AP fonction auxiliaire 13-14

Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire
12 x+5
On considère la fonction f définie sur ℝ* par f ( x)= x+
2
x
TES
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire
12 x+5
On considère la fonction f définie sur ℝ* par f ( x)= x+
2
x
TES
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
3
3
2°) On pose g ( x)= x 12 x 10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
2°) On pose g ( x)= x 12 x 10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g ( x)=0 admet une unique solution x1 sur ] ∞ ; 2 ] , et
donner la valeur arrondie de x1 au centième.
b) Démontrer que l'équation g ( x)=0 admet une unique solution x1 sur ] ∞ ; 2 ] , et
donner la valeur arrondie de x1 au centième.
c) On admet que l'équation g( x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x 2 et x3 , vérifiant x 2 ≈ -0,89 et x3 ≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
c) On admet que l'équation g( x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x 2 et x3 , vérifiant x 2 ≈ -0,89 et x3 ≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ* .
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0 ;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ* .
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0 ;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire
12 x+5
On considère la fonction f définie sur ℝ* par f ( x)= x+
2
x
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire
12 x+5
On considère la fonction f définie sur ℝ* par f ( x)= x+
2
x
TES
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
3
2°) On pose g ( x)= x 12 x 10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
TES
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
3
2°) On pose g ( x)= x 12 x 10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g ( x)=0 admet une unique solution x1 sur ] ∞ ; 2 ] , et
donner la valeur arrondie de x1 au centième.
b) Démontrer que l'équation g ( x)=0 admet une unique solution x1 sur ] ∞ ; 2 ] , et
donner la valeur arrondie de x1 au centième.
c) On admet que l'équation g ( x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x 2 et x3 , vérifiant x 2 ≈ -0,89 et x3 ≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
c) On admet que l'équation g ( x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x 2 et x3 , vérifiant x 2 ≈ -0,89 et x3 ≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ* .
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0 ;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ* .
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0 ;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de x
pour laquelle ce minimum est atteint.
c) A l'aide des variations de g et des solutions de l'équation g ( x)=0 , on déduit :
Correction :
x
u' v v'u
u
donc f '= w '+
2
v
v
avec
donc
w ( x)= x
w ' ( x)=1
u ( x)=12 x+5 donc
u ' ( x)=12
2
donc
v ( x)= x
v ' ( x)= 2 x
2
12 x 2 x×(12 x+5)
f ' ( x)=1+
4
x
4
2
2
x 12 x 24 x 10 x
f ' ( x)= 4 +
4
x
x
4
2
x 12 x 10 x
f ' ( x)=
x4
3
x( x 12 x 10)
f ' ( x)=
3
x× x
3
x 12 x 10
f ' ( x)=
x3
1°) f ( x)=w+
2
g '(x)
–∞
x
2
3
+
+
x-2
-
-
x+2
-
0
+
g '(x)
+
0
–
0
–
+∞
0
+
x2
0
–
0
x3
0
+
–
f (x 2 )
f ( x1 ) ≈-6,44
+∞
+
+
6
g(x)
-26
b)  sur [-4;-2] :
+
f(x)
+
0
+
x3
0
+∞
+
f (x 1)
+
0
0
x1
–∞
f '(x)
2
–2
–
x2
3°)
3
a) Le dénominateur de f ' est la fonction cube x = x×x× x
Le numérateur de f ' est la fonction g dont on a déterminé le signe en 2°) .
Donc :
2°) a) g ' ( x)=3 x 12=3( x 4)=3( x 2)( x+2)
x-2 est du premier degré et s'annule en 2, x+2 est du premier degré et s'annule en -2.
x
x1
–∞
* g est continue
* g est strictement croissante
* g( 4)= 26 et g( 2)=6 , 0 est compris entre -26 et 6
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g ( x)=0 admet une unique
solution sur [ 4; 2 ]
 sur ] ∞ ; 4 ] , g est strictement négative
 finalement l'équation g( x)=0 a une unique solution sur ] ∞ ; 2]
On trouve x1 ≈ -2,93
b) Sur
f (x 2 ) ≈-8,06
f (x 3)
f ' ( x 3) ≈7,30
]0 ;+∞[ , le minimum atteint est 7,30. Ce minimum est atteint en x 3 ≈3,82