CH2 essentiel correction

Mathématiques
Lycée de Villaroy
L’essentiel du
chapitre 2
Correction
Savoir calculer les premiers termes d’une suite
Exercice 1.
Les trois premières suites sont définies sur N. La quatrième est définie pour n ≥ 1.
1. La suite (un ) est définie de façon explicite.
On a : u0 = 3 × 02 + 1 = 1. Donc u0 = 1.
u1 = 3 × 12 + 1 = 4. Donc u1 = 4.
u2 = 3 × 22 + 1 = 1. Donc u2 = 13.
2. La suite (vn ) est définie de façon explicite.
4
= 4. Donc v0 = 4.
On a : v0 =
0+1
4
4
= = 2. Donc v1 = 2.
v1 =
1+1
2
4
4
4
v2 =
= . Donc v2 = .
2+1
3
3
3. La suite (wn ) est définie par une relation de
récurrence.
On a : w0 = 6 (énoncé)
w1 = −2 × w0 + 5 = −2 × 6 + 5 = −7.
Donc w1 = −7.
w1 = −2 × w1 + 5 = −2 × (−7) + 5 = 19.
Donc w2 = 19.
4. La suite (an ) est définie par une relation de
récurrence.
On a : a1 = 2 (énoncé)
a2 = (−a1 − 3)2 = (−2 − 3)2 = (−5)2 = 25.
Donc a2 = 25.
a3 = (−a2 − 3)2 = (−25 − 3)2 = (−28)2 =
784.
Donc a3 = 784.
Savoir montrer qu’une suite est géométrique OU pas
Exercice 2.
1. Pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 3n+1 = 3n × 3 = 3 × 3n = 3un .
On a obtenu la relation : un+1 = 3un .
La suite (un ) est une suite géométrique de
raison 3.
2. Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 = 5 × (−2)n+1 = 5 × (−2)n × (−2) =
−2 × 5 × (−2)n = −2 × vn .
On a obtenu la relation : vn+1 = −2vn .
La suite (vn ) est une suite géométrique de
raison −2.
Exercice 3.
1. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient u0 = −2, u1 = 3 et u2 = 8.
u1
3
3
u0 6= 0 et
=
=− .
u0
−2
2
8
u2
= .
u1 6= 0 et
u1
3
u1
u2
Les rapports
et
ne sont pas égaux.
u0
u1
Donc la suite (un ) n’est pas géométrique.
2. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient v0 = 4, v1 = 5 et v2 = 8.
5
v1
= .
v0 6= 0 et
v0
4
8
v2
= .
v1
5
v1
v2
Les rapports
et
ne sont pas égaux.
v0
v1
Donc la suite (vn ) n’est pas géométrique.
v1 6= 0 et
3. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient w0 = 1, w1 = 10 et w2 = 37.
w1
10
w0 6= 0 et
=
= 10.
w0
1
37
w2
=
= 3, 7.
w1 6= 0 et
w1
10
w1
w2
Les rapports
et
ne sont pas égaux.
w0
w1
Donc la suite (wn ) n’est pas géométrique.
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Savoir utiliser une suite géométrique
Exercice 4.
1. La suite (un ) est géométrique de raison q =
0, 5. On sait donc que pour tout entier naturel
n, un+1 = 0, 5un .
u2 = 0, 5 × u1 = 0, 5 × 24 = 12. Donc u2 = 12.
u3 = 0, 5 × u2 = 0, 5 × 12 = 6. Donc u3 = 6.
24
u1
=
= 48.
u1 = 0, 5 × u0 donc u0 =
0, 5
0, 5
2. La suite (un ) est une suite géométrique de
premier terme u0 = 48 et de raison q = 0, 5.
Pour tout entier naturel, on a :
un = 48 × (0, 5)n .
3. u12 = 48 × (0, 5)12 ≈ 0, 0117.
Exercice 5.
1. u0 est le nombre d’habitants pour l’année 2010 + 0, soit 2010. D’après l’énoncé, on a u0 = 500.
2. Chaque année, la population diminue de 3%. Si un est le nombre d’habitants, le nombre d’habitants
un an après est donné par un+1 .
3
) = un × 0, 97 = 0, 97 × un . Donc un+1 = 0, 97un .
On a : un+1 = un × (1 −
100
La suite (un ) est géométrique et sa raison est 0, 97.
3. La suite (un ) est géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison 0, 97.
Pour tout entier naturel n, on a : un = 500 × (0, 97)n .
Savoir calculer la somme des termes d’une suite géométrique
Exercice 6.
1. La suite (un ) est géométrique de raison q = 2. Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une
suite géométrique, on utilise la formule du cours :
1 − q Nombre de termes dans la somme
.
S1 = 1er terme de la somme ×
1−q
1 − q 15
1 − 215
Ici, cela donne : S1 = u0 + u1 + · · · + u14 = u0 ×
=1×
= 32767.
1−q
1−2
2. La suite (vn ) est de la forme v0 × q n donc cette suite est géométrique de raison q = 0, 5 et de
premier terme v0 = 32.
1 − q9
On obtient ici : S2 = v2 + v3 + · · · + v10 = v2 ×
.
1−q
On a : v2 = 32 × (0, 5)2 = 8.
1 − q9
1 − (0, 5)9
Donc : S2 = v2 ×
=8×
≈ 15, 969.
1−q
1 − 0, 5
Exercice 7.
1. S1 = 1 + 3 + 9 + 81 + · · · + 177147.
On remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour
passer de 1 à 3, on multiplie par 3, pour passer de 3 à 9, on multiplie par 3, etc.
On peut réécrire S1 de la façon suivante : S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + up , avec un = 1 × 3n = 3n .
Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que up = 177147. À l’aide de la calculatrice, on obtient
311 = 177147. Donc S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + u11 .
La suite (un ) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
1 − 312
1 − q 12
=1×
= 265720.
S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + u11 = u0 ×
1−q
1−3
2. Comme pour la question précédente, on remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une
suite géométrique. En effet, pour passer de 0, 4 à −2, on multiplie par −5, pour passer de −2 à 10,
on multiplie par −5, etc.
On peut réécrire S2 de la façon suivante : S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + vp , avec vn = 0, 4 × (−5)n .
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Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que vp = 3906250.
Or, vp = 3906250 ⇐⇒ 0, 4 × (−5)p = 3906250 ⇐⇒ (−5)p = 9765625. À l’aide de la calculatrice,
on obtient (−5)10 = 9765625. Donc S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + v10 .
La suite (vn ) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
1 − q 11
1 − (−5)11
S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + v10 = v0 ×
= (0, 4) ×
= 3255208, 4.
1−q
1 − (−5)
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