution :
Model de broïda
Calcul du gain Statique :
A partir de la figure on peut facilement extraire ΔY = 12-0=12
k
Y 12

 12
X
1
T2 correspond 40% de la valeur finale de Y ou bien ΔY.
A partir de la figure on peut facilement extraire ΔY = 12-0=12
12
Y





y 28
100
28
%
%
12

%

100
28

3 .6
De la même manière on trouve :
y 40
%

12

100
40

4 .8
TD N 2
Schéma TI et Identification
De la réponse indicielle :
t 40%  26 sec
t 28%  22.5 sec
T  2.8  t28%  1.8 * t 40%   2.8  22.5  1.8  26  16.2
  5,5 t 40%  t28%   5.5(26  22.5)  19.25
G s  
k e T s 12 e 16.2 s

1   s 1  19.25 s
Model de Strejc :
Step Response
Identification d'un système de niem ordre stable
14
12
8
Y
Amplitude
10
6
4
2
0
0
3
6
9
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99
Time (sec)
Ta
T Tu
T
Ta
Tu
Tu/Ta
3
47.5-11= 36.5
11-3=8
8/36.5= 0.2191
n
Tu/Ta
Ta/
1
0
1
2
0,104
2,718
3
0,218
3,695
4
0,319
4,463
TD N 2
Schéma TI et Identification
5
0,410

5,119
n

3
Tableau 02 pour estimer l’ordre (n) et la constante de temps.
Du tableau 02 on a
Ta
Ta
 3.695   
 12.85

3.695
Step Response
TD IDENTIFICATION L-ELM
12
k e T s
G s  
1   s n
10
System: G
Time (sec): 41.9
Amplitude: 8.14
Y
Amplitude
8
Sytème réel
Broida
Strejc
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
Time (sec)
Step Response
Identification d'un système de niem ordre stable
14
12
8
Y
Amplitude
10
6
4
2
0
0
3
6
9
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99
Time (sec)
Y
Amplitude
Step Response
Identification d'un système de niem ordre stable
12.8
12.4
12
11.6
11.2
10.8
10.4
10
9.6
9.2
8.8
8.4
8
7.6
7.2
6.8
6.4
6
5.6
5.2
4.8
4.4
4
3.6
3.2
2.8
2.4
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98100
Time (sec)