PHYSIQUE AHMED FIZEZI ARAB

9
Les incertitudes
/B-I
CALCUL DES INCERTITUDES
:( grandeur physique)
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*
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$
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"
#
$
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:(notion de mesure)
:
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5 3
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1
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$
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3
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68 0, =
6) x
(erreur absolue)
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x :
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x = x - x0
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A.FIZAZI
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x
8
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8
(6.1)
x
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7
"
9
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z
Univ-BECHAR
)
6)
(incertitude absolue)
x
@
A
$
x
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(5.1)
2 0 7
.X
$
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y
x
B
""
"
>
!
$
X = f ( x, y , z )
"
LMD1/SM_ST
10
Les incertitudes
.
X
B .
dX
dX
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8
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D"
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X
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x+
f
y
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X
A3
y+
4
X
f
z
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X
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@8
$ .
7
0
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X
C$ <
X
X dX
=
X
X
. "
C )
"
@8
(8.1)
/3
(théorèmes des incertitudes)
(incertitude absolue d’une somme algébrique)
& " !
C )
:
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!" !
7
p
"8
y = nu + pv
n
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w
: % y
*& " +"'
v
#
E :$
.*
q
qw + k
%
+.
/
C .2 F 2
u
w
v
u :$
. y= n u+ p v+ q w
y= n u+ p v+ q w
(9.1)
: ./ !"# 0 * 1 2
. :
y0 = ( y ± y ) u
y :
u :
A.FIZAZI
&
,
k
,-
y = nu + pv - qw + k
>
(7.1)
z
(incertitude relative)
8
7
f
f
f
dx + dy + dz
x
y
z
dX =
X
C$
&
5*
Univ-BECHAR
(10.1)
y0 : & &
&
:
y :+"'
LMD1/SM_ST
11
Les incertitudes
!"#
%
m2
m1
& ' M " . 1 & : 6.1
"# :;. m2 = 57.327 g m1 = 12.762 g
. M M
m = ±2mg
:
6 - 7# 8
. +"'
M = m2
M = 44.565 g
m1
M = m1 + m2 = 4mg = 0.004 g
*
5
< 2 = **#
.
">
:+"'
./ !"# 0 *
$- > %
.
,- :.%
& $- "6 >
&
M = (44.565 ± 0.004) g
: (- M
M
0.004
=
M
44.565
M
= 9.10
M
m1 + m2
M
=
M
m2 m1
! +
.
5
:
:"# $%# &' (
@* $
.A* *
* .
:
:
*
n p
k
. w
5
M
= 9.10
M
(incertitude relative d’un produit ou d’un quotient)
v
6 * *# q p n
y = ku v w
u :$
!"# $% &"' (
w v
: *
$- ' !"#
log y = log ku n v p w
log y = log k + n log u + p log v
:
)
: %
@*
&
.
u
B "
* +'
B " C
q log w
: / < $
Univ-BECHAR
q
? %
!
q
:<
A.FIZAZI
$
B "
8>
D
.
LMD1/SM_ST
12
Les incertitudes
dy dk
du
dv
=
+n
+p
y
k
u
v
<& : I
(+ 5 /E ! ; – 5 /E
F *
q
dw
w
) $
5 # !; 6
:* *#J &"'
y
u
v
w
=n
+ p
+q
y
u
v
w
:
A:%
(11.1)
5
5*# & C
.
L
di
. K
+ 5 /; ! ; – 5 /E F K
!"#
$
*& : I K
i
. &"'
( &
:$
- ,
:
y=k
log y = log k +
dy dk
=
+
y
k
:+ 5 /E – 5 /E
0 (.
(u + v )
'
log u + log v
log ( u + v )
log t
du
dv
du
dv
dt
+
u
v
u+v
u+v
t
' 1> ( $ * *
*
di 1>
y
=
y
u
(#
u v
:
dy dk
=
+ du
y
k
u
u+v
u+v
+ dv
u+
v+
.
t
1> M
.M
dt
t
u+v
u+v
v
2 '" +"'
v
!
t
(12.1)
t
:7.1
< $
2
:
.
. @*
$
Q
R
I
t
=
+2
+
Q
R
I
t
R
I
t
+2
+
:+"'
R
I
t
. Q = RI t
N
:
&
Q = RI 2t
Q =Q
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
5 #O
:%
LMD1/SM_ST
13
Les incertitudes
**
EXERCICES
Exercice 1.7
Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on
mesure
les
diamètres
( D1 ) et
intérieur
extérieur ( D2 ) et on trouve :
D1 = (19,5 ± 0,1) mm , D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm
7.1
( D2 )
D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm
Soit à déterminer la masse volumique
( )
de la
substance d’un cube homogène à partir de la mesure
de sa masse
(m)
(a)
et de son arête
( )
"! #
(m)
. Ecrire le
8.1
!
!
$
La densité (
) d’un corps solide par application
Où
m2
m3
=
du théorème d’Archimède est :
(
m1
m1
masses effectuées, successivement, avec la même
balance. Trouver l’incertitude relative sur .
"
Exercice 1.10
Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la
(C )
d’un condensateur équivalent à deux
condensateurs montés:
a/ en parallèle b/ en série
précisions sur
( C1 ) et ( C2 ) .
Exercice 1.11
Soit l’expression :
µ=
2
m
Calculer l’incertitude absolue sur
incertitudes absolues
m
,
2
m)
:7
,
m1
en fonction des
1
, m2 , m1 .
/
5
.$' 01
. 3
7
"!
+
8* ;
µ=
1
µ
m2
m3
y = y0 .e
wt
Calculer l’incertitude absolue sur
incertitudes absolues
A.FIZAZI
9.1
'!
m1
: &
m1
2' m3 , m2 , m1 .
4
2
* 2!
. 6 *
m2 (
*
" 8 " &
4'! 1 ! 4'! ( C )
2
/" : 4 /
. ( C2 ) ( C1 )
2! 7
m
2
m
)
11.1
m1 : # *
!
1
8* µ 7
)
"
. m , 2 , 1 , m2 , m1
Exercice 1.12
Soit la relation :
%
10.1
, et cela en fonction des
m2 (
( )
)* * "+ ,
=
m1 , m2 , m3 sont les résultats de trois mesures de
capacité
" !&. ( a )
.
résultat de la mesure.
Exercice 1.9
D1 = (19,5 ± 0,1) mm
.
Donner le résultat de la mesure et sa précision.
Exercice 1.8
( D1 )
:
8
" &
/* 8
12.1
.
y en fonctions des
, t , y0 .
y = y0 .e
8*
;
y 7
.
Univ-BECHAR
)
y0 , t , ,
wt
: $ 789:
" 8 " &
/* 8
LMD1/SM_ST
14
Calcul des incertitudes
Corrigés des exercices 1.7 à 1.12:
12.1
7.1
7.1
e=
D2
D1
D2 + D1
;
2
e=
; e=3,6mm :
2
e = ±0,1mm :
e = ( 3, 6 ± 0,1) mm :
e 0,1
=
e
3, 6
e
= 0, 03 = 3% :
e
: 8.1
=
m m
=
V a3
=3,041g/cm3 :
:
=
m
a
+3
m
a
m
a
+3
m
a
=
0, 02 g / cm3
= 0, 0063 = 6,3 0 / 00 :
!
= ( 3, 04 ± 0.02 ) g / cm3
6)
1$ - 3 4 %% "0
' 1
% $ (
%$ ( -8'
$
< -) 1$ - 3 4
* 3
)
.
9
:" #
#
# :
:$
,;( )
<
#
#
.
> -='
#
: 9.1
.
log = log ( m2
m1 ) log ( m3
d
=
d
A.FIZAZI
)') *
d ( m2 m1 )
m2 m1
=
dm2
m2 m1
& ' ( =
m1 ) : % $
d ( m3 m1 )
:
m3 m1
dm1
m2 m1
Univ-BECHAR
m2
m3
,
m1
: $
m1
,
%
*/ 0
dm3
dm1
+
m3 m1 m3 m1
%
.
: 1
-)
2
LMD1/SM_ST
15
Calcul des incertitudes
d
'$
1
: % *<
1
= dm1
m3
* $ ( )
( 8 "0
= m
1
m1
m2
9
A
i @ di * %
4 ) m1 = m2 = m3 = m
:
1.
$
1
m3
m1
:
1 * $ 9? % %
dm3
dm2
+
m2 m1 m3 m1
1
m1
m2
m1
+
>
-)
. 2
( (+)
m
m
+
m2 m1 m3 m1
=
2 m
:
m3 m1
*<
B4
: 10.1
C = C1 + C2 : $
:
, */ 0
D 0
.
-) % $
<
C
C2
C1
C2
C
=
+
C C1 + C2 C1 + C2
:
C1
C2
:
,
$
/
E
0)
$
,
log C = log ( C1 + C2 )
C1
:
0)
%
dC1
dC2
dC
=
+
C C1 + C2 C1 + C2
: 6
F G
C
C1
C2
C2
C
= 1
+
C
C1 C1 + C2
C2 C1 + C2
:
0)
*
C
/
$
<
E
0)
CC
1 1
1
=
+
C= 1 2
C C1 C2
C1 + C2
*/ 0
.
-) % $
,
%
C1C2
log C = log
log C = log C1 + log C2 log ( C1 + C2 )
C1 + C2
dC1
dC2
dC dC1 dC2
=
+
C
C1
C2 C1 + C2 C1 + C2
:
1 * $ 9? % % >
dC
1
= dC1
C
C1
A.FIZAZI
1
1
+ dC2
C1 + C2
C2
Univ-BECHAR
1
C1 + C2
LMD1/SM_ST
16
Calcul des incertitudes
:* 1
#
$
C1
dC
C2
dC dC1
=
1
+ 2 1
C
C1
C1 + C2
C2
C1 + C2
: 6 ?.
C1
C1
C2
C2
C
1
1
=
+
C
C1
C1 + C2
C2
C1 + C2
m2 (
µ + m1 =
2
m
m
:
*<
log ( µ + m1 ) = log m2 + log (
d ( µ + m1 ) dm2
=
+
µ + m1
m2
d
2
µ + m1
µ + m1
+ dm2
+d
µ + m1
m2
2
2
d
2
)
:* 1
)
d
m
m
$
1
log (
: 6 #
m
2
m
m
1
,
d
1
m
)
µ + m1
m2
+
2
*/ 0
1
1
m
d
2
d
2
2
m
µ + m1
d
m
m
2
d
m
m
1
m
µ + m1
d
m
1
1
m
µ + m1
2
+
m
µ + m1
m
2
m
+
m
:H
µ + m1
m
2
d
+
m
µ + m1
1
F
B4
m
+
1
1
m
µ + m1
+d
1
:H
µ = + m1 + m2
% * B%F
$
+
m
,
:
dm1
dm2
dµ
=
+
+
µ + m1
µ + m1 m2
d µ = dm1
%$
: 11.1
1
µ + m1
1
m
: 12.1
: /0
( %$
t
log y = log y0 + log e
log y = log y0
d ( log y ) = d ( log y0 ) d ( t )
X= t
dX d
dt
d
=
+
dX = X
X
t
dy dy0
d
dt
=
t
+
y
y0
t
:
y
y
= 0+ t
y
y0
A.FIZAZI
+
t
t
y= y
Univ-BECHAR
+
dt
t
,
% * B%. %$
t
: X = t >/
:G
I
y0
+t
y0
-)
.J
+
t
LMD1/SM_ST
17
Rappel sur le calcul vectoriel
9 9 9 9 : 9 9 9 9 9 ,9 / II
RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL
(grandeur scalaire)
/1
:
.
( "#
* +%
.....
$& '
(,& )
$%
.
1.2 /. &
.(
(grandeur vectorielle)
$
)
....... . % /
(1.2 /
V
O
!
4* 5
*
*
.
4
:/
4*
$
5
!
.
&
/2
/ 0 :
:
/3
:
V
)
5
5
:
!
-
2 *)
)' !
:
)' !
(vecteur unitaire)
:
V = V =V
:
/4
u
V
O
2.2 /
6
,
- 7
.
V = u.V = V .u
(1.2)
:
/5
(somme vectorielle)
% 7
:$
- 7
V2
:
V
V = V1 + V2
V = V2 + V1
V1
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
18
Rappel sur le calcul vectoriel
:
)
.
;
> %
=
5
&
(
=
sin
sin
(
2 ; @
=
CD CD
=
AC
V
CD CD
=
BC V2
!
?
V
)
(/
(2.2)
4*) %
ACD
V
V
= 2
sin
sin
/<
(loi des cosinus)
V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos V1 ,V2
4.2/
)
: @"
$*
(3.2)
= V 2 .sin
V .sin
C
V2
V
E
&
A
4.2 -./01
: A
sin
sin
loi des )
BE
BC
BE
=
AB
=
D
B
V1
V2
V
= 1
sin
sin
:
@"
/"
V2 .sin
= V1 .sin
BEC
)
;
B
(4.2)
(4.2)
(3.2)
(sinus
V
V
V
= 1 = 2
sin
sin
sin
tg =
A.FIZAZI
V2
V1
2
V = V1 + V2
2
Univ-BECHAR
A
(5.2)
=
2
+
,* : ! "
LMD1/SM_ST
19
Rappel sur le calcul vectoriel
(5.2 /
V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5
2 >) :
V
V3
V2
V4
V5
V1
O
5.2 /
V1
6 ?
V2
6.2/
D
:
$2 ;
D = V2 + ( V1 )
D'=
D
:/
)
5
/"
&:
D = V2
V1 :
/
,&
)
+
(module du vecteur) : D
D = V12 + V2 2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2VV
cos
1 2
&
' (
@
(,&
- C
)
(6.2)
LMD1/SM_ST
20
Rappel sur le calcul vectoriel
$* )
5
/
(composantes d’un vecteur)
(. . % > +
0
: R (O; i , j )
Y
:
V
Vy
:
" * *)
:-
+
@
V y = V sin
i
:7.2
OY
,
V x = V cos
u
O
5
/
V = Vx + Vy
j
* + /6
X
Vx
/ (
OX
j
Vx = i .Vx , Vy = j .V y
i
: *2 ;
;
V = Vx + V y ; V = i .Vx + j .V y ;
V = i .V cos
+ j .V sin
V = V (i .cos
(7.2)
+ j .sin )
: A V = u.V : *
D-
u = i .cos + j .sin
2
V = Vx + V y
(8.2)
V = x2 + y2
. R (O ; i , j )
V = V1 + V2
V1
V
:E D* !
x1
x
; V2 2
y1
y2
; V = i (x 1 + x 2 ) + j ( y1 + y 2 )
. R (O ; i , j )
A.FIZAZI
V1
: %
2
:
x1
x
; V2 2
y1
y2
Univ-BECHAR
:
5
*
/
<
* :1.2
V = ( x1 + x 2 ) 2 + ( y1 + y 2 ) 2
6 ?
:/
* :2.2
LMD1/SM_ST
21
Rappel sur le calcul vectoriel
V = V1 V2
; V = i (x 1
x 2 ) + j ( y1
:(
V = ( x1
y2 )
x 2 ) 2 + ( y1
) R (O; i , j , k )
V = Vx + V y + Vz
:. /(
y2 ) 2
:/
,
: *2 ;
V = i .V x + j .V y + k .V z
Z
Vz
r
k
V
Vy
j
i
Y
Vx
X
:8.2
: *
cos =
sin
=
cos
=
sin
=
Vz
r
r
Vx
Vy
&6
Vz = r . cos
= r. sin ;
Vx = . cos
Vx = r . sin . cos
V y = . sin
V y = r sin . sin
: %
V x = V sin . cos
V y = V . sin . sin
(9.2)
V z = V . cos
V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2
V =
A.FIZAZI
x2 + y2 + z 2
Univ-BECHAR
:
: % 5
+ "
0
*
*
LMD1/SM_ST
22
Rappel sur le calcul vectoriel
7
9.2
V
;
5
% <
" "
! )'
<
/"
)
9
!
)
,' : 0 1
OY
OX
:
Vx = V .cos
, Vy = V .cos
(10.2)
, Vz = V .cos
:
+ cos 2
cos 2
)
"
+ cos 2
: & %
<?
* :3.2
R (O ; i , j , k ) /
:
@
=u
*
.D 5
D = i ( x2
x1 ) + j ( y 2
)
A
&
y1 ) + k ( z 2
D = ( x2
z1 )
D = i (0) + j (10) + k (4)
:
D = V2 V1
x1 ) 2 + ( y 2
y1 ) 2 + ( z 2
z1 ) 2
D = 116 = 10.77u
:
V1 = (4i
(11.2)
=1
B(10,6,8) u ; A(10,-4,4)u
.
F
D
3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i
-
6 j )u;V4 = (7i
* :4.2
<
8 j )u;V5 = (9i + j )u
:
V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j
Vy
!
&
;
tg =
Vx
tg = 14
19
V = 19i
6
V
5
/
* )
: OX
36,38°
0,737
V = 361 + 196 = 23.60u
14 j
7
(produit scalaire)
V1 .V2
V2
=
V1
:2
0
V
% <
.
/7
:@
V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 )
(12.2)
: *
V1.V2 =
1
V 1 + V2
2
2
V1
2
V2
2
(13.2)
: ! " *3
V1 .V2 = 0
A.FIZAZI
A
: A
Univ-BECHAR
*
V2 = 0
V2
0
V1 = 0
V1
0
,'
,'
LMD1/SM_ST
23
Rappel sur le calcul vectoriel
V1
(V1 , V2 ) =
cos = 0 V1.V2 = 0
2
2
(V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2
V2
V1 // V2
@
= ( F ; AB)
: ;
W = F .AB. cos
::
)
AB
( AB
W = F . AB
F
@
=
9
/ :1
& W :*
)
F
W=F.AB.cos
2
G
(2.2)
:
2
>
2
&
2
V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ;
V 2 = V12 + V2 2 + 2VV
1 2 cos(V 1V 2 )
V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 )
(expression analytique du produit scalaire)
: R (O ; i , j )
V1
x1
x
; V2 2
y1
y2
:@
:
.
4
V2
V1
+
V1 .V2 = ( x1 .i + y1 . j ) .( x2 .i + y 2 . j ) = x1 . x 2 .i .i + x1 . y 2 .i . j + x 2 . y1 . j .i + y1 . y 2 . j . j
i
j
j .i = i . j = 0
V1 .V2 = x1 . x2 + y1 . y 2 .
(14.2)
i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1
(dans l’espace) .
: R (O ; i , j ; k )
i . j = i .k = j .k = 0
i = j = k =1
V2
x1
x2
9& V1 y1
; V2 y2
z2
z1
V1
/(
+
V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2 (15.2)
(propriétés du produit scalaire):
.5
(
&B
-
)
(
V1. V2 .V3
V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3
V 1 = 3i + 2 j
k
)
:
,
.
45 !"
V 1 .V 2 = V 2 .V 1 :(commutatif)
9
> :(non associatif)
7
:
6
(distributif)
<
!
:
7
*
:5.2
. V 2 = i + 2 j + 3k
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
24
Rappel sur le calcul vectoriel
:
cos(V 1V 2 ) =
V1 .V 1
:
V1V2
! :
=
;
:$
V1 .V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3.74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3.74
cos(V 1V 2 ) =
V1 .V 1
2
=
= 0.143
V1V2 14
= (V 1V 2 ) = 96.2°
.
:
=
:2
4
)
: ; < :
(produit vectoriel)
4
W
5
V2
V1
. %
W = V1
/8
V2 = V1 × V2
W
V1
O
V2
W
: 9.2 /
=
(caractéristiques du vecteur) : W
$&
V2
:
i
i = j
i
j =k ;i
i
j = i
A.FIZAZI
/
$
V1
:
j =k
)
W)'
W
%0) )
k =0
k = j ;j
k = j
4
* (
*7
k =i
:8 99:
W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 )
(16.2)
k =1
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
25
Rappel sur le calcul vectoriel
/" W = W = V1.V2 .sin(V1 ;V2 )
.
5
: 5;H- 4!
x1
x2
B
V1 y1 ; V2 y 2
z1
z2
=
E D*
: R (O ; i , j , k )
+ "
+i
j
W = x1
y1
z1 = i
x2
y2
z2
W = ( y1 z2
+k
y2 z1 ) i
y1
z1
y2
z2
(x z
1 2
j
(y z
W=
y2 z1 ) + ( x1 z2
z1
x2
z2
V1
(V + V ) = (V
2
B
3
1
"
+k
x2 z1 ) j + ( x1 y2
x2 z1 ) + ( x1 y2
2
1 2
0 /
x1
:
V1
: 0 1
A
x1
y1
x2
y2
x2 y1 ) k
:
x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 ) (17.2)
2
2
( propriétés du produit vectoriel):
V 1 V 2 = V 2 V 1 :(anticommutatif) /
(V2 V3 ) (V1 V2 ) V3 :(non associatif)
) (
V2 + V1 V3
)
:
7
V1 = (2,1, 1);V2 = (1,0, 2)
:
A
.
6
(distributif)
=
W
5
45 !"
7
: ' :6.2
. % &
!
:
W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i
(2 ×
2) (1 × 1) . j +
( 2 × 0)
(1 × 1) .k
W = 2i + 3 j
k
V1 = 22 + 12 + 12 = 6
V2 = 12 + 0 + 22 = 5
W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74
W = V1 .V2 .sin = 3,74
A.FIZAZI
sin =
W
V1 .V2
Univ-BECHAR
sin =
3,74
= 0,683
30
= 43,06°
LMD1/SM_ST
26
Rappel sur le calcul vectoriel
(produit mixte):)
:9 I
(
V1. V2
x1
V3 = x2
x3
)
&
y1
y2
y3
z1
z 2 = ( y 2 z3
z3
V3
y3 z2 ) x1
* ";"
V 2 ,V 1
( x2 z3
/9
.
D
x3 z2 ) y1 + ( x2 y3
:. /(
"
=
x3 y2 ) z1
(18.2)
87 /10
)
(moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace)
:9 2
: . /(
87 :2
)
! O = OA V
(J*J10.2/
(19.2)
). AOB ;
2/
= !O
: 0 1
!O
!"
!O
u
O
O
!"
B
! O'
B
O'
V
A
V
A
(")
87 /11
(moment d’un vecteur par rapport à un axe):
=: 87 )
-
u?
O>
-
87 : & 2
.* +
"
87 :
V
(
)
! " = ! O .u = OA V .u
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2
:) "
)
.
(20.2)
LMD1/SM_ST
27
Rappel sur le calcul vectoriel
5
!
5
& = H?
5
J:J10.2/
! :2 ;
%
.
:
/12
@A
(gradient, divergence, rotationnel)
:2
.
.
+
f ( x, y , z )
+
V ( x, y , z )
:9
#(nabla )
,'
,'
H?
#=
F
I
%
.
;
;
f ( x, y , z )
/"
I
V ( x, y , z )
(opérateur)
"K
$
$
$
i +
j+ k
$x
$y
$z
.!
+
A
&
f ( x, y , z )
(21.2)
$
$y
$
$x
. "K
,&
$
$z
+
,'
@
(gradient)
:
grad f = #( f ) =
:A
I
$f
$f
$f
i+
j+ k
$x
$y
$z
f ( x, y , z ) = f = 3 x 2 y 3 z
F
(22.2)
:
grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k
&
A $
V = (V x ,V y ,V z )
divV = #.V =
+
,' (divergence) :
:
I
$Vx $Vy $Vz
+
+
$x
$y
$z
(23.2)
:
V ( x, y, z ) = 2 xyi
* :7.2
::
:
* :8.2
3 yz 2 j + 9 xy 3 k
:B
divV = 2 y 3 z + 0 = 2 y 3 z
2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
2
LMD1/SM_ST
28
Rappel sur le calcul vectoriel
: &$
A
,' (rotationnel) :
V = (V x , V y , V z )
rot (V ) = # V =
$Vz
$y
:
$Vy
$z
+
$Vy
$Vx
.j +
$z
$x
$Vz
$x
.i
D 5 '
L
)' / <
:
rotV =
+i
j
$
$x
Vx
$
$y
Vy
$Vx
.k (24.2)
$y
/
/
+k
$
= A+ B +C
$z
Vz
:
7
C , B, A :
/:
+i
$
$y
Vy
A=
$
$Vz
= +i
$z
$y
Vz
$Vy
$z
-j
B=
$
$x
Vx
$
$Vz
= -j
$z
$x
Vz
$Vx
$z
k
C=
$
$x
Vx
$
$y
Vy
= +k
$Vy
$x
$Vx
$y
:(24.2)
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
)
/<
%
/F
LMD1/SM_ST
29
Rappel sur le calcul vectoriel
+i
j
$
$x
Vx
$
$y
Vy
+k
$Vy
$Vz
$
= +i
$z
$y
Vz
$z
. V ( x, y, z ) = 2 xyi
-j
$Vz
$x
3 yz 2 j + 9 xy 3 k
(
rot (V ) = ( 27 xy
)
6 yz ) .i
rot (V ) = 27 xy 2
6 yz .i
2
$Vx
$Vz
+k
$z
$x
:5
$Vx
$z
*:9.2
:
:B
(9 y 3
0). j + (0 2 x).k
9 y3 j
2 xk
1 3 /13
(le laplacien)
:
FM
#.# ( f ) = # 2 ( f ) =
:
( )
#.# V = # 2 (V ) =
2 "
A.FIZAZI
,
13
@
: 7
&
+ *
:2
C
,
;>J
$2 f $2 f $2 f
+
+
$x 2 $y 2 $z 2
FM
(25.2)
&
;>J
$ 2Vy
$ 2 Vx
$ 2Vz
i
+
j
+
k
$x 2
$y 2
$z 2
@A
4"
B +
.(
+
) & @ 7
Univ-BECHAR
(26.2)
,
+ )*
C
LMD1/SM_ST
30
Rappel sur le calcul vectoriel
**
EXERCICES
.
! ! "#$
Exercice 2.1
On considère , dans un repère orthonormé OXYZ,
les
trois
V1 = 3i 4 j + 4k ,
vecteurs :
j + 3k .
V2 = 2i + 3 j 4k et V3 = 5i
a/ calculer les modules de V 1 & V 2 et V 3 ,
b/ calculer les composantes ainsi que les modules des
A = V1 +V 2 +V 3
vecteurs :
B = 2V 1 V 2 + V 3 ,
c/
déterminer
le
vecteur
unitaire
et
porté
par
d/ calculer le produit scalaire V 1 .V 3
l’angle formé par les deux vecteurs.
e/ calculer le produit vectoriel V 2
et en déduire
V3.
Exercice 2.2
Montrer que les grandeurs de la somme et de la
Ax
Bx
différence de deux vecteurs A = Ay et B = B y
Az
Bz
exprimées en coordonnées rectangulaires
sont
respectivement :
(A
D=
(A
+ Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
2
2
x
x
Bx ) + ( Ay
By ) + ( Az
2
2
Exercice 2.3
Trouver la
sommes
V1 = 5i 2 j + 2k
3
des
Bz )
2
B = 2V 1 V 2 + V 3
E!F
G<HIH,)
A = V1 +V 2 +V 3
J @)<,)
K '
8+F
/D
trois
3
Exercice 2.4
a/ Montrer que la surface d’un parallélogramme est
sont
les côtés du
parallélogramme formé par les deux vecteurs .
b/ Prouver que les vecteur
2.2
8+F l, m$n,)
K<H H,) g)U h iR 8 jhIk
C +-) @o T HSPF $% H,)
A et B
Bx
Ax
B = By
A = Ay
Bz
Az
: Hp ",)< ,) E!F *!+q ?H,)
S=
( Ax + Bx )
D=
( Ax
2
+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
2
Bx ) + ( Ay
2
By ) + ( Az
2
2
Bz )
2
1/ 2
1/ 2
3.2
vecteurs :
V2 = 3i + j 7k
B tels que A et B
*; )N,) O P QR - V 1 .V 3 "H!?,) M) ,) >?@A /L
. HSP+T JU<VIH,)
V2 V3
/
1/ 2
Calculer le module de la résultante ainsi que les angles
qu’elle forme avec OY , OX et OZ .
A.FIZAZI
$% & OXYZ
! "#
3 V1 = 3i 4 j + 4k :*+, ,) *-./,) * '()
. V3 = 5i j + 3k 3 V2 = 2i + 3 j 4k
. V 3 V 2 & V 1 8 9: *!;<= >?@A /)
* '() C.;<=
C %:$ >?@A /B
1/ 2
2
V3 = 4i + 7 j + 6k .
A
1.2
C = V1 +V 3
C = V1 +V 3,
S=
%& '( :
:
3
V2 = 3i + j 7k
V1 = 5i 2 j + 2k 3
. V3 = 4i + 7 j + 6k
u S PVk " ,) ;) N,) *!VIH,) *!;<= >?@A
. OZ OY , OX 8 9:
"p K.w() gx)<
gx)< " !w B
sont
Univ-BECHAR
:4.2
*@ ? iA 8p$T /)
A y+@ A B
.8+F l,) 8 9zlH,) K.w()
LMD1/SM_ST
31
Rappel sur le calcul vectoriel
perpendiculaires si
Exercice 2.5
Soit le vecteur :
(
E!F ;L<HF i<z; A K l,) iA 8p$T /B
A + B = A B *}. ,) ~hhIk )•R B K l,)
A+ B = A B
5.2
) (
) (
)
V = 2 xy + z 3 i + x 2 + 2 y j + 3 xz 2
Montrer que
grad
V =
2 k
V =0
(
) (
:K l,) i : )•R
) (
V = 2 xy + z i + x + 2 y j + 3 xz 2
3
grad
2
V = 0 iA 8p$T
V =
Exercice 2.6
1
Soient les deux vecteurs
A=
6.2
2
, B=
)
2 k
2
3
B=
4
1
3
;
A=
i F l,) 8z+,
4
Trouver ,
pour que B soit parallèle à A , puis
déterminer le vecteur unitaire pour chacun des deux
vecteurs.
- & A K l,) B K l,) gx)<; y+IT , 8+F
. HSP 9z, *h#)<H,) J @)<,) "F ' 8+F
Exercice 2.7
La résultante de deux vecteurs a 30 unités de long et
forme avec eux des angles de 25° et 50°.
Trouver la grandeur des deux vecteurs.
7.2
uPVk J @ 30 S,<= 8+F ' *!VI
.50° 25° 8+ ; )x
.8+F l,) *!;<= ‚ A
A.FIZAZI
HS
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
32
Rappel sur le calcul vectoriel
Corrigés des exercices 2.1 à 2.7 :
7.2
1.2
: 1.2
V1 = 6, 40
A = 10i
V2 = 5,38
,
2 j + 3k
B = 9i 15 j + 15k
,
C
= uc
C
C = 8i 5 j + 7 k
V3 = 5,91
,
8
i
35
uc =
/
/
5
7
j+
k
35
35
/
/
V 1.V 3 = x1 x3 + y1 y3 + z1z3
cos =
V 1.V 3
V1V3
V 1.V 3 = 15 + 4 + 12 , V 1.V 3 = 31
cos =
31
31
=
, cos
41. 35 37,88
V 3 = 5i
V2
= 79,86°
0,176
26 j 17 k
/
:2.2
Ax
A = Ay
Bx
;
B = By
Az
Bz
S = A + B = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz ) k
( Ax + Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
2
2
2
D = A B = ( Ax
Bx ) i + ( Ay
By ) j + ( Az
S=
D=
( Ax
Bx ) + ( Ay
2
By ) + ( Az
2
Bz )
2
1/ 2
Bz ) k
1/ 2
:3.2
V = V 1 + V 2 + V 3 , V = 6i + 6 j + k
Vx
6
=
, cos
V 8,54
Vy
6
, cos
= =
V 8,54
V
8,54
Vx = V .cos
cos =
0,70
45,6°
Vy = V .cos
cos
0,70
45,6°
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
33
Rappel sur le calcul vectoriel
Vz = V .cos
cos =
Vz
1
=
, cos
V 8,54
83,1°
0,70
:4.2
S = h. B
A
h
:
S = A B sin
B
S= A
1
A
2
/
h = A sin
h
S0 =
:
B=
: !"#
B = A B sin
1
A B sin
2
:
B
A
"
%"&
Ax
B = Ay
A+ B =
( Ax + Bx )
A B=
( Ax
A = By
;
+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
By ) + ( Az
2
2
Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 :*"# ! +
/ 0/
,
( A.B ) = 0
! /(
Bz
2
Bx ) + ( Ay
'
Bx
Az
2
$
Bz )
-
)
A
B ,"
2
2
1/ 2
1/ 2
. ! )
!)
1 2 3!
4)
)
:5.2
x
=
2 xy + z 3
V = x2 + 2 y
y
2 xz 2
: !#
, )# (
2
z
i
V=
-j
x
2 xy + z 3
k
y
z
x2 + 2 y
2 xz 2
= 0 . 5-
/$
2 (
)6 7
2
:6.2
.;) &
A.FIZAZI
%! ) B = . A
9
:7
(2! !!
Univ-BECHAR
B
A
#
!,
LMD1/SM_ST
34
Rappel sur le calcul vectoriel
:)
! /
2
B
B
=A
1
3
=
=
4
:
2
=1
3
4
=2
=
2
= 1,5
=
B=
;
3
B=0 (
A !#
:B
B = 2i 3 j + 4k
180
A=
uA =
B
= uB
B
( 25 + 50 ) = 105°
1,5
2
A
A
= uA
A
!9 $
&
1
4
=2
A = i 1,5 j + 2k
, !9
1
i
7, 25
uB =
2
i
29
) ! 2!
:
:7
<
1,5
2
j+
k
7,25
7, 25
3
4
j+
k
29
29
:7.2
:,/ !#
!) !
; !4
$
Vy
V
V
: 9.2 9
:)4
= x =
sin105° sin 50 sin 25
V
V
sin 50
= x
Vx =
V
Vx = 23,8
sin105° sin 50
sin105°
V
sin 25
V
= y
Vy =
V
V y = 13,1
sin105° sin 25
sin105°
A.FIZAZI
!
Univ-BECHAR
!
LMD1/SM_ST
35
Principaux systèmes de coordonnées
h L#La 6LOsL L#LXL#L&NL
L L1Gl /III
PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES
!
"#$ "% &'% !% "##!( )*+ +, % -./ 012
345
6+62
:
(repères d’inertie ou galiléens)
" ( $
,
:(1642
) $
$ &"
S 1% 2 $ 3
- .#
.S 1 % 2 $
.9 :
2
. "
=+
"
4 5
MNO PQF t
!" # #
, +
/
$ 5
:
6 (référentiel)
(repère)
= " 3+( $ ) "
:
> " 3+ ( $ ) 9 :
2
;<# =
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1564
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R $
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##
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-./ 345 r = OM ( x, y, z, t ) L$ GH%I JK
. t r (t ) R#S- $ T UN!( R !
12 0F M
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:
( Copernic ( 1473-1543) W K SXG) (repère de Copernic):1 20+ ,-./
_5 *
-_ HMN% "% . -/% I 2% ['\$ TN!% ! ]^
.(1.3 efd ) + /!$ `I % $ a b5*G ['a 52G c* % #X d
.)M 5f `N$ ! #& E h SMN
)M 5f MNO g I6 ! ]^ e ! X+
. /g i'm n d i5O I 6( 6O b5+ i'm o5/p-i j )-. i5O I 6( kIl
:
CD. B
(repère géocentrique)
"
>$ " 9 :
A.FIZAZI
EG
=
?
Univ-BECHAR
"
G
"$ 2
LMD1/SM_ST
36
Principaux systèmes de coordonnées
!: "
?
# 2
/; 5
. E 24 5D' > 5"
.+ " 2
. 2"$ CD.
"# 9 : .9 : 5" E %&
(repère terrestre)
"9 : =
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=
?
* .9 :
"
CD. B
2 $:
+
# 2
2
:
/;
/; 5
.
.@#
;
9 : 2
/;
" 2
nd
.
M’
9 :
M
G
"$ 2
1.3 5
!" /3
(coordonnées cartésiennes):
Z
:4 56 ,-. /
•N2 345% 6+62( "f + ‚ #& EF MN2 ƒG M JK
OM …!45% † !d$ R (O; i , j , k ) ! 0F M 0-./
)
# " G
…( #a 6OQ$ ‡
rené
: ;"
" ( Descartes :1596-1650
(repère spatial)
z
M
r
k
i
x
X
Š :x
(ordonnée) )#(N :y
(altitude)5 ! :z
(abscisse)
O
y
j
Y
m
:efd $ M 345% † !j $ M "f +
+H#(I f h #a 6O• :2.3 efd
OM = r = x.i + y. j + z.k
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(1.3)
LMD1/SM_ST
37
Principaux systèmes de coordonnées
(repère plan):
!
$
/#
0F M 0-./ •N2
345% 6+62( "f + ‚ +5 X% MN2 ƒG M JK
: OM …!45% † !d$ ‡ y x …# #a 6OQ$ (3.3 efd ) R(O; i , j )
OM = x.i + y. j
(2.3)
)#(N : y
Š :x
:C
:, 89
,-. /7
#. X% MN2 ƒG M JK
(repère rectiligne)
: ) fG ’#O OX I52 $ • M‘ "f +
OM = r = x.i
Y
Y
M
j
(3.3)
M
y
r
u
x
r
X
x
X
: % &
!" /4
M •N2 012 345 "##!( "f + ‚“ ]M /^ ‚5 X% W K I X 0 /+ "#O
.(4.3 efd ) . ( r , ) "# #S-. "# #a 6O• $
(angle polaire) #S-. + H :
(rayon polaire) 0S-. N-. ”•G :
(coordonnées polaires)
:efd $ 345
OM = r = r.ur
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
=
(8.2) !D
† !j $ M //f + ’#O
(4.3)
E
%
5.
LMD1/SM_ST
38
Principaux systèmes de coordonnées
u = i .sin + j .cos
:5
E
" ur = i .cos + j .sin
? - .#
* )"
I
=
, E"
OM = r = Ar .ur + A .u
( u , u ) `6_ .
r
(5.3)
0F OM ( SMN% ^ ( Ar , A ) :’#O
: ;
? - .#
"
- .#
x = r.cos
= arccos x
y = r.sin
= arcsin y
=
r
!D
(6.3)
r
: ' $
!" /5
‚•N2
345% 6+62( 0F H# % I , P S! ( oz
’#O #& EF I X P M JK
:’#O ( , , z ) #G 5-gl h #a 6O• i ! g "X2 X+
(angle polaire) ( om, ox ) #S-. + H :—
‚ (rayon polaire) 0S-. N-. ”•G :
(altitude) 5 ! : z
(coordonnées cylindriques)
Z
z
r
uz
z
u
M
u
u
O
X
m
Y
OM = r = Om + mM = r.u : #
$ f
2Š "% R.2 G
r = .u + z.k
u = i .cos + j .sin
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(7.3)
= J?
5.3 5
=
LMD1/SM_ST
39
Principaux systèmes de coordonnées
:efd $ 345
† !j `I S_ $ M P˜ //f + . ur "
u =
' =
OM = r = i . .cos + j . sin + k .z
/
(8.3)
OM = r = i .x + j . y + k .z
:efd W _ P5f( ’#O #G 5-gl h #a 6O• W K OM † !d `I S_ e+52( "f + M
OM = r = A .u + A .u + Az .u z
E 5"%
. ( u , u , u z = k ) `6_ . 0F OM h SMN% 0^ ( A , A , Az = z ) :’#O
u =F* , E " @#
(u ,u ,u
u = uz
h #a 6O•
(9.3)
z
=k
)
@#E ? = ,
u @# " I
@ E
:=/ . u " u z = E
( #$ ";
u = i .sin + j .cos
(10.3)
+H#(I f h #a 6O• "#$ ™'! š / XG ( 8.3)
x = cos
y = sin
z=z
(1.3) "#(I S!
.$ - $
: #G 5-gl
= x2 + y2
= arctgy / x
= arccos x / = arcsin y /
. #S-. h #a 6O• W _ TN! G
:
6!S
(coordonnées sphériques)
( r,
,
) + Nf h #a 6O• i ! g PQF ‚H# % I 6$
O "_
(11.3)
z=0
P M JK : 1O'%
!" /6
O
? b5.(
:’#O :eE œS•+
.(coaltitude) kN! b ( :—‚(azimut) ‚ƒ g :• ‚(rayon polaire):0S-. N-. ”•G :
: + Nf h #a 6O•
+H#(I f h #a 6O• "#$ h ™'! "% #g6/^ R.2 G
x=
cos
y = sin
= r sin
A.FIZAZI
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
Univ-BECHAR
(12.3)
LMD1/SM_ST
40
Principaux systèmes de coordonnées
r=
x2 + y2 + z2
= arccos z
= arctg y
(13.3)
r
x
:0cF #G 5-gl h #a 6O•
= r sin
+ Nf h #a 6O• "#$ ™'! %‡
r=
=
+ z2
2
=
z = r cos
(14.3)
= arctg
z
Z
z
Z
r
u
u
M
r
O
r
u
M
y
O
Y
Y
m
X
x
m
X
"
- .#
@#E ! 8.35
"
- .#
:7.3 5
OM = r = x.i + y. j + z.k : #(I f+6 h #a 6O• 0F 345
† !j ) fG
:efd W _ ) f#F + Nf h #a 6O• 0F %‡
OM = r = Ar .ur + A .u + A .u
(15.3)
( u , u , u ) `6_ .
r
0F OM h SMN% 0^ ( Ar , A , A ) :’#O
:N#Ÿ( eS.G ‚ + Nf h #a 6O• $ ž N eM #-Ÿ :
. 2¡ W K 0 "% —
A.FIZAZI
‚ ¡ W K 0 "% •
Univ-BECHAR
=/
‚ W K 0 "% r
LMD1/SM_ST
41
Principaux systèmes de coordonnées
: $ M //f + RSg % ef , / g :C
0
.AB
> ?@
r = r.u r = Om + mM
Om = .u =
i.cos + j sin
mM = z.k = k .r cos .
= r.sin
r = r i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos
:š / XG …/%
: u @# " I
$
(16.3)
u r = i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos
:I
B
u = i .sin + j .cos
5^ u `6O 5 † !j PQF `6% ! % ( ur , u , u
)
@#E ? =
:u
u =u
" 6u I
=
?
u "#$ 0_ !d • 6* eŠ O
ur = i .cos cos + j .cos sin
(coordonnées curvilignes):
,
,
E +
+
M
O
)" # #
s
- .#
2 :9.3 5
'!'
!" /7
=
%
:(abscisse curviligne)
E
,$"
'
.
EO . ?
$ #? > N
.#
BO
:M
O =
3"?
OM = s
A.FIZAZI
(17.3)
k .sin
Univ-BECHAR
(18.3)
LMD1/SM_ST
42
Principaux systèmes de coordonnées
**
EXERCICES
Exercice 3.1
Convertir le
vecteur
cartésiennes
polaires
(u , u )
r
(i , j )
suivant
des
en
1.3
coordonnées
coordonnées
: V = Xi + Yj
(i , j )
: (u , u )
V = Xi + Yj
r
Exercice 3.2
Convertir le vecteur suivant des coordonnées
(u , u
sphériques
cartésiennes:
(i , j, k )
Exercice 3.3
Convertir le
(u
Exercice 3.4
Convertir le
sphériques
vecteur
r
suivant
(i , j, k )
,u
)
vecteur
(u , u
r
en
(u , u
r
,u
des
en
(
(i , j, k )
V = Xi + Yi + Zi
): A =
2
: (u , u , uz ) #
(i , j, k )
V = Xi + Yj + Zk
: ( ur , u , u
(
i , j, k
)
A.FIZAZI
(u
.u + cos .u
A=
2
.u + cos .u : ( ur , u , u
)
6.3
, u , u z ) en coordonnées cartésiennes
: V = Vr ur + V u + Vz u z
)
5.3
coordonnées
Exercice 3.6
Convertir le vecteur suivant des coordonnées
cylindriques
$%
:4.3
coordonnées
coordonnées
en
)
3.3
: V = Xi + Yj + Zk
suivant
)
,u
V = Vr ur + V u + V u : i , j , k
coordonnées
, u , u z ) : V = Xi + Yi + Zi
(u , u
Exercice 3.5
Convertir le
coordonnées
V = Vr ur + V u + V u
(i , j, k )
cartésiennes
sphériques
en
2.3
vecteur suivant des coordonnées
cartésiennes
cylindriques
)
,u
r
!
(u
V = Vr ur + V u + Vz u z
Univ-BECHAR
, u , uz ) #
: (i , j, k )
LMD1/SM_ST
$%
43
Principaux systèmes de coordonnées
Exercice 3.7
Trouver la
M(
M
,
M
distance
entre
, zM ) et N (
N
,
les
N
deux
points
, z N ) par les deux
méthodes :
1/ en convertissant l’expression du vecteur
coordonnées cartésiennes.
2/ par le calcul direct.
Montrer que la distance entre les points
s’écrit :
MN =
A.FIZAZI
2
N
2
+
N
.
2
M
M
+ ( zN
.cos (
zM )
M
!#
'(
&$
N
,
N
, zN )
M(
:
MN en
M
,
) *
M
, zM )
!
/1
MN
M et N
2
N
N(
:7.3
)
&$
:
/
MN =
Univ-BECHAR
,
-$
.
2
N
2
N
+
N
.
2
M
M
M
+ ( zN
.cos (
/2
!#
zM )
M
2
N
LMD1/SM_ST
)
44
Principaux systèmes de coordonnées
Corrigés des exercices 3.1 à 3.7
7.3
1.3
:1.3
V = Xi + Yj
. V = Vr .ur + V .u
.V " V
ur = i .cos + j .sin
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
V = i Vr cos
V sin
u " u
i .sin + j .cos
:
)
$%
&'
Y
=X
Vr sin + V cos = Y
:V " V
:* .
")*
+*
*
Vr = X cos + Y sin
V = ( X cos + Y sin
.
/+
) +V (
+ j Vr sin + V cos
V sin
X
Vr cos
(i , j )
#
V " V
#-
"
,"
"."
; V = X sin + Y cos
) ur + (
1
*
-+ ". +
/ 0 3 .)
0
)u
X sin + Y cos
*
:
0
"6. - 5"*+
:
X = Vr cos
-+
/, V
1
)* " 0 2 3 4
1% " )1
"
.
+. / +
)
V sin
Y = Vr sin + V cos
X
cos
=
sin
Y
sin
cos
Vr
V
Vr
cos
=
V
sin
sin
cos
X
:
Y
"6. 5
",
:/, *
Vr = X cos + Y sin
; V = X sin + Y cos
:
V = ( X cos + Y sin
. V = Xi + Yj + Zk
-+
V = Xi + Yj
/,
) ur + (
)u
2.3
(i , j, k )
:/, " i , j , k
X sin + Y cos
/ V = Vr .ur + V .u + V .u
4
(u , u
r
,u
)
"
2
7
8
ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos
u = i .cos cos + j .cos sin
k .sin
u = i .sin + j .cos
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
45
Principaux systèmes de coordonnées
(
V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos
V
(
)
i .sin + j .cos
:
) + V ( i .cos
:
cos + j .cos sin
-+
V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin
.
$%
)+
&' &
+ j Vr sin sin + V cos sin + cos
+
Y
X
k Vr cos
k .sin
"
V sin
Z
:
X = Vr sin cos + V cos cos
)'
V sin
Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos
Z = Vr cos
V sin
: (i , j, k )
V = (Vr sin cos + V cos cos
( Vr cos
V sin
V sin
V = Vr .ur + V .u + V .u
/ 7
) i + (V sin
)j+
sin + V cos sin + V cos
r
)k
V = V .u + V .u + Vz .u z :
:
-+
4
i , j, k
u = i .cos + j .sin
(u
(u
, u , uz )
/ V
, u , uz )
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
:3.3
"
) +V (
7
2
i .sin + j .cos
) +V k
z
uz = k
V = i V cos
V sin
+ j V sin + V cos
X
+ Vz k :9 .
Z
Y
: Vz " V < V
, * :;
X = Vr cos
&'
4
:; + *
"
V sin
Y = Vr sin + V cos
Z = Vz
"6.
$
. "*
*
-
"."+ )
: 4
X
A.FIZAZI
cos
sin
0 V
V
Y = sin
0
Z
cos
0
0 V
1 Vz
V =
Vz
Univ-BECHAR
+*
/
#;
:/
0
cos
sin
0
X
sin
0
cos
0
0
1
Y
Z
$ 0+
"
+
"6. =
LMD1/SM_ST
46
Principaux systèmes de coordonnées
:/, *
V = X cos + Y sin
; V = X sin + Y cos
V = ( X cos + Y sin
)u
+ ( X sin + Y cos
V = Vr .ur + V .u + V .u :
:
(u , u
-+
r
(u , u
4
i , j, k
r
)u
,u
,u
; Vz = Z
)
+ Zu z
:4.3
)
/ V
"
7
2
ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos
u = i .cos cos + j .cos sin
k .sin
u = i .sin + j .cos
(
V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos
V
(
)
i .sin + j .cos
) + V ( i .cos
cos + j .cos sin
:*
V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin
$%
&' &
+ j Vr sin sin + V cos sin + cos
+
Y
X
k Vr cos
)+
k .sin
V sin
Z
:V " V < V
, * :;
X = Vr sin cos + V cos cos
4
:; + * 3"
V sin
Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos
Z = Vr cos
"6.
$
V sin
. "*
*
-
"."+ )
: 4
X
+*
/
#;
:/
0
$ 0+
"
+
"6.
sin cos
cos cos
sin
Vr
Vr
sin cos
sin sin
cos
X
Y = sin sin
cos
Z
cos sin
sin
cos
0
V
V
V
V
= cos cos
sin
cos sin
sin
sin
0
Y
Z
:/, *
Vr = X sin cos + Y sin sin + Z cos
; V = X cos cos + Y cos sin
"
Z sin
V = X sin + Y cos
V = Xi + Yj + Zk
:/, "
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
$% /
LMD1/SM_ST
47
Principaux systèmes de coordonnées
V = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos
(
) ur + ( X cos
)u
X sin + Y cos
cos + Y cos sin
)u
Z sin
+
5.3
:
A=
2
- B=
( i .cos
2
) + cos (
+ j .sin
:
.u + cos .u
i sin + j cos
-
A
A=i
2
.cos
+ j
cos .sin
X
X =
2
.cos
; Y=
2
A = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos
(
X sin + Y cos
)u
A=
(
(
(
2
.cos
2
.cos
2
>,
:4.3
) ur + ( X cos
cos + Y cos sin
)
X ,Y , Z A "
4
) sin cos + ( sin + cos ) sin sin
cos .sin ) cos cos + ( sin + cos ) cos sin
+ cos .sin ) sin + ( sin + cos ) cos u
cos .sin
.cos
? +
@1
; Z=0
-
:>; 2 )
"
Z
sin + cos 2
: "
)
+ 0k
Y
cos .sin
2
. )' &
sin + cos 2
2
"
2
2
2
2
2
i , j, k
u = i .cos + j .sin
4
(u
, u , uz )
V = Vr ( i .cos + j .sin
u = i .sin + j .cos
Z sin
)u
?
+
+
ur +
u +
2
6.3
V = V .u + V .u + Vz .u z :", ( u , u , u z )
:
*
/ V
"
) +V (
2
i .sin + j .cos
) +V k
z
uz = k
V = i V cos
+ j V sin + V cos
V sin
X
+ Vz k :9 .
Z
Y
X = Vr cos
&'
:-
.
V sin
Y = Vr sin + V cos
Z = Vz
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
48
Principaux systèmes de coordonnées
V = i (Vr cos
"
N(
N
,
N
) + j (V
V sin
, zN ) " M (
M
,
M
r
MN = ON
, zM )
1
MN = ON
(
(
OM =
N
N
u
u
) (
+ zN uz
N
M
N
u
M
) + (z
M
N
u
uz
/1
* :
- MN
1
2
C3
+ zM uz ) : 2
' ;
+ " D" 1 N " M
OM =
:/, *
z
:7.3
.
: MN
) + kV
sin + V cos
M
zM u z )
(1)
zN Z
N
zM
OM
M
uz = k
O
y N yM
j
i
Y
M
M
u
xM
N
M
N
xN
X
u
N
:/, u z " u , u
N
u
u
N
= i .cos
N
M
= i .cos
M
+ j .sin
+ j .sin
uz = k
MN =
A.FIZAZI
N
( i .cos
N
+ j .sin
N
)
M
( i .cos
Univ-BECHAR
2
N
M
: (1)
M
"
M
+ j .sin
M
) + (z
/ u ,u
N
N
uz
zM u z )
M
A"
LMD1/SM_ST
49
Principaux systèmes de coordonnées
MN = (
N
cos
N
cos
M
M
:9 . :
)i + (
N
sin
: MN
(
MN =
N
cos
N
M
cos
M
)
N
M
sin
) j + ( zN
M
71
N(
+
2
N
N
,
N
2
2
M
N
, zN ) " M (
MN = ON
MN =
(
N
:
<
u
N
"
&
cos
A.FIZAZI
+
/6
N
.cos
,
M
2
+(
sin
N
N
M
u
+
N
.cos
sin
M
2
u
N
+ zN uz
2
N
.
D" 1 u , u
N
2
M
2
sin
N
.
M
#
N
sin
M
N
.sin
.sin
) (
M
u
N
zM ) uz
M
cos(u N , u
M
)
)
cos(
M
N
= cos (
Univ-BECHAR
M
;
1
&
2
2
M
( 2)
/2
:
:
zM )
zM )
) = cos (
2
)
( 3) " ( 2 )
M
zM )
2
"
) + ( zN
.
N
zM )
+ ( zN
+ zM u z
) + ( zN
1
+ ( zN
2
*
" /
M
)+
M
M
1
) + (z
M
M
"
M
N
, zM )
(
M
M
2
N
M
N
2
N
MN =
( cos
M
OM =
MN =
/+
.
zM ) k
+ " D" 1 N " M
:*
MN =
&'
2E
( 3)
*
"
:: ( 2 )
N
-
)
LMD1/SM_ST
/
50
Caractéristiques du mouvement
'"nn(nnnn nnnn nnnn +nnnn,nnnn-/ IV
CINEMATIQUE
' d(#8/A-IV
CARACTERISTIQUES DU MOUVEMENT
/1
:
! "# $%& '"( ) *
+,.(.....678 9:% " ) '"../# 0 1 2 34
"! => 8 ?38 @ "3A* ".4- BC#! D "8 +/E F
! "# $%&
. -:$%# G"/# "A > "%8 "(,#- ,#H8
/2
:
J&C 2 K ./& "A B " F.I "G :
G "H(,- "8 F
(L M N C 9 ! DO
2 M B- ?(3A PQ # ./& "A R 48
. )
F, T DO (+,38) 3E 8 S"=> B((3T
) DM U ? 0,- PI!
:B(,CV ?)* 0,? @O +4T .J ./& "A
a ] "/4
v - / \ OM [L:# 3Y* S ?Z4 "A : -"3Y .B^(38 "/8 _G
"38 ?!? 4A : D .E (position du mobile):
/3
(vecteur position):'()
Dd(T "
e"fG +,38
*+,= ,
G M ! "8 $%> [L:8 c 3!
: OM [L:# ]"3VA ( 1.4
)
(O; i , j , k )
G t
Z
z
M
OM = r = x.i + y. j + z.k
k
O
i
j
y
(1.4)
Y
x
X
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
51
Caractéristiques du mouvement
(équations horaires):
.
/0+,
B- ,%4/8 x, y, z '"({ ?)| }>" ~1 (repos) :C G M $%& :CT
) G :CT \B8d
.B8d, [A :T '"({ ?)| @O } .•* ~1 (mouvement)
:nA "H d8 >
(2.4)
x (t ), y (t ), z (t )
:FCV "A "H&- (.34 BC#!
, (&8d '‚ "3# • ? @O
#/>
(3.4)
x = f (t ), y = g (t ), z = h (t )
(trajectoire):1+2
. .Q"348 &8…* •6† "H4,4)
4 ( "44# [L :# ]:#I8 : ! "8 $%> "/8
.( #% "/8) "(#
* (_! $ ) "! "8 :C! * "/#, BC#!
‡.ˆ! ‰() R(O; i , j ) +,3# G ,($4/# '"({ ?)|"A +4T !:4/#
. x(t ), y (t ) :"# B(4({ ?)ŠA c 38 [L:#
(équation cartésienne de la trajectoire).1+2
.7 8 .
x = 2t
y =0
:
7 8 0+,
4 5 61+3 0+,
79+ 7
:; 9 1+2
‹"fŒ
G }GOQ ! "8 $%>
(&8d '‚ "3# :1.4A+B
.( ( ? ,#I G ' ?): F )
•J,CY "8 \ "/#, !d(T "C
"3# ?E */1
. t = 2s = , G [L:# ]"3Y N ".- P4 * /2
z = -5t 2 + 4t
"/#
"38 0,- Fˆ &G z N ".- G 2:3> +{ x ‚?A B8d Ž Z4/> /1 :D )E
.•G"C8 [$Q B- N ".- :
x
2
2
z = 1.25.x + 2.x
x = 2t
t=
OM = (2t ).i + ( 5t 2 + 4t ).k
:B(4(&8d B(4 "3# "A T "C!? +,3#
A.FIZAZI
0#/T x y(x) ?
0+, <4= >? @
OM (t =2) = 4i
G G 38 ! "8 $%>
Univ-BECHAR
:[L:# ]"3Y N ".-/2
12k
) }>" ~1 :2.4 A+B
LMD1/SM_ST
52
Caractéristiques du mouvement
x = a sin( t + )
y = a cos( t + )
•[.4#
"/# FCY : "#G
"38 0,- Fˆ &G c $ c • "#H3#I> +{ B(4 "3# [A > :D )E
: a " $Q
‘ˆ> N e
x 2 = a 2 sin 2 ( .t + )
y = a cos ( .t + )
2
2
2
x2 + y 2 = a2
(vecteur vitesse)
.B8d N?) •6† -:$%#
/4
:
G"/#
- / * .43>
(vecteur vitesse moyenne) : FG)8
= 2 *+,M [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t = , B(A : 2.4 FCV “)6>
c 38 $ :4# - / ]"3Y ŠG M ' [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t' = ,
: ( "4 N ".3 "A
"/#
M
vmoy =
T
MM '
;
t' t
MM '
vmoy =
(4.4)
t
v (t)
O
.•"%4>| ]"3Y 0#/!
M’
MM '
2.4
(vecteur vitesse instantanée):
"t
!
: $
OM ' OM
= lim t '
t'
t t'
vt = lim
t
t
%&
#
(dérivée)
OM
dOM
=
t
dt
vt =
dOM
dt
(5.4)
: + 4F?
) (*
+ #(
%&
A.FIZAZI
M
!
'
/
#
/
Univ-BECHAR
:
v(t )
.(3.4
0* *
$*
)
1
LMD1/SM_ST
53
Caractéristiques du mouvement
:2 !*
OM = r = x.i + y. j + z.k
34
v = x.i + y. j + z.k
(6.4)
v
:3.4
(conventions):
5
! %&
89 7* :
!*
. 7* 5 6 $
4
4=
$
!*
56 $
:(Newton)
46
. 7* 5 6 $
4
' < %& = $
>
;
. dy :@ B8d, ./& "A y
7*
dt
x=
!*
dx
dy
; y=
;
dt
dt
z=
:(Leibnitz)
56 $
dz
dt
1
:
x
x = vx
OM y
v y = vy
z = vz
R
:
$
(7.4)
x2 + y2 + z2
m / s = m.s
z
" !# "
:A*
(module du vecteur vitesse instantanée)
v=
! "
(
MKS
:
OM
v
/
; B
R
/5
(vecteur accélération):
. $ /
OM '
OM
*
%&
*
<8
7*
!
(vecteur accélération moyenne):HG)8
*
t'
t * *8
*
> (4.4
) v'
v
* *
*1+28 *+,* 46
:/
A.FIZAZI
6
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
54
Caractéristiques du mouvement
v
M
amoy =
O
v' v
v
=
;
t' t
t
amoy =
v
t
(8.4)
amoy
M’
v'
4.4
(vecteur accélération instantanée)
!*
a = lim t '
$
t
v' v
= lim t '
t' t
*
#
t
/$
C
v dv d 2 OM
=
=
t
dt
dt 2
:
*8
OM = r = x.i + y. j + z.k
a=
; E<
)
(9.4)
dv
d 2 OM
=
dt
dt 2
( /
:$*
v = x.i + y. j + z.k
*
D
*
a = x.i + y. j + z.k
d2x
d2y
d2z
a=
.i + 2 . j + 2 .k (10.4)
dt 2
dt
dt
dx
dy
dz
v = .i + . j + .k
dt
dt
dt
.(5.4
:IJ 4 *1+28 *+,*
: $
!*
+
(
a=
*
:
(11.4)
x2 + y2 + z2
a(t )
*
:5.4
(module du vecteur accélération instantanée):&
:(11.4) /
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
*
/
A
LMD1/SM_ST
*
55
Caractéristiques du mouvement
: *
. a.v 0
1
x
x = vx
x = vx = a x
r= y
z
v y = vy
a y = vy = ay
z = vz
R
OM = r = x.i + y. j + z.k
) (*
*
R
z = vz = az
v = v x .i + v y . j + vz .k
46 * #
a.v
0
:
'(
(12.4)
R
a = a x .i + a y . j + a z .k
46
* :) #!
) (* #
.v
F
x = 2t 2
0* * 6 . OM
y = 4t 5
46 :3.4+ ,
= %&
z = t3
.
: *( * 5 6 G
v = 4t.i + 4 j + 3t 2k
v = 16t 2 + 16 + 9t 4
A.FIZAZI
/
A
1B
*
* ** 2 !*
*
1 ! :- .
a = 4i + 0j + 6tk
,
Univ-BECHAR
a = 16 + 36t 2
LMD1/SM_ST
56
Caractéristiques du mouvement
**
EXERCICES
Exercice 4.1
Le mouvement rectiligne d’un point est défini par
l’équation horaire : s = 2t
9t + 12t + 1 .
a/ Calculer la vitesse et l’accélération à la date t .
b/ Etudier le mouvement du point lorsque t croît de
0 à + .(Dire dans quel sens se déplace le point et si
le mouvement est accéléré ou retardé).
3
1.4
2
s = 2t 3
.t
" t "
Dans un repère orthonormé
(
. x = sin t ; y=1+cos2t :"
. Oxy 0
1. 0
)
(
3
)
1
x = ln t ; y=t+ .
t
a/Ecrire l’équation de la trajectoire.
b/ Calculer les valeurs algébriques de la vitesse et de
l’accélération au temps t .
Univ-BECHAR
:
0
M3
x = t 3t ; y=-3t 2 ; z=t 3 + 3t
6 4 7 $ t
/
2 a
6
2 v
.M 3
1. " "
v
6
/
. Oz 8
7
89
6
Exercice4.4
Un point est mobile dans le plan à partir de la date
t = 1 . Ses équations horaires sont :
A.FIZAZI
:3.4
O, i , j , k , le 2 O, i , j , k ! )
suivantes : x = t
3t ; y=-3t ; z=t + 3t
a/ Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur
vitesse v , et celles du vecteur accélération a , du
mobile M.
b/ Calculer la norme du vecteur v et montrer que ce
vecteur fait un angle constant avec Oz .
2
() *
.( -
/
#$ 0
'.
"
Oxy .
mouvement d’un mobile M est défini par les équations
3
'
!
+, ). +
2
x = sin 2 t ; y=1+cos2t
Exercice 4.3
/
2.4:
Exercice 4.2
Déterminer la trajectoire du mouvement plan
défini par les équations :
Dessiner cette trajectoire dans le repère
9t 2 + 12t + 1 :
45
3
:4.4
" :
;
: ."
x = ln t ; y=t+
.
) 0
(
'
.t = 1
1
t
.t
/
/
LMD1/SM_ST
57
Caractéristiques du mouvement
Exercice 4.5
(
)
Dans un repère orthonormé O, i , j , un mobile
M décrit
dans
2
le
sens
direct
l’ellipse
2
2 ( O, i , j , ) ! )
8 < =9 6
0
-
x
y
d’équation : 2 + 2 = 1 . Le point M est repéré sur
8
a
b
l’ellipse par l’angle
.
Exercice 4.6
Soit, dans un plan
(P) ,
un repère orthonormé
xOy et un mobile M se déplaçant dans ce plan. A la
date t , ses coordonnées sont définies par :
t
t
x = 2 cos ; y= 2 2 sin
2
2
positions du mobile et les coordonnées de
avoir un vecteur accélération de longueur
5
.
4
"
M
.
0
()5
.
3
2
x
y
+ 2 = 1>
2
a
b
6
.
" 6
5
5
-
2 ( P ) 6789: ;< =>?@
1.
'
M 3
xOy
:? "
( 7 $2 t
! )
.;
0
x = 2 cos
v
.t
. @
!C "
v pour
"
2 t2
#
t
t
; y= 2 2 sin
2
2
@(
. /
6 4 7 $
/
3
1A a
6
a
OM "
)
<B
.
3
#
B
@#
" 8,
=4
t1 = 0 "
" /D
v
7 $ 1
3
8<
.
A.FIZAZI
2
:6.4
a/ Quelle est la trajectoire ?
b/ Calculer les coordonnées à la date t du vecteur
vitesse v et du vecteur accélération a de ce mobile.
Quelle relation y a- t- il entre OM et a ? Au bout de
combien de temps le mobile repasse-il par une même
position sur la courbe ?
c/ Entre les dates t1 = 0 et t2 = 4 , déterminer les
#
v
Déterminer les vecteurs vitesse et accélération v et
en fonction des dérivées
et .
:5.4
Univ-BECHAR
5
4
LMD1/SM_ST
58
Caractéristiques du mouvement
Corrigés des exercices 4.1 à 4.7
7.4
1.4
:1.4
v=
ds
= 6t 2 18t + 12 :
dt
a=
(
dv
= 12t 18 :
dt
. s = 2t 3 9t 2 + 12t + 1 !
"
.v + , / 0 1 2 * 3
v = 6t 2 18t + 12 = 0
t
/1
0
t = 1 ; t=2
+
/2
-% (.
:4 5 ( * #
a = 12t 18 = 0
;
1
v
#
$% &!
. . av ) * + ,
1,5
2
0
0
0
a
+
+
+
+
a.v
t = 1,5
+
+
+
:2.4
7 cos 2t = 2 cos t 1 : 6 6 ( .
1 8(
7 y = 2 cos 2 t :9
y +
7 y = 2 ( sin 2 t 1) : , ( :; 6 6 (
1 x = sin 2 t 8!( . 3, <
(
. y = 2 (1 x ) >
2
y
+2 B
(
O
A
+1 x
( 7 0 sin 2 t = x +1 ? 0 x +1 .
. B ( 0, +2 ) ( A ( +1, 0 ) %
%B (>
:t D
1&
4 6
E 4
(
)
,
FG
vx = x = 3 t 2 1
v v y = y = 6t
(
)
A.FIZAZI
)
2
@ A>
:3.4
B , /1
a= a y = y = 6
az = z = 6t
vz = z = 3 t 2 + 1
v 2 = 18 1 + t 2
43
#
ax = x = 6t
;
(
,2 3 *
C1 / ( . t 4
(
)
v = 3 2 1 + t 2 :F(
Univ-BECHAR
(% /2
LMD1/SM_ST
59
Caractéristiques du mouvement
:
) *
(%
#(
( )
A> *.
( )
v .k = v.k .cos v , k = v.cos v , k
x
0
v y
z
, k 0
1
( )
cos v , k =
,
(
(
(
)
(
( )
2
2
cos v , k =
)
<
v .k
v
; v . k= ( x.0 ) + ( y.0 ) + ( z.0 ) =3 1+t 2
3 1+ t2
v .k
=
cos v , k =
v
3 2 1+ t2
( )
. Oz ( v
)
( v , Oz ) =
4
rad
:4.4
:
HA
x = ln t
1
y = ex + x
e
t =e
y = ex + e
:t D
vx =
1
t
v=
1
t2
vy = 1
1
t
1
t2
2t 2
ay = 4 = 3
t
t
ax =
2
1
t2
a=
2
x
1
(
2
1
+ 1 2
t
/
x
1
t4
; v=
2
+ 3
t
2
; a=
/
1
+1
t2
4 1
+
t6 t4
:5.4
:
x2 + y2
Y
2
M
a
O
(1)
a2 = 0
2
x
y
+ 2 1= 0
2
a
b
x1 = a cos
M1
y1
j
BI% :
( 2)
M
y1 = a sin
x1
i
X
2
(1)
M , a cos
2
+ a sin
2
2
a =0
2
cos 2
+ sin 2
1= 0
( 3)
( 3) , ( 2 )
( 2 ) = ( 3) : cos
cos
=
x
a
; sin =
y
b
OM = a cos .i + b sin . j
A.FIZAZI
=
x
a
:L
x=acos
(
, sin =
JB
K%
v = a sin .i + b cos . j
Univ-BECHAR
y
b
y=bsin
M
%
:M %
LMD1/SM_ST
60
Caractéristiques du mouvement
= a
(
sin +
2
) .i + b (
cos
2
cos
:
sin
). j : M
%
:6.4
(
/1
HA
t
x
=
2
2
t
y
sin =
2 2 2
cos
.
:
x2 y2
+
=1
2
8
(>
A,
/2
1
2
t
sin
2
2
t
v y = y = 2 cos
2
vx = x =
:
1
2
t
cos
4
2
2
t
sin
2
2
ax = vx =
ay = vy =
:K"(
a=
.
( 0
1
x.i
4
1
y. j
4
5 *.
.K"( M
(/
BI
a=
1
( x.i
4
@ 3
M &
x = 2 cos
:
)
;
cos
5
/ (%
4
*
t
2
+
y. j ) ;
,
x ' = 2 cos
cos =cos ( +2
<
a=
2
(t + T )
t
= cos
2
2
*.
1
OM
4
C1 JB K%B
(
(t + T )
Univ-BECHAR
T
1&
1
:t + T D
1&
1
:/
( 7 x = x' (
T
=2
2
T =4
.
*
K" ( /3
,(&
5
@1 (
4
2
t 2
t
5
t
t
2 cos 2 + 8sin 2 = 5
a 2 = cos 2 + sin 2 =
16
2 4
2 16
2
2
t
t
t
t 1
2 1 sin 2
+ 8sin 2 = 5 6sin 2 = 3 sin 2 =
2
2
2
2 2
A.FIZAZI
+
#
:t D
4 6
:a =
<
D
LMD1/SM_ST
61
Caractéristiques du mouvement
+ 2k
4
3
+
+ 2k
4
(7 0 t 4
t
2
, t
sin = ±
2
2
:
(*
t
0 ;
=
2
1 O-
k
0
1
t
2
3
2
+
vx
x
y
+1
+2
1
+2
%
3
A:N
vy
1
2
1
2
+1
1
:7.4
OM = x.i + y. j :/
.
K"(
+
.
/1
Y
A
A'
b
2b
y
M
b
O
:
x
B'
3
6
E
B X
F.
<
x = OA + b cos
, x = 2b cos + b cos
x = 3b cos
y = AA ' b sin
, y = 2b sin
y = b sin
b sin
OM = i .3b cos + j .b sin
:
x 2 = 9b 2 cos 2
.JB K%B
:
a=
+
2
d OM
=
dt 2
2
A.FIZAZI
O
y 2 = b 2 sin 2
x2 y 2
=
=1
9b b 2
FG
K"(
,
( i .3b.cos
a = 9b 2 .cos 2 t + b 2 .sin 2 t
HA
t + j .b.sin t )
a=
a = b 9 cos 2 t + sin 2 t : @1
Univ-BECHAR
6
2
/2
.OM
(% ! .
LMD1/SM_ST
62
Mouvements rectilignes
! /B-IV
! 0
MOUVEMENTS RECTILIGNES
/1
:
(mouvement rectiligne uniforme)
:
.
:
! !"
! "#$% & '( ) *
!
OX
"#
% :
t = 0 ; x = x0
X . /01% 23045 6%7 89( .: ;0<= .:
:A;E% .%!
v=x=
x
x
x0
dx
= v0
dt
= v0 t
) .5#>% ?@# = A; 0BCD(
x
dx = v0 .dt
t
dx = v0 .dt
x0
t0
x-x0 = v0 t
t
0
: &(! " ! " '! - . !
&! !
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x = v0 .t + x0
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(13.4)
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x0
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O
A.FIZAZI
t
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X
(diagrammes du mouvement):
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v = C te
( x0 = 0)
O
x
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x = v0 t + x0
x = v0 t + x0
.
"
x
t
t=0
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x0
t
O
Univ-BECHAR
t
O
a=0
t
LMD1/SM_ST
63
Mouvements rectilignes
! ) ) x = 2t ; y = 2t + 4; z = 0 :
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y = 0; z = 0
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z 0; y 0; x 0
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v = 22 + 22
v = 8 = 2.83ms 1
0
(mouvement rectiligne uniformément varié)
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:
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: 6 "2
t = 0 ; v = v0
v
dv
dt
dv = adt
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t
dv = adt
v0
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v
v
v0
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t
0
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0
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v = v0 .t + v0
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(14.4)
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v=
= at + v0
dt
:
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x
dx = (at + v0) )dt
t
dx = (at + v0) )dt
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0
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x = at 2 + v0 t + x0
2
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x
x=
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1 2
at + v0 t + x0
2
v
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! 0
A
a
a= Cte
v0 = 0
t
O
O
t
! 0
A.FIZAZI
(15.4)
v = at + v 0
x0
O
"
t
% : 8.4 ) !
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
64
Mouvements rectilignes
2
v 0 = 2a ( x
v2
" (accéléré)
a.v > 0
" (retardé)
a.v < 0
. v = 2t
5 (
0:
6 (ms -1 ) ; t
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= 2ms
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2
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. t = 0 , x = 5m
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t
t
dx
x = x0 + vdt x = x0 + (2t
dt
0
0
2
x = x0 + t 6t ; t = 0 , x = 5 x0 = 5
v=
(!
6)
x = t2
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t
0
1
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0
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v
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1.4 0 ? ! ) .
(mouvement rectiligne à accélération variable)
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0
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:
A.FIZAZI
! + " )
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Univ-BECHAR
! + " ! '( ) * (!
:% (
LMD1/SM_ST
65
Mouvements rectilignes
t
t
v = adt + v0
v = v0 + (4 t 2 )dt
0
0
v = 4t
1 3
t + v0
3
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t
x = x0 + vdt
x=
0
<
. .(!
6 "1
: t = 3s
!"
t = 3s
:
x = 2t 2
1 4
t + 2t 2
12
!
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v0
! + " ! '( )* !
(* /!
! )* !
3
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4
1 4
t
12
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v0 t + x0
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:8<$%0 0n #'%
/4
(mouvement rectiligne sinusoïdal)
x = X m .cos( .t + )
(16.4)
:6 o )h
(élongation ou abscisse instantanée) * p' % q0D % )h . /01% : x
! #:t @ :(amplitude ou élongation maximale) p5r q0D % )h . >% : X m
1 cos( t + ) +1
Xm x +Xm :
@
x = X m. sin( .t + )
")
* (pulsation du mouvement). #'% u4( :
* (phase initiale).: v .'19% )h
v 3mD% :
. (phase instantanée).:p' % .'19% )h p' % 3mD% : (yt+x)
v=x=
dx
:
dt
&! !
! >
:
v = X m . sin( t + )
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
(17.4)
@
"
! E
?
LMD1/SM_ST
66
Mouvements rectilignes
1 sin( t + )
+1
X m.
+ X m.
v
a= x=v=
dv
:
dt
a = Xm
cos( .t + )
2
! !
2
a
@
: ! !
2
"
! E
?
2
Xm
a=
:'
(18.4)
:
+Xm
>
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"
(19.4)
.x
.E . 1
C
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( )* /! 5 " ) & ! =7
9
!
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- C!
9
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(équation différentielle du mouvement)
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+
dt 2
a=x=
2
x
. x = A cos t + B sin t :) !
. x = X m cos( t + ) ) ! '(
A.FIZAZI
2
!
! !
.x = 0
x+
@A
(20.4)
2
.x = 0
(7 / !
#(# ! 0A
Univ-BECHAR
!) *
!
! E ) 7
! " ! ! E "
LMD1/SM_ST
67
Mouvements rectilignes
x0
)
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)!
! . 0
6 "2
!
!
"
( . '( )*
!
;
8
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v0
Xm
!
"
x0 = X m cos
t=0
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: 6 "1
.
Xm
v0 = X m sin
! ; ) 2
.(
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%
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%
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) ! )#
" (! ) " .!
10.4
!
X,V,a
a=h(t)
+amax
V=g(t)
+Vmax
x=f(t)
+Xm
0
T/2
-Xm
3T/4
T
t(s)
2T
-Vmax
-amax
% :10.4 ) !
! 0
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" . & & :7.4
.( MKS 0
.
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" .!
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.
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:
(! 6 "2 /*!
! ; ! ; ! /
! ) ) x = 4 sin(0.1t + 0.5) : !
X m = 4m ; T =
N=
1
T
2
! " )#
T = 20 = 62.8s ;
N = 1.59.10 2 Hz ;
:
= 0.5rad .
!
! <
v = x = 0.4cos(0.1t + 0.5) ; a = v = -0.04sin(0.1t + 0.5) = -0.01x
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/<
a=-0.01x
LMD1/SM_ST
68
Mouvements rectilignes
: 6 "2
t =0
x0 = 4sin 0.5 = 1.92m
v0 = 0.4cos 0.5 0.35ms
v0 = 0.35m
!
t = 5s : x = 4sin(0.5 + 0.5)
v = 0.4cos1
a = -0.04sin1
!" Q/ 2
"
! ;=7 !
/
x = 3.36m ;
v = 0.22ms -1 ;
a = 0.034ms -2 .
! " <! ! N* :
! '(
/O
x0 = 1.92m ;
1
: t = 5s
!
! 0
% /P
. !
x,v,a
x=4sin(0.5t+0.5)
4
2
0
t
t+T
t+T/2
-2
a=-0.04sin(0.5t+0.5)
t+3T/4
t(s)
v=2cos(0.5t+0.5)
-4
:11.4
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
69
Mouvements rectilignes
**
EXERCICES
Exercice 4.8
La position d’un mobile en fonction du temps est
indiquée sur la figure ci-dessous. Indiquer :
1/ en quel endroit le mouvement se fait dans la
direction des X positifs ou négatifs ?
2/ à quel instant le mouvement est retardé ou
accéléré ?
3/ quand le corps passe par l’origine ?
4/ quand la vitesse est nulle ?
5/ faire un graphique de la vitesse et de l’accélération
en fonction du temps,
6/ estimer d’après le graphique, la vitesse moyenne
pour les intervalles de temps :
1s t 1,8s , 1s t
2, 2 s , 1s t
:8.4
!" #$
:
& #$ /1
"
X '
)
* & #$ /2
( +,)
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(
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0 )
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3s
1s
X ( m)
%
( )
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t
3s , 1s
t
2, 2 s , 1s
t
1,8s
1m
0, 2s
t (s)
0
Exercice 4.9
Un point matériel se déplace sur l’axe x ' ox de
2
façon qu’entre le carré v de sa vitesse et son abscisse
x , il existe la relation v 2 = Ax + B ,où A et
B sont des constantes.
1/ Calculer l’accélération du mobile. Que peut on dire
du mouvement ?
2/ Connaissant la nature du mouvement, trouver par
une autre méthode les valeurs de A et B en fonction
des caractéristiques du mouvement.
A.FIZAZI
9.4
5
4/
4 x )! ')$
v )!
2 "
2
. ) )6 B A 2 v = Ax + B 13.
8) .
0 ) 7
/1
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4 , " 2
. , $ . /2
.
;
B A # 19 :
Univ-BECHAR
)
x ' ox
,4/
2
LMD1/SM_ST
70
Mouvements rectilignes
Exercice 4.10
Une pierre est lancée verticalement vers le haut depuis
le toit d’un immeuble avec une vitesse de
29, 4ms 1 .On laisse tomber une seconde pierre
4s après avoir jeté la première. Démontrer que la
première pierre dépassera la seconde 4s exactement
après que l’on ait lâché la seconde.
g = 9,8ms 2 .
:10.4
<
- ) 1) = )" >84
4s . .= )
?,
)13,/ 29, 4ms 1
/)6 = )"
/
< = )"
>81
)"
< = )"
@
.,4
. /)6 )/
. , ) 4s /)6 = )"
g = 9,8ms
2
Exercice 4.11
Un homme au sommet d’un immeuble lance une
boule verticalement vers le haut avec une vitesse
:11.4
=
< - ) 1) = )
1
" >84
A <
- =
' .
12m.s 1
12m.s 1 . La boule atteint le sol 4, 25s plus tard.
.)!$81
4, 25s .
1/ Quelle est la hauteur maximale atteinte par la
boule ?
(=
B &8 # * < 0)
@ ) /1
2/ Quelle est la hauteur de l’immeuble ?
(= ) .
@ % /2
3/ Avec quelle vitesse atteint-elle le sol ?
=
)! % ,' #
#@ ) /3
g = 9,8ms 2
(A <
2
g = 9,8ms
Exercice 4.12
L’unité de longueur est le centimètre, l’unité de
temps la seconde.
Une automobile se déplace en mouvement rectiligne.
Son accélération est donnée par
a=
2
1/ déterminer la nature du mouvement, écrire son
équation horaire.
2/ calculer toutes les constantes qui caractérisent le
mouvement,
3/ montrer que x peut s’écrire sous la forme :
).
Exercice 4.13
Un corps est animé d’un mouvement rectiligne dont
l’accélération est donnée par a = 32 4v ( avec
comme conditions initiales x = 0 et v = 4 pour
t = 0 ).
Trouver v en fonction de t , x en fonction de t et
x en fonction de v .
A.FIZAZI
#@
x , tel C )!
4
que , à la date t = 1s , on ait l’abscisse x = 4cm et la
1
vitesse v = 2 cm.s .
x = X m cos ( t +
:12.4
t = 1s
=
)
2
,. .
*
#$
/
#@
4
5
2
, =
. /)6
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4/
a=
x = 4cm
2
4
x
')
. v = 2 cm.s 1
. /
)! ). 7 2
. ,
/1
2
# ; 6
7
/2
:
x )
/
/3
. x = X m cos ( t + )
:13.4
0 )
v=4
Univ-BECHAR
4
x=0
x
+
t
% "
4/
,
) a = 32 4v
.( t = 0 "
x 2 t
v "
.v
LMD1/SM_ST
71
Mouvements rectilignes
Corrigés des exercices 4.8 à 4.13
13.4
8.4
:8.4
/1
X
%! &
%!' %
#$
%! &
.
/2
t = 1,8s %! &
* t = 2.8s
() '
2, 2 s t 2,8s :
. t = 1,8s t = 0,8s
!
. t = 0,3s , t=2,8s , t=3,2s + &
,'
. t = 1,8s & /
t = 0,8s :%! &
v=
(
v m.s1
x
t
&
!0
)
:%
2m.s
v = 10, 62m.s
. t = 2.8s t = 1,8s
% #$
$ ! /3
- . /4
'
/5
+
/6
1
0, 2s
1
v = 3, 75m.s
1
v = 5ms
1
v=0
0
!' -
t (s)
v = 15ms
1
:)
1 t 1,8s , vmoy = 0
1s t
1s t
1,5
= 1, 25ms 1
1, 2
1,5 9 + 2
=
= 2, 25ms 1
2
2, 2 s , vmoy =
3s , vmoy
:9.4
2v
dv
dx
=A
, 2v.a = A.v
dt
dt
.
:' '
8 ! 97
v = at + v0
A.FIZAZI
a=
A
:%
2
'
%3 -!0
-& '
'
!0
.
) 1 2 /1
+' 4 5
%6 '
%6 7 ' /2
v = a t + v + 2a.v0 .t
2
2 2
Univ-BECHAR
2
0
LMD1/SM_ST
72
Mouvements rectilignes
1
v 2 = 2a ( at 2 + v0 t ) + v02
2
v 2 = a (at 2 + 2v0 t ) + v02
x
( 2)
v = Ax + B
2
A=
(1)
2a.x + v02
a
; B=v02 ::
2
:+ !).
( 2)
(1) %! '. 0' ) '
:10.4
./ > / , OZ
: OZ
=
/
1 2
gt1 ;
2
z1 =
. A 9B %
.- & ' ; !<
A
6
!0
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4 4 ?@ ! 4 ;
' '
A .)B
z1 = 78, 4m
4 8 .' ! 4 ;
/ > ;
%6 :
1 2
gt2 +v0 t2 ; z2 = 78, 4m
2
/ > D9B .'
4 8 ( z = z1 = z2 ) . C
+ !).
:&
97
A
z2 =
#
.'
4 4
/
.$
%
) 0 )0
! 4
:11.4
DB
A
.; . D0 6 ' / > / , =
OZ
& > A
;
E ' .- & ' ; !<
!0
-.
v02 = 2 gh
v2
.( t = 4, 25s
h=
v02
2g
;
1 2
gt + v0 .t ;
2
!;
> / , )0
.
/2
z =37,5m
:F > I ;
v = gt + v0 ;
:
;
, h 7,35m
6 )F > ' A )
z=
@ /1
/3
- )
v=-29,65ms -1
( OZ
=!
%
– ; 2J )
:12.4
!
a=
2
4
x+
x
2
4
x = 0 :/ >
%
. !'!
. x = A cos
v= A
A.FIZAZI
2
sin
2
t+B
2
cos
2
2
t + B sin
t : !
2
!L
.
!0
t :
.
Univ-BECHAR
2 %
; $!
7 C
1 0 2 ' !&
!
$%6 & ? /1
!L
!6
.
AM
; ' :
LMD1/SM_ST
73
Mouvements rectilignes
:%3 !( '
t = 1s , x=4cm , 4=0+Bsin
B = 4cm
2
t = 1s , v=-2 cm.s -1 , -2 = A
x = 4 cos
2
t + 4sin
2
x = 4 cos
t
.
2
2
t + sin
!"
sin
2
x = X m cos ( t +
: 2 /
x=4
:!
t
)
.
'
(1)
2
2
:/
2
=4
2
A = 4cm
2
: 7 !'!
!0
.
!
% ' +' 4
: 2 /, !
x
0
!
+ !
97 -!B
/2
!J
)
L
2
2
cos t +
sin t
2
2
2
2
0'
.
'
% !
sin
4
= cos
4
2
%6
2
=
'
2
cos t.cos + sin t.sin
= 4 2 cos t.cos + sin t.sin
2
4
2
4
2
4
2
4
2
x = 4 2 c os
x = 4 2 cos
%! !0 /
2
2
t.cos
t
4
+ sin
2
t.sin
4
!
2
t
2
t
: 2 /
4
2
t
=
9A !
4
D)
%! !0'
@O
%! !
)
:
!A
x = 4 2102.cos
' %N - 0
( 2)
1
= X m .cos ( t +
2
X m = 4 2cm
rad :
1
2
t
2
!
. ; ' /,
(1) %! . 0' ) ' # 9
: ( 2)
x = 4 2 cos
= 4 2 cos
4
x = 4 2 cos
A ?@ % %M
4
%N
.
: 44
=
) 2
2
rad .s
1
:"
/3
.
( m)
:13.4
:/ >
%
!L
v + 4v = 32
4
v = Ae 4t +
32
.
75
; ' %6 & ?
a = 32 4v
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
: 2 % AM
LMD1/SM_ST
74
Mouvements rectilignes
t = 0 , v= 4 , 4= Ae0 +8
: !( '
A=-4
:
dx
= 4e
dt
4t
+8
dx =
(
4e
x=e
4t
!
)
+ 8 dt
'
.
x=
(
4e
)
+ 8 dt
) 2 % B?) B +' 4
0=e 0 +B
: ( 2)
4t
+ 8t 1
(1) %! . %!'
v= -4e-4t +8
x=e
:+,-./*0 1 !
A.FIZAZI
4
1
8 v
ln
4
4
+ 8.
x = 2 ln
8 v
4
x=
1
x
( 2)
%
D9
' x #$% &'()$*
: (1) %
v
1
8 v
t = - ln
4
4
1 8 v
ln
4
4
!B
B= 1
:678 9: t
x=e
.
%3 =!
/
/
4t
!B
+ 8t + B
4t
: !( '
t = 0 , x=0
A +' 4
(1) : 7 %
v= -4e-4t +8
v=
) 2 P
8 v
4
: ( 2)
2 ln
8 v
4
F .
1
1
v +1
4
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
75
Mouvement dans le plan
/ C-IV
MOUVEMENT DANS LE PLAN
.
Y
/1
:
v
:
M
v
v
.( C ) !
$
:
M
r
j
O
(21.4)
OM = r = xi + yj
C
ur
u
%
: '(
X
i
.
(22.4)
OM = r = r.ur
:12.4+ ,
:)
ur = i .cos + j .sin
:!
OM = r = r (i .cos + j .sin )
. = g (t ) r = f (t ) : $
*
:
r
:
: $
(23.4)
v = r = xi + yj
ur
-
!. *, !
.
12.4
+,
:
ur = i .cos + j .sin
A.FIZAZI
j
;
Univ-BECHAR
:
i
-
!. *, /
u = i .sin + j .cos
u
(24.4)
LMD1/SM_ST
76
Mouvement dans le plan
: ' , 0
dur
d
d
d
= i .sin .
+ j cos . =u .
dt
dt
dt
dt
du
d
= i .cos .
dt
dt
:(25.4) - *
v =r =r
dur
d
=u .
dt
dt
d
d
= ur
j .sin .
dt
dt
du
d
= ur
dt
dt
*
dur
dr
+ ur
dt
dt
.
v=
dr
d
ur + r
u
dt
dt
: vr
v = r.ur + r. .u
v = vr + v
.
v
vr = r.ur
v = r. .u
- . 1 0
(26.4)
v = r.ur + r. .u
3
(25.4)
.
2
v = r 2 + ( r. ) 2
:
+*
$
a = v = r = xi + yj :
(26.4) - * % , :
.
:(25.4) - *
du
dur
+ r .ur + r. .
+ r. .u + r. .u
dt
dt
d
d
a = r.(u . ) + r .ur + r. .( ur
) + r. .u + r. .u
dt
dt
a = v = r.
7
7 *,
8' - *
+9
$
+ *
- * 4
56
:
a = r.u . + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u
a = (r r. 2 ).ur + (2r. + r. ).u
ar
:a
A.FIZAZI
(27.4)
a
.
ar
3
7
'
6 :
a = ar + a
(28.4)
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
77
Mouvement dans le plan
:!'( ; ,
a = (r
(29.4)
r. 2 ) 2 + (2r. + r. ) 2
:
: !
7 *, <( = r = R = C te
(mouvement circulaire)
:.
v=R u
(30.4)
:7
7 *, - .
a = R. 2 ..ur + R. .u
;>?
56
:
:
7
;
2 (accélération normale)" #
$
A ,B
= a 4? @ . $
a N = ar = R 2u r
!(
@
;
ar = a N = R
2
.
%
(32.4)
"
A
. ,B
M
a = aT = R
(mouvement circulaire uniforme)
.
te
6 :
2
(accélération tangentielle)
a = aT = R u
<( = r = R = C
(31.4)
.
(33.4)
: #
-,
!
:
6
8
!(
:.
v=R =R
-
+:D
$ +
a = ar = aN = R
:(Frenet)
= MT
2 *
+,
A.FIZAZI
MN
!
.( rad .s 1 )
2
( )*+ "(
+ , 5*
= v .
6 : .!
=R
2
v2
=
R
(34.4)
$
.
.
aN = R
* '
*
=
7 *, +
.
MN
MT
Univ-BECHAR
. C * )
'
$
: '( 7
2
.ur
#
C
M
%( -
(35.4)
/2
1 D
@
'&
(C )
!(
. MT
!. *, u N
:0
.
uT
.
LMD1/SM_ST
78
Mouvement dans le plan
v = v.uT
(36.4)
a = aT + aN
:0 ( 7
: <( !
a = aT .uT + aN .u N
(37.4)
N
aN
a
(C )
uN
uT
M
( 5 * !( 7
aT
v
.
T
:13.4 + ,
: <( %
dv
dt
v2
aN =
R
aT =
v2
a = v.uT + .u N
R
( 5 * !( 7
.
v2
a= v +
R
*
2
2
!
(37.4)
* !
(36.4)
.
:8G HI8JA4 K2@L 1M NOPQRA4 S7 189:; <=>?@A4 B2CDEF4 8G ds 123 456
r = uT .ds
(38.4)
:8.4$
:
*
2
.cos 2
)
v=k
:
0
..
A.FIZAZI
4
7 *,
2
*
=a
v
Univ-BECHAR
.
v
*
-, I J .
v
6
a
)
.k > 0
0
LMD1/SM_ST
79
Mouvement dans le plan
v = .u +
.(!! C
6J
/
)
K
v =v +v :
.u
K
(
r
6 /
:
cos 2 ( / 2) = a
=
:v
v =
d
d d
=
.
dt d dt
5
.
. +9
2
+v
2
3:
v2 = k 2 .
2
3:
- .%,
a.cos( / 2).sin( / 2)
.
cos 4 ( / 2)
:!'(
v = .
v2 = v
*
a
cos 2 ( / 2)
6
v =
C *
:$
'
= k 2.
0?
=
*
'?
: <(
.
L
*
0
a2
cos 4 ( / 2)
:; .
a2
a 2 .sin 2 ( / 2)
k . 4
=
.
cos ( / 2)
cos6 ( / 2)
2
2
a2
+
.
cos 4 ( / 2)
2
:0
+9
v =
sin 2 ( / 2)
k =
+1 .
cos 2 ( / 2)
2
= k 2 .cos 2 ( / 2)
v
a.k .sin( / 2)
cos2 ( / 2)
v =
A.FIZAZI
2
!
v
. !( (
2
= k .cos( / 2) : ;
'
I *
v = v.sin( / 2)
a.k
cos( / 2)
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
80
Mouvement dans le plan
**
EXERCICES
Exercice 4.14
Une particule se déplace dans un plan XY selon la
:14.4
XY
loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t .
3
Si le mobile se trouvait au point
(1, 2 )
. v y = 4t
à l’instant
(1, 2 )
!t = 0
t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en
. "
coordonnées cartésiennes.
Exercice 4.15
Une particule se déplace dans un plan
loi :
vx = 4
t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0
y
XY
) . a y = 3cos t
(
1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ?
t=
4
,( #-
s.
.t =
Exercice 4.16
Soit le mouvement défini par sa trajectoire
y = 3( x + 2)
y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 .
Sachant que
que
x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et
s croit avec la croissance de y :
1/ trouver les équations paramétriques
y ( t ) du mouvement,
x ( t ) et
2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération
tangentielle du mouvement.
x= 2
:y
xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées
x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j )
t=0
:
/1
!
s
4
. /2
)
'
:16.4
#
). s ( t ) = 2t 2
"
/
" s
x (t )
.#
2
# ! s ( 0) = 0
#
0
'
y=0
/1
!#
/2
2
:17.4
4
3
. y = 4t 4t x = 2t :1
' '
,( #!
/1
!
) 5 /2
!$' % ()
/ ' /3
2
'#
/4
!$
.7 8
. 9: ;
/5
2
2
Exercice 4.18
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
" 1
y (t )
Exercice 4.17
On donne les équations paramétriques de la
trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un
référentiel : x = 2t et y = 4t
4t
1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est
son allure ?
2/Calculer la vitesse du mobile,
3/Montrer que son accélération est constante,
4/Déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5/En déduire le rayon de courbure.
&'
ax = 4sin t
vx = 4 ! y = 3 ! x = 0
v y = 0 ! trouver :
2/ la valeur de la vitesse à l’instant
# $ %
:15.4
XY selon la
ax = 4sin t et a y = 3cos t .
Sachant que pour
vx = 4t 3 + 4t
6
:18.4
xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK
y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N;
varient avec le temps suivant la loi:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
81
Mouvement dans le plan
x = 2 cos
d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB
t
t
et y = 2sin .
2
2
1/ Déterminer la nature de la trajectoire,
2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v ,
ds
, ainsi
dt
que celle de l'abscisse curviligne s du point M à
l'instant
t , en prenant comme condition
initiale s = 0 quand t = 0 ,
3/ Déterminer l'expression de la vitesse
4/ Déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet,
5/ En déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le
point M
subit une accélération angulaire
d2
=
dt 2
= 0, 2t . A quelle date le point M
1
atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est
parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ?
t
t
< x = 2 cos : SE78_BH IFV
2
2
.g8FGBH ]>TNh i=V /1
l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2
ds
s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb <
]QXFBH mg8NQ i=V /3
dt
`pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH
l t = 0 8GB s = 0
?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4
lxJKXa
.y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5
jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6
d2
M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a .
= = 0, 2t €<H•
dt 2
`… 8; .SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l 10ms 1 ]QXw
†8„:>^R `:BH ]a8FGBH
. y = 2sin
Exercice 4.19
Une particule soumise à des champs électriques et
magnétiques complexes est en mouvement dans un
référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en
:19.4
m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP
]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a
t
t
t
t
b
b
.S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G…
coordonnées polaires : r = r0 e
et
= , 0 et
b
b
l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1
b sont des constantes positives.
1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule,
†]K<HeBH Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( v , u ) ]K<HeBH SM d‘Tq /2
2/ Montrer que l’angle ( v , u ) est constant. Que
l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM /3
vaut cet angle ?
Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K<HeBH SM d‘Tq /4
3/ Calculer le vecteur accélération de la particule,
l(2‹H’FB8q dT>:F7)†]K<HeBH
4/ Montrer que l’angle ( a , u N ) est constant. Que
.g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM /5
vaut cet angle ? (On se servira de la question2),
5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
uT
u
M
u
uN
O
Exercice 4.20
Un bras OA tournant avec une vitesse
A.FIZAZI
x
autour
Univ-BECHAR
'%
" )
'
:20.4
OA
LMD1/SM_ST
82
Mouvement dans le plan
d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB .
La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant
coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige
peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière
. AB 5 =. 1 A ) :<
'
- !O
' . .8"
' B ) :<
AB 5 =
OA ' =
# . Ox
3 ) 8" >
:< 9 ? .8"
AB
l’articulation en O .
Sachant que
AB = L
: OA = R
AB = L # . O
et OA = R :
A
) B #
"
/1
1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B ,
! t = 0 " ) A0
sachant que B passe en A0 au temps t = 0 ,
,)
6
$
4
/2
2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ?
Y
A
L
R
t
O
Exercice 4.21
Dans le plan
( XOY ) d’un repère
X
( O, i , j , k ) , un
P se déplace sur un cercle de rayon R et de
centre I ( R, 0, 0 ) .
point
A l’instant t = 0 ,
B
A0
(
! O, i , j , k
. I ( R, 0, 0 ) /"#
possède la vitesse positive
v0 ( 0, v0 , 0 ) .
On désigne par et les coordonnées polaires de P .
1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son
équation cartésienne.
repère
;
( ur , u )
( O, u , u , k ) .
r
3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en
A).
• Donner l’expression de s en fonction de
.
• Représenter sur la figure la base intrinsèque
(u
T,
u N ) de P .
• Calculer en fonction de
et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes de
v0 et a dans cette base.
• Calculer les composantes polaires de
. P B
(u
"
'
'
'
uT et de u N .
4/ On désigne par
la vitesse angulaire de P , dont
on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.
A.FIZAZI
T,
uN )
'
Univ-BECHAR
)
5 #
& 3 "
# /1
.
#
@)
#- 3 ) C% /2
0 8' 5
v )
) - $ %
(
. O, u r , u , k
. uN
'#
- F/
.
)
)6
:<
# /3
!
8 ' s @ ') ) •
@)
#- 3 ) C% •
0 .6
/
uT
'
!P B
Retrouver dans ces conditions les composantes
polaires de v0 et a .
lt = 0
' ) PB s
:( A
. 9: @ A 3 ) P
P
. P B ( ur , u ) '
" ' '
de P . Calculer en fonction de
et de ses dérivées
P B a 2
successives par rapport au temps les composantes
polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le
2/ Représenter sur la figure la base polaire
( XOY )
6
. v0 ( 0, v0 , 0 ) '
B' P B '
$ %
!@ A
'
.
0
)
R /
A ( 2 R, 0, 0 )
P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et
:21.4
8' 5 •
a v0 $ %
'#
5
•
•
. a
v0 B
" )
B' " /4
. ' % 1'
#
/ '
6%
') ! t 8 ' ) •
a
v
') ;
•
LMD1/SM_ST
83
Mouvement dans le plan
• Donner en fonction de t , les expressions de
puis
de .
• En déduire les expressions de v et a en fonction
de t de
.$
@ ).
v0 et a dans les bases polaire et de Frenet.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
84
Mouvement dans le plan
21.4
Corrigés des exercices 4.14 à 21.4
14.4
:14.4
:
( 4t
vx = 4t 3 + 4t , x =
3
)
+ 4t dt
v y = 4t , y= 4t.dt
t = 0 , x=1 , y=2:
Cx = 1 , C y = 2
: Cy
x = t 4 + 2t 2 + C x
y=2t 2 + C y
!"
Cx
x = t 4 + 2t 2 + 1 , y=2t 2 + 2
: #
: $
(
)
x = t2 +1
2
(
)
, y=2 t 2 + 1
"
%& '
y=2 x
:15.4
/1
:
ax = 4sin t
vx = 4 cos t + v0 x , x = 4sin t + v0 x .t + C x
a y = 3cos t
v y = 3sin t + v0 y , y = 3sin t + v0 y .t + C y
: Cy
t = 0 , x=0 , y=-3 , vx =4
C x * v0 y * v0 x )
!"
v0x = 0 , v0y = 0 , C x = 0 , C y = 0
, v y =0
: #
vx = 4cos t , v y = 3sin t
x = 4sin t , y = -3cos t
: $
x = 4sin t, y=-3cost
"
%& '
y 2 x2
+
=1
9 16
.
v = vx2 + v y2
A.FIZAZI
v = 16sin 2
4
+ 9 cos 2
4
v = 3,53ms
Univ-BECHAR
1
:t =
4
s
+
"
&
" /2
LMD1/SM_ST
85
Mouvement dans le plan
:16.4
v=
ds
: $
dt
&
-"
.
s ( t ) = 2t 2
"
$ y
1
x
2
,
/$ . v =
#
ds
= 4t :
dt
" ./$ -"
:
x = t 2 + t + x0
vx = 2 t +
y = t + t + y0
vy = 2 t +
2
(
v2 = 4
t +
2 2
2
+4
.t ) + ( 4 2 t 2 +
:
(
v2 = 4
2
+4
2
)t + (4
+4
2
)t +
'
2
+ 4 .t
3 45
+
2
)
+
2
v 2 = 4t 2
: $2
6 )/ )
(4
+4
2
(4
x0 = 2
)t
2
= 4t 2
)t = 0
= 0 ( 3)
+4
2
. y0 = 0
2
76
+
2
2
(1)
( 2)
18 "
*
=
( 3)
=0 : 8 "
: $
x= t
y = ( x + 2) = 3
(
2+2
t2
)
y = 3 t2 = t2
2
2 , y= t
:
.
(5) :
y = 3 t2
=3
/#
( 4)
2
"
( 5)
<
4
+4
2
2
=4
& x 9:
( 4)
(1)
; "
: /#
=3
4
: ( 4)
2
+4
2
&9
=4
*
x=
=±
2 2
t
5
2
,
5
2
= ±3
/2 > #
2 , y=3
2
5
y
=
s
1
2 2
t
5
:17.4
t=
1
x
2
y = x2
2x : y
&
?/ : "
.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/1
"
LMD1/SM_ST
86
Mouvement dans le plan
:
vx = 2
v y = 8t
"
v = vx2 + v y2
4
=A
(8t
v=
:
dvx
=0
dt
dv y
=8
ay =
dt
dv
dt
a = 8ms
( 8t
1
:@
" /2
:@
B " /3
"
B " /4
)
C
= C te
2
" B
8 ( 8t 4 )
aT =
(
2
" B
:
aT =
C
4 ) + 4 ms
"
ax =
B
"
( ms )
2
4) + 4
2
:; "
aN2 = a 2
aN =
aT2
16
( 8t
+
( ms )
2
4) + 4
2
:D
aN =
2
v
r
, r=
2
v
aN
(8t
r=
B "
4) + 4
2
16
<?
/5
3
( m)
:18.4
* ?
#$
&
O
E 2
E
! " $ @:
@/ *
<
=:
"
"
. x2 + y 2 = 4
:
vx = sin
t
t
, v y = cos ; v 2 = vx2 + v y2
2
2
:
)
.R = 2
" B
/2
"
ds
= 1ms -1
dt
ds
"
v=
dt
/3
v =t +C
s=t : $
C = 0 %& s = 0 * t = 0
:B "
A.FIZAZI
/1
v2 = 1 , v =
,
s = v.dt
?/
Univ-BECHAR
"
& 1
" C
/4
LMD1/SM_ST
87
Mouvement dans le plan
1
t
1
t
; a 2 =a x2 + a y2 = 0, 25ms 2
cos ; a y =
sin
2
2
2
2
dv
aT =
= 0 , aN = a 2 aT2
aN = 0,5ms 2 :)
dt
ax =
v2
R=
aN
=
d
= 0, 2t :
dt
" C
"
v = R = 0,1Rt 2
10 = 0, 2t 2
&"
-"
=
/5
B " /6
; " ;
"
%& '
C = 0 %& * s = 0 * t = 0
& 1
v = 0, 2t 2 :
4
t = 7,1s : +
:
< &
<?
= 0,1t 2 + C : $
= 0,1t 2 :; "
:
R = 2m :D
"
= 0, 2t.dt
&3
& 10ms
&
"
0,1 3
0,1
3
t , s=R =
.2. ( 7,1)
3
3
" F "
s
G
" H
"
2
23, 9m
:19.4
:@:
r = r.ur =
v=
"B
r0 bt
e .ur ;
b
dr
= r.ur + r.ur
dt
=
t
b
v=
-"
&
ur = .u
;
)
u =
;
t
r0 bt
r
e .ur + 0 .e b .u
b
b
:
v .u = v.u .cos
r0
e
b
t
b
(
ur + u
=
cos
-"
/2
)
4 J " (v, u ) =
" D 2 I
/1
.ur
v=
;
<6
? 4
v .u
v.u
: E
v
9
v
t
b
r0
e ( ur + u ) .u
v .u
b
cos =
=
v.u
r0 bt
e .u
b
ur .u = 0 ; u .u = 1 , u = 1
cos
.(
:(L
& E
(
a= r
r
2
$
)
3
(
ur + 2 r + r
)
)
(v, u ) =
) E2 LM
E u
"
u
a=
a=
A.FIZAZI
1
=1
u
=
" B
r0
e
b2
t
b
r
2 02 e
b
t
b
Univ-BECHAR
r0
e
b2
C
t
b
ur +
= 0 ; v // u
v
1
K
B " B
2
r0
e
b2
-"
t
b
2
/3
u
u
LMD1/SM_ST
88
Mouvement dans le plan
:
4 J " ( a , uN ) =
" D 2 I
a.u N = a.u N .cos
a.u N
a.u N
=
cos
: E
cos
%& '
* v = v.uT
1
=
r0 bt
e .u .u N
u .u N
b
=
t
uN
r
2 0 e b .u N
b
;1 E2 LM E u
2
a.u N
=
a.u N
* ( v = v.u )
/4
-"
:
a
9
a
(1)
1 ( 2)
v
P"
!" :
&
uT
1
u
u = u .uT
=0
cos
=
2
u uT .u N
: (1)
uN
=
cos
rad
a
& u
G 9:
%& uT .u N = 0
uN
1
:20.4
:; "
$ B
2
(
AB = OB OA
AB 2 = OB 2 + OA2 2.OA.OB.cos t
L2 = x 2 + R 2 2 Rx cos t
M
(
L2 = x 2 + R 2 sin 2 t + cos 2 t
(
L2 = ( x R cos t ) + R 2 sin 2 t
2
Y
)
+
x = R cos t + L2
)
2 Rx cos t
R 2 sin 2 t
)
1/ 2
A
L
R
t
B
A0
O
X
.t = 0 :
dx
= R
v=
dt
+ 6 /1
1
2
sin t +
R sin 2 t
(
2 L2
R 2 sin 2 t
)
1/ 2
x= R+L : 1 C
:
"
)+
:
" 3
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
/2
1 -"
"
LMD1/SM_ST
89
Mouvement dans le plan
v= R
sin t +
sin t +
R sin 2 t
(
2
2 L
R sin 2 t
(
2
2 L
2
R sin
2
t
2
)
1/ 2
R sin t
=0
)
1/ 2
=0
.t = k .
t=k
:21.4
IP = OP OI
R2 = R2 + r 2
Y
uT
u
P
y
r
=2
O
I
r 2 = 2 R.r.cos
u
s
uN
R
+ 6 /1
: 1
2 R.r.cos
x
r = 2 R.cos
A0 X
: $3
/#
r = 2 R cos
r 2 = x2 + y2
x
cos =
R
x2 + y 2
x2 + y 2 = 2R
:=A
B
2 R.x = 0 :3
x
R
3
C
.
B "
P
"
)
3
/2
-"
r = OP = r.u
:
A.FIZAZI
" B
Univ-BECHAR
3
"
5 C
LMD1/SM_ST
90
Mouvement dans le plan
dr
= r.ur + r u
dt
r = 2 R cos
v=
v = 2 R .sin .ur + 2 R .cos .u
r = 2 R sin
v = 2R
(
sin .ur + cos .u
:B " B
dv
= r
dt
r = 2 R cos
(
a=
r
2
) .u + ( 2r
r
r = 2 R sin
r = 2R
(
sin +
2
cos
"
C
)u
+r
)
(
L
+1.
(1)
3
)u
a = 2 R 2 2 .cos + .sin
* 3
:
)
LM
r
+ 2R
(
.cos 2
1 :3
I4
Q 45 ? A ; "
E"1 =
2
sin
)u
( 2)
/3
•
:
s 3
" $
4 $ >/
& E"1 = $ #
s = AP = R. = 2 R
=2
.
P R
(u
T,
( 3) :
v = v.uT = 2 R .uT
uN )
•
/ 3
•
" B
a = aN + aT
v2
u N = 4 R 2u N
R
dv
aT = uT = 2 R uT
dt
aN =
3
M
a = 4R
3
u N = cos .ur
2
u N + 2 R uT
aN
( 4 ) :B "
•
"
aT
& B "
"
2
:
)
,
:8 "
( 4)
( 3)
2,
/ 3
sin .u
uT = sin .ur + cos .u
: ( 2)
A.FIZAZI
(1)
"
Univ-BECHAR
&9
LMD1/SM_ST
91
Mouvement dans le plan
v = v.uT = 2 R . ( sin .ur + cos .u
) = (1)
:
(
a = 2 R 2. 2 .cos + sin
) .u
r
+ 2R
(
cos
8 & 3 45
2
.
=2 = t
=
t
2
: $ t 3
64 P
2
sin
? 4
=
& 9
1
2
= ( 2)
1 G
<
"
2
:B "
a=
2R
2
.cos
A.FIZAZI
2
.u N
: % & '
1
•
( 3) , ( 2 ) , (1)
(%
t
t
.ur + cos .u
2
2
2
t .ur
R
2
.sin
( 4 ) , ( 3) & 9
a=R
3
"
( 4)
( 2 ) , (1) & 9
sin
•
t : E&
: E
v=R
" /4
)
r = 2 R cos
)
) .u
./$ +
:('
2
t u
)
) '
(%
v = R .uT
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
92
Mouvement dans l’espace
/D-IV
#
MOUVEMENT DANS L’ESPACE
!"
.
#
(étude du mouvement en coordonnées cylindriques)
$
% #
$
/1
:
(14.4 ( ) :
M
Z
z
z
z
uz
M
O
X
m
XOY
u
(t )
OM
u
Y
m
(t )
z (t )
(u , u , u z )
(i , j , k )
u = cos .i + sin . j
u = sin .i + cos . j
uz = k
OM = Om + mM = .u + z.u z
(40.4)
OM = i . .cos + j . .sin + k .z
(41.4)
.(6.3) *
ds 2 = d
#
$ 45
;2 /<
A.FIZAZI
6
0
7
,
+ ,
:*
2
+
2
*
-". /
! 2
1
d
2
+ dz 2
(42.4)
:
8 ( 9 ( :
+
= 5 / 1> . 4
Univ-BECHAR
0
$
.
%
LMD1/SM_ST
93
Mouvement dans l’espace
7
uz = k / 6 "
=5 #
u
@
.
7
/?
.
./
r = .u + z.u z
:
v=r=
du
du
dt
dt
(v )
( vr )
+
a=
5 ( *
:#
2
+ / 0 A
$
5
*(
(44.4)
9 (A
:
+ 5 +2
du
du
dv
= .u + .
+ . .u + . .u + . .
+ z.u z
dt
dt
dt
a=(
1+5 2
.
2
(25.4) *
a=(
(31.4)
/
).u + ( . + 2. . ) u + z.u z
:
A.FIZAZI
5
+ ( . )2 + z 2
1+5 2
: ,B *
8
(43.4)
% #
v=
dz
dt
.u + z.u z
:*
:8
dt
+ uz
(25.4)
v = .u +
. ( vz )
du
dr
d
=u
+
dt
dt
2
.
*
).u +
(45.4)
( 1+5 *
1 d
(
dt
2
B0
Univ-BECHAR
=
/
. ) u + z.u z
(46.4)
= R = C te
z=0 /
. 0
,
">
LMD1/SM_ST
94
Mouvement dans l’espace
. ( az )
(a )
( ar )
(étude du mouvement en coordonnées sphériques):
:#
8
+ / 0 A
/2
(15.4 ( )
:D
;
6
7
/< : 0
".
r (t )
OM
OM = r = r.ur
(t )
(47.4)
(t )
: (i , j , k ) (ur , u , u ) * 5
( /
17.4 # D
18.4
E"
ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k
u = sin .i + cos . j
u = cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
r
u
u
u
:*
1
! 2
$
(48.4)
ds 2 = dr 2 + (r sin .d ) 2 + (rd ) 2
= (OX , Om) / 0 A : B A
> ;
. ". = 5 F G 7@
v = r = r.u r + r.u :7
:1+5 2
A.FIZAZI
0
@ D
A/
1+5
= (OZ , OM )
8 ( * 5 9( :
* @ *
:0 : u 8 ( 9 (
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
95
Mouvement dans l’espace
ur =
i.cos cos + j cos sin
+ sin
k sin
i.sin + j cos
u
u
ur = .u + sin .u
:5
8 (
B *
:/ !
1> 2 H
v = r.ur + r .u + (r sin ) .u
:5
v = vr + v + v
/ +
:
1>
M
2
8 (
v=
7
/
.
(t )
5
#
1+@
dr
d
d
ur + r
u + r sin
u
dt
dt
dt
(
I
8 (
* (
(t )
8 (
*
r (t )
#
(49.4)
* 5 (ur , u , u )
#A
+ v
@
vr
v
.5
:8
* 5 1> 2
a=
9 (A
dv d
=
r.ur + (r sin ) .u + r .u
dt dt
a = a2r + a2 + a2
a = ar + a + a
:@
-". /
:
J /
a = (r
!
r.
2
( r. + 2r .
5
r.
r.
2
8 (9 ( @
+
.sin 2 ).ur +
2
.sin .cos ).u +
(50.4)
( r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos )u
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
96
Mouvement dans l’espace
@ :
1> 2
(t )
.a 8 (
(t )
#A
r (t )
8
8 (
6"
#
+ a
.
ar
a
:9.4 "
7
8 (
% #
a, b, c /
+5 OM = a.u + bt.k ;
$
=ct
./
. OZ
+
M
*
(
dOM
d
=v =
au + btk
dt
dt
du
dt
+ bk
:K
OM
A 8
8 ( 9(
:"
/1
5
v
)
v = a. u + bk
= ct 2
= 2ct
v = 2actu + bk
v = 4 a 2 c 2t 2 + b 2 : 5
:5
=
dv d
= (2act.u + bk )
dt dt
= 2ac
t. .u + u
. @ #
/1
/2
5
D ;2
$
:7
v =a
2
= 2ac
= 2ac
d
(t.u )
dt
8 (*(
8 ( 9( 8
= 2ac t.
t.2ct.u + u
du
+ u .1
dt
2ct 2 .u + u
= 2ac
:8
8 (*(
= 2ac 4c 2t 4 + 1
:(rayon de courbure) (=
= 2 = ct 2
:
A.FIZAZI
$
D ;2
t=
c
=
.(!!! " $
2
c
)
:
0 8
" %
Univ-BECHAR
$
/2
D ;2
: +
/
&' ( ) *
*
H
:
! )
LMD1/SM_ST
97
Mouvement dans l’espace
R=
v2
;
N
2
=
2
T
;
N
T
dv
4 a 2 c 2t
=
=
dt
4 a 2 c 2t 2 + b 2
R(t ) =
v
2
N
R
A.FIZAZI
2
c
dv
= !!!!!
dt
( 4a c t
2 2 2
=
+b
N
2
)
3
=
(
2ac(128a 2c
3
(
)
3
1
2
2
+ b 2 1 + 16
Univ-BECHAR
a 2c 2t 2 + b 2
2
2ac(16a 2c 4t 6 + 4c 2b 2t 4 + b 2 )
8 a 2ct 2 + b 2
= 2ac
16a 2c + b 2
2
)
)
1
2
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
98
**
EXERCICES
Exercice 4.22
On donne les équations du mouvement d’un point
(
M dans un repère O, i , j , k
:22.4
M
):
1
3
x = bt 2 , y = ct , z = bt 2
2
2
Où b, c sont des constantes positives.
1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs
modules.
2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m
qui représente la projection verticale du point mobile
M sur le plan XOY .
(
: O, i , j , k
1 2
3
bt , y = ct , z = bt 2
2
2
.
c, b
. !
" #
$ #
% /1
# '
m
#
&
/2
. XOY ) #
$
M
(
x=
Exercice 4.23
Soit la trajectoire définie par :
:* +,
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la
trajectoire.
2/ Si
est le vecteur position d’un point se
déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas
x = R cos
; y = R sin
, z=h
R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel
est tracé l’hélice, h est une constante et
l’angle que
fait avec OX la projection OM ' de OM
sur XOY .
1/ Donner en coordonnées cylindriques les
expressions de la vitesse et de l’accélération.
2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan
XOY un angle constant.
3/ Montrer que le mouvement de rotation est
uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe
du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le
rayon de courbure.
. #
$
4/&
#
12
% 5
T .
" " - &
6 t 3
% /1
/0 /2
C #
. v = v.T
:24.4
1 OZ
'
8
7
#
#
: &
7 9
x = R cos ; y = R sin , z = h
#
#:
; +< ' R
! <
7
h 6 7
! $
. XOY $ OM * OM ' # OX
$ #
$
#:
=
$0 /1
." #
1
7 1 < $ # " - % , /2
. XOY ) #
" - %
6 3
% , /3
) # (7
#:
, " #
.>
; +< ?# % . XOY
Exercice 4.25
Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi :
x = R cos t ; y = R sin t , z = t
Où ,
, R sont des constantes positives.
1/ Soit m la projection de M dans le plan XOY :
A.FIZAZI
:23.4
C #
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
v = v.T .
Exercice 4.24
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe
OZ .
Ses équations horaires sont :
)
Univ-BECHAR
:25.4
:
5 > 2@
A,
'
x = R cos t ; y = R sin t , z = t
.
, , R 9:;
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
99
a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans
le plan XOY ?
b/ Quelle est la nature du mouvement de m
suivant l’axe OZ ?
c/ En déduire la nature de la trajectoire du
mobile M .
2/ dans le système des coordonnés cylindriques :
OM et
représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de
: XOY ) #
M
B XOY
m
B OZ
5 m
.M A
#
:
#:
'E
OM 12
" .> 2@
M
.$
a/ écrire l’expression du vecteur position
l’espace.
b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi
que leurs modules. Déterminer leurs directions puis
les représenter en un point de l’espace.
d/ en déduire le rayon de courbure.
Exercice 4.26
1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de
la base
(u , u
)
,u
r
en coordonnées cartésienne,
6M * " #
$ #
.> 2@
$ !
. !
.>
(u , u
,u
r
2/
Montrer
( ur , u , u
)
(
a= r
r
(
+(r
que
.ur + cos .u
l’accélération
)
dans
+ r + 2r
r
2
sin
2
r
2
)u
r
la
base
sin + 2r .sin + 2r
r
) , un point
,u
)u
)u
d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées
sphériques sont:
(
)
6
rad ,
(
+(r
+
cos
= t2 ,
(u , u
r
&
(u , u
r
,u
2
r
2
)u
r
/2
% &
+
)u
sin .cos
sin + 2r .sin + 2r
+
cos
)u
:27.4
)
=
H #
(
=
" #
sin 2
r
)
.ur + cos .u
) .$
)
6 = OZ , OM =
12
4/!
,u ) ,
b/ calculer les modules de la vitesse et de
l’accélération,
d/ en déduire l’accélération normale.
2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur
position en coordonnées cartésiennes :
a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la
A.FIZAZI
2
; +< .
Avec
constante positive.
1/ Partant de l’expression du vecteur position en
coordonnées sphériques :
a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile
dans la base
r
,u
+ r + 2r
M se déplace sur la surface
= OZ , OM =
r
(
Exercice 4.27
Dans le système des coordonnées sphériques
(u , u
(u , u
:?
a= r
+
sin .cos
( sin
u =
s’écrit :
2
) =>?@ABC =>;CD EFGH ICJ@K? LM @NOPQC /1
ur = .u + .sin .u
ur = .u + .sin .u
( sin
; +< D #0 /C
;F
E G 6 ERS:TJ@UBC I@:VC>;W@X
u = .ur + .cos .u
:
.ur + .cos .u
u =
% /?
! ! ,
:26.4
s’assurer des expressions suivantes :
u =
# m
/1
# & /
" & /?
$ D #0 /C
=
/2
. $ ? % /
$ (u , u , uz )
$ M
: &
6
&
A
0 .R
= t2
rad ,
.?
" - . $
1
;F
/1
:
$ #
% /
6 ( ur , u , u ) . $
" #
6" #
12
$ #
?# % /?
. 3 " # D #0 /C
" - . $
.
4/& ;F
/2
:
I=
(i , j, k ) . $
Univ-BECHAR
" #
$ #
%/
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
base
100
( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules
D8
et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la
question 1/b,
3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la
représenter qualitativement,
b/ Quelle est la nature du mouvement du
point M ?
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
1
!
. @
G
#
' BM
BM
!
?#
6?/1 ' J#
# & / /3
/?
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
101
Corrigés des exercices 4.22 à 4.27
27.4
22.4
:22.4
/1
:
1 2
3
bt .i + ct. j + bt 2 .k :
2
2
r=
:
x = vx = bt , y = v y = c , z = vz = 3bt
v = bt.i + c. j + 3bt.k
v = 10 ( bt ) + c 2
2
;
:
x = ax = b , y = a y = 0 , z = az = 3b
. y (t )
a = b.i + 3b.k
x (t ) " "
x=
a = 2b
;
" !
1 2
bt
2
t=
"
#$
/2
!
:m
2x
2x
, y=c
b
b
:23.4
(v =
v=
d
dt
&
/1
'
dr
= i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k : &
dt
v = 36 + 64
v = 10m.s 2 :)
:v
*
" C
'
v
3
3
4
sin 2t.i + cos 2t. j + .k
=
v
5
5
5
d
v=
/. t - '. M
dt
*"
T +!
T=
dr
= i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k
dt
3
3
4
sin 2t.i + cos 2t. j + .k
v = 10
5
5
5
v=
v = 10.uT = 10T
$, /2
&
v = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k
v = v.T
:24.4
OM = r = .u + z.u z :
" "
v=
A.FIZAZI
0 1 "2 ! 3
dOM
= .u + .u + z.u z :
dt
Univ-BECHAR
45
/1
6
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
102
=R
=0
u = u
v = R u + h uz
z=h
d 2 OM
= v = R. .u + R. .u + h. .u z :
dt 2
a=
=0
u =
8
9:
&
a = R. 2 .u + R. .u + h. .u z
.u
" '
OXY )
"
( OXY 7
) " u
/2
8 " ' "
)
OXY )
, . 3 (
. u uz
/. *"
u
v
Z
v
uz
=R
z
u
vz
uz
M
u
r
M
y
O
x
Y
M'
u
X
)=
vz
h
=
v
R
. a = R. 2 .u
' " u .
0
. OXY 7
=
tg ( v , u
7
r=
a=R .
2
2
2
+ h2 .
2
tg ( v , u
= Cte
: " *< 4 !< ="
)
*4
v2 v2
=
aN
a
v2 = R2 .
A.FIZAZI
uv
r=
R2
2
+ h2
R
2
Univ-BECHAR
)=
h
= Cte
R
4 ' " $& ( " !
/3
)
)4 u ; )
a
> !" $8. u ; )
a 4
( OXY
: $, ( )
4 &
2
, r=
R2 + h2
,
R
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
103
:25.4
#$
?$8
+ @ ! XOY '. m
!
. XOY 7
'.
x + y = R : y (t )
x (t ) " "
.R &
"
4 :" z = .t "
)4 " A
"
:"
2
." A
.'
-
2
r = OM = .u + z.u z
v = r = .u + .u + z.u z
v = R .u + b.u z
u = .u = R .u
a = R .u
u =
a= R
.u = R .u
/. * E 4
2
.u z
,
v = R2
,
a=R
2
+ b2
2
8
"'
"
vz
b
=
v
R
=
.) @ !
*D
)4 )
:F
8.
3
4
/B
A#
2
v
aN
aN2 = a 2
aT2
a =R .
2
2
T
2
aN2 = R 2 .
+b
(R .
4
2
2
+ b2
2
=R
u
R2 .
2
(
+ b2
2
2
)
1
b2
uz
u
r
X
R2 .
vz
M
x
r=
v
uz
z
O
)
v
Z
A.FIZAZI
/ /1
m
:u
tg
r=
5
" !
"
A#
( 0, 0 ) &
/
!
( OZ
"
& C:
/B
0 1 "2 ! 3 D '. /2
/
r = OM = R.u + z.u z :
:M
/
2
uv
M
y
Y
M'
u
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
104
:'& " "
(u , u
1 "2 ! 3
r
)
,u
:26.4
+!
+!
/1
41
ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k
u = cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
u = sin .i + cos . j
:u +
ur = cos .cos .i
ur =
.sin .sin .i + cos .sin . j + .sin .cos . j
cos .cos .i + cos .sin . j
sin .k
sin .k
sin .i + .cos . j
.sin .
u
u
ur = .u + .sin .u
:u +
u = sin .cos .i
u =
sin .sin . j + .cos .cos . j
.cos .sin .i
sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k + .cos .
cos .k
sin .i + .cos . j
ur
u
u =
.ur + .cos .u
:u +
u =
.cos .i
u =
.sin . j
(1)
. cos .i + .sin . j
....
:
cos
'. " 2
( sin '.
0
.u
ur .sin = sin 2 .cos .i + sin 2 .sin . j + sin .cos .k
u .cos = cos 2 .cos .i + cos 2 .sin . j
'& 1 " D" ?$&
,!
u '
cos .sin .k
( 2)
( 3)
:6 ". " !"!D
" !
D
ur .sin + u .cos = cos .i + sin . j
(1)
:9
u =
.[sin .ur + cos .u
:"
u +
'. G H
]
1 "2 ! 3 '.
+
:
/2
&
+
v = r.ur + r. .u + r. .sin .u
:
I 5
a = r .ur + r.ur + r. .u + r. .u + r. .u + r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .u
: /1 '. +! D
a = r .ur + r.
.u + .sin .u
8
+ r. .u + r. .u + r. .
r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
H
u , u , ur
.ur + .cos .u
+
.[sin .ur + cos .u
]
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
105
:
a= r
2
r.
. + "J0
.ur + r.
r. 2 .sin 2
.u + .sin .u
!
5- 52
+
r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos .u .u +
r. + 2r.
r. 2 .sin cos
.u
27.4
r = OM = r.u :
/1
1 "2 ! 3
v = r.ur + r.u : D KE '.
r = R = Cte
" "
/
r =0
ur = .u + .sin .u
= Cte
=0
= t2
=2 t
v = R t.u
:1 "2 ! 3
L KE
v = R t.u
a = R .u + R t. (
a = v = R .u + R t.u
u =
a=
.[sin .ur + cos .u
]
.R t sin .ur R .u
.[sin .ur + cos .u
a= R
.R t cos .u
2 2
t .ur
3.R
])
t .u + R .u
2 2
v=R t :
"
"
:
a=
(
R
2 2
t
) +(
2
a=R
3.R
4
)
2 2
t
2
+ (R
)
2
t +1
2 4
:' a =a
2
N
2
/
/B
2
T
a
dv
=R
dt
a2 = R2 2 4
aT =
aN = 2 R
2 2
t
t +1
2 4
:" "
/2
1 "2 ! 3
OM = x.i + y. j + z.k
1
R cos t
2
1
y = R sin sin = R sin t
2
3
z = R cos =
R
2
x = R sin cos
A.FIZAZI
=
OM = r =
Univ-BECHAR
1
1
R cos t 2 .i + R sin
2
2
2
t. j +
3
R.k
2
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
106
(
: i , j, k
)
+!
'.
/
v = r = R t sin t 2 .i + R t cos t 2 . j
a=v =
R sin t 2
2R
t cos t 2 .i + R cos t 2
2 2
2R
2 2
t sin t 2 . j
:
v=R t
a=R
;
1+ 4
. /1
=
"
2 4
t
D"
"
/3
:
x2 + y 2 + z 2 = R2
x2 + y2 =
3
z=
R
2
4 . 0, 0,
3
R
2
R
&
2
&
.+
" @!
$
A#
1 2
R
4
+ @! 5
M
+ @! *.
O * A
2
+! ( ) @ !
$, (1 2 '
4 $&
6
J 5 " 8.
:
" /4
.5 "M
Z
3 O' R/2
.R
2
O
Y
R
X
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
107
Mouvement relatif
B B B /E-IV
BBB BB
MOUVEMENT RELATIF
/1
:
:
.
!
"
!
+ %' , .
)* '
( ) '
$ % &
/ 0
1
2
3
'
.!
2 4
%, $
5 !
3 6
+
7
7 "
1
.5
:
$ + - ) + 89 $ - :
3 : ;
/
<
%"
$
.(cycloïde)
. ?$
/
:
$
&/ 0
%' 1
,
'@
. 4
$
%,
/ 0 $
A
. OXYZ
:
$
%,
/2
16.4
B
A
; .O -
%,
Z
VB
B•
rB
rAB
rA
O
rBA
VA
VA
•A
VAB
VB
Y
X
:B B B
+
1C
VA =
drA
:%' O / 0
dt
. rAB = BA = rA rB D
+
A
7 VAB =
drAB
dt
::
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
108
Mouvement relatif
VAB =
:B A B
drAB drA
=
dt
dt
drB
dt
+
VB =
1C
VAB = VA VB
(52.4)
drB
:%' O / 0
dt
rBA = AB = rB
B +
7 VBA =
rA D
drBA
dt
::
drBA drB
=
dt
dt
B B
VBA =
+
%
+
;
drA
VBA = VB VA
dt
A + E
VAB = VBA
.A B
$
-
(53.4)
B
+
)+ 8
+
: F
a AB =
dVAB dVA
=
dt
dt
aBA =
3
B B
110km.h
:
1
%+
%, B B
-
- )+
.A I
dVBA dVB
=
dt
dt
A 6 E
dVB
dt
a AB = a A
(54.4)
aB
dVA
aBA = aB a A
dt
a AB = aBA
" '
.A B
B 6
(55.4)
:11.4
C
)+ B A
!
/1
A B
+
6 ; $$ .%
) + 90km.h 1
7H 9 3 %,
/
.
'
%,
/5
+
3
&
/2
F
B I
+
%' , 7 30°
:
6 ;
e H
+
. v AB = v A vB :%' B I
7(L L17.4 ; ) H 9 3
v AB = v A
A.FIZAZI
vB = 110e
90e
v AB = 20e
Univ-BECHAR
A I
F
+
v AB = 20km.h
+
/ /1
J, K e I$
:%
1
LMD1/SM_ST
109
Mouvement relatif
vB
vB
vBA
e
vB
e
vA
30°
vA
vA
: J, (L5L17.4 ; ) H
v AB = v A
9
F
vB = 110e
(
90e )
v AB = 200e
(LML17.4 ; ) 30° ' $
vBA = vB
(
vBA = vB2 + v A2
vA
(
v AB = 1102 + 902
- !
vBA
v
= B
sin 30° sin
sin
54,5km.h 1 +
B I
%, 5
F :
=
%
vB
sin 30°
vBA
B I
. 55,1°
3
%, $
1/ 2
v AB
sin
=
$ O -
- /2
-
)
1/ 2
, v AB = 54,5km.h
+
1
)
90
.0,5 0,82
54,5
'
.!
!
$$
:5
= 55,1°
+
H'&
/ 0
.%
%, : + 5
:
.
1
N A I
%, 5
%
'
F
) * (LML17.4 ; 5 )
54,5km.h 1 +
A I
N
.180 ( 30° + 55,1° ) = 94,9°
)*
1 ,.
'2 4
F
)
( /5
v AB = 200km.h
2v AvB cos30°
2.110.90.0,87
F
+
( Rr ) ( Ra )
$
/3
; )* /
(repère absolu) : Ra
(repère relatif)%
:R
%, (point matériel) $ - : M
.18.4
.
. -
A.FIZAZI
.
H
H
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
110
Mouvement relatif
.
z
M
Z’
(Ra)
k'
k
A
Y’
j ' (Rr)
i'
O
i
y
j
X’
x
%
:%
( Rr )
(Ra)
I U
-
$
:18.4
%, S?
H'
%,
( Ra )
i ', j ', k '
Ra %,
+
.:
/ 0
7 t =t'
9 F
9 .H$
I U8 & +
.%
5
/ 0
%,
T i , j,k
"
+
r = OM
dr
va =
dt
dv
aa = a
dt
r ' = AM
dr '
vr =
dt
dv
ar = r
dt
/ 0
./ 0
;
6
%, " , : ! "
%
' 7 F 3 0
< 7
$
' $
%, 9* 9
)
A ,9
%, H
1
' ' 7V "
:
18.4
: #$
;
/ 0
% #
(56.4)
OM = OA + AM
(
x.i + y. j + z.k = ( xA .i + y A . j + z A .k ) + x '.i '+ y '. j '+ z '.k '
OM
OA
AM
:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
)
% #
LMD1/SM_ST
111
Mouvement relatif
0
)+ 8
(56.4) I
F
;
:& +
1
dOM dOA
di '
dj '
dk '
dx '
dy '
dz '
=
+ x'
+ y'
+ z'
+i '
+ j'
+k'
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dOM dOA
di '
dj '
dk '
dx '
dy '
dz '
=
+ x'
+ y'
+ z'
+i '
+ j'
+k'
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
va
&
: ( Rr )
ve
vr
. ( Ra )
( Rr ) !
* ( Ra ) 9: M !
+
: va
(vitesse d’entraînement)
: ve
- +
' +
7 ( Ra ) *
T ( Rr ) 9: M & T $ *
M
+
va
M
%
M
( Rr )
-
-
(vitesse absolue)
+
-
va
ve = 0
&
+
ve = va
+
: vr
'
%
. ( Rr )
+
vr = va : ( Ra )
%)
+
+
vr = 0
(vitesse relative)
* ( Ra ) 9: M !
:%'
(57.4)
T0T & +
0
(58.4)
va = ve + vr
.
J, ( ve = 0 )
%+ ;
<
"
D
+
( Ra )
+
4
(9
%+ ; 6
$
3
-
( Rr ) ( Ra )
%
7
/ )
.M +
di ' dj ' dk '
=
=
=0
dt dt
dt
ve =
Univ-BECHAR
6 ;
: "
*
+
3
.( OM OA )
*
%, ( Rr )
ve J, 7 T i ', j ', k '
dOA
dt
:
A.FIZAZI
+
% #
LMD1/SM_ST
112
Mouvement relatif
1
0
)* 8
/
T
F
(57.4) I
;
:
&+
d 2 OM dva
d 2 OA
d 2i '
d2 j '
d 2k '
aa =
=
=
+ x' 2 + y' 2 + z' 2
dt
dt 2
dt 2
dt
dt
dt
d2x'
d2 y'
d2z'
'
'
j
k
+
+
dt 2
dt 2
dt 2
ar
+2
dx '.di ' dy '.dj ' dz '.dk '
+
+
dt 2
dt 2
dt 2
aC
-
6
+ i'
. ( Ra )
M
. ( Rr )
M -
( Rr )
)*
'
6
6
'
'
(59.4)
-
(accélération absolue)
(accélération relative)
ae
%
6
: aa
6
(accélération d’entraînement)
: ar
6
: ae
. ( Ra )
(accélération de Coriolis) (
'
)
%
6
: aC
:"
.(Gaspard Coriolis 1792-1843) 1832
:(
dx ' dy ' dz '
=
=
=0
dt
dt
dt
: ( Ra )
(I U
aC = 0 : ( Rr )
'
M
%, ( Rr )
) )
d 2i ' d 2 j ' d 2 k '
d 2 OA
= 2 = 2 = 0 ae =
dt 2
dt
dt
dt 2
di ' dj ' dk '
=
=
= 0 ac = 0
dt
dt
dt
)#
*
*
aa = ar + ae
:12.4
&
A.FIZAZI
H' 5 "
+
O . 8ms 1 +
2 50km.h
Univ-BECHAR
1
; ST & W +
I
% @ M F
LMD1/SM_ST
113
Mouvement relatif
:
ve
va
v
v
va
ve
va = ve + v r
vr = va ve
1
50km.h = 13,9ms 1
ve
(
vr = va2 + ve2
)
1/ 2
vr = 16ms
tg =
vr = va +
;
%, A X
.A X
ve
= 1,74
va
= 60,1°
O
ve
% $'
60°
30°
+
E
va
20.4ABCDE
S
16ms
': $
:5
23,6°
ve = va
A.FIZAZI
!
F
9: $
5
$$
7A X
+
7A X
%?
+
.%?
+
:
&9$
)* 8
sin
vr
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1
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$$
$ 9
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+
+
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ve = 2,52km.h
ve
sin 30°
'
.
ve = va 2 +vr 2 -2va .vr .cos30°
=
5
.
'5 -
I$; 5
va = ve + vr
vr
sin
1
:
N
v
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:13.4
(N60°O) 5 < 60° ; H 9 %,
&
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%?
+ 5
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1
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.V
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$$
= 23,6°
6 ;
%
'
LMD1/SM_ST
114
Mouvement relatif
. O 23.6°S
/4
:
:
:
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H
$$
$
v = R sin
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v = .R 1
R = r.sin
:
*
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v = .r.sin
r
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-
R
$
4
O / 0
$
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(60.4)
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r = x.i + y. j + z.k
A.FIZAZI
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6 ; :21.4 ;
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-
N / 0
O / 0
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6 ;I +
dx
dy
dz
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dt
dt
dt
Univ-BECHAR
r
(61.4)
LMD1/SM_ST
115
Mouvement relatif
7*$
O'
3
: "
/ 9) OX 'Y ' Z '
6 ;I +
; M -
r ' = r = x '.i '+ y '. j '+ z '.k '
I U
i ', j ', k ' I$
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3
O'/ 0
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dy '
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.i '+
. j '+
.k '
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-
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dt
dt
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+ z '.
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y '. j '+
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dj '
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+ y '.
+ z '.
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dt
dt
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r
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( 64.4 )
r
(63.4) $
Univ-BECHAR
%, A
(65.4)
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A.FIZAZI
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'
I$
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:
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O / 0
F +
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(63.4)
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(62.4)
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7O / 0
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)
J, %
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dz '
di '
dj '
dk '
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. j '+
.k '+ x '.
+ y '.
+ z '.
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
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$
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%,
LMD1/SM_ST
116
Mouvement relatif
+
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/
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J,
F
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T
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1
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dv y
d va
dv
dv
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+ k. z
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3
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$
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dvx '
dv '
+ j '.
+ k '. z
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dt
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:) + 8
7
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d va d v r
=
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dt
dt
;
dr
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(66.4)
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dv y '
dv '
dv '
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dk '
= i '. x + j '.
+ k '. z + vx '
+ vy '
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dt
dt
dt
dt
dt
dt
:) + 8
J, (64.4) $
)+ 8
T
dv y '
dv '
dv '
i '. x + j '.
+ k '. z =
v
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dt
dt
di '
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dk '
vx '
+ vy '
+ vz '
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dt
dt
dt
$
: J, :
d vr
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dt
(67.4)
v'
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dr
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dt
$
(68.4)
v
:D
va =
A.FIZAZI
dr
=
dt
Univ-BECHAR
(v
r
+
r
)
LMD1/SM_ST
117
Mouvement relatif
dr
=
dt
)+ 1-
aa =
(
vr +
%, 8 (69.4) $
M !
&+
1
. /
$
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dr
dt
(
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r
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(69.4)
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0
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%, ' 7 O ' O
aa = ar + 2
.
r
(
vr +
r
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(70.4) $
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(70.4)
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E
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d 2i '
d2 j '
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dt
dt
dt
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A.FIZAZI
Univ-BECHAR
OA = r '
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5 #
LMD1/SM_ST
118
Mouvement relatif
d 2 OA d
di '
dj '
dk '
d 2 OA d
ae =
x' 2 + y' 2 + z' 2 =
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dt
dt 2
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dt
dt
dt 2
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d 2 OA d
ae =
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dt
r'
d 2 OA d
ae =
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# ( Rr )
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(71.4)
D "
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va
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+2.
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dt 2
dt 2
aa
A.FIZAZI
ar
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d
dt
r'
:
r'
<
<
, - . / *!
#
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d OA
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+
+
dt
dt
dt
vr + ve
d 2 OA
: 2
dt
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% 0,1
C$ %
<
E
( Rr )
.
<
vr
,
(72.4)
AM
ve
ar +ac + ae
d 2 OA d
vr +
+
dt
dt 2
AM +
(
AM
)
(73.4)
ae
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
119
Mouvement relatif
**
EXERCICES
Exercice 4.28
28.4
1
En roulant sous la pluie à 100km.h sur une route
plane, un conducteur remarque que les gouttes de
pluie ont, vues à travers les vitres latérales de sa
voiture, des trajectoires qui font un angle de 80° avec
la verticale. Ayant arrêté sa voiture, il remarque que la
pluie tombe en fait verticalement. Calculer la vitesse
de la pluie par rapport à la voiture immobile et par
rapport à la voiture se déplaçant à 100km.h
dans
chaque
cas
la
80°
/*
!"
-
0
1
Exercice 4.29
On laisse tomber d’un immeuble de hauteur h une
bille sans vitesse initiale. La chute de celle-ci
s’effectue à la verticale selon un mouvement
uniformément accéléré d’accélération g .
1/ Quelle est la trajectoire de la bille dans un
référentiel lié à une voiture se déplaçant suivant un
mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v et
passant à la verticale de chute au moment du lâcher ?
2/ Quelle est la trajectoire de la bille dans le même
référentiel si on admet que la voiture entame au
moment du lâcher et à partir de la verticale de chute
un mouvement rectiligne uniformément accéléré
d’accélération ae ?
(représenter
demandée).
100km.h
#
!
1
. 100km.h
#
.*
$% & ' (
.) * +
. *+
$
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29.4
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3
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. 2
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/1
3
3 4
/2
!% 5
3
)3 $5 )@ )
trajectoire
Exercice 4.30
On considère dans le repère fixe OXY le système
de deux axes Oxy mobiles tel que l’axe Ox forme
l’angle avec l’axe OX . Un point matériel M se
déplace sur l’axe Ox , sa position est définie
par r = OM . Calculer :
1/ la vitesse et l’accélération relatives du point,
2/ la vitesse et l’accélération d’entraînement,
3/ l’accélération coriolis.
4/ En déduire la vitesse et l’accélération du
point M dans les coordonnées polaires.
Oxy
Ox
M
M
Exercice 4.31
Dans le plan
30.4
( OXY
@ 6
$5 &!
Ox
)3+ B
3
M 2
!4
. OX
:
. r = OM
5: & $
!
! 7
/1
:( 7
/2
>
37
/3
7
D ! = /4
.
@2 E
XOY , une droite OX ' tourne autour )
OX ' 8
2
de l'axe OZ avec une vitesse angulaire
=
) ! . =
@
constante. Un mobile M ( OM = r ) se déplace sur la
3
OX ' 8
droite OX ' d'un mouvement rectiligne uniformément
2
$5 . a 7
accéléré d’accélération a . A l'instant initial M se
.O
2& 8@
3
trouve en M 0 , au repos, puis s'éloigne de O .
!
&+
1/Déterminer les expressions littérales vectorielles
A.FIZAZI
1
Univ-BECHAR
31.4
XOY -
$5
OZ
M ( OM = r ) 4
8 ! 0 F
$5 M 0 $5 2( M
5
& : /1
LMD1/SM_ST
120
Mouvement relatif
des vitesses relative, d'entraînement et absolue de M .
Déterminer les expressions littérales donnant la
norme et la direction du vecteur vitesse absolue du
point M .
2/ Si l'axe OX ' est confondu avec l'axe OX à
l'instant initial, calculer les coordonnées du point M
à la date t = 3s . Dessiner les trois vecteurs vitesses à
cette date.
3/ Déterminer les expressions littérales vectorielles
dans une base polaire des accélérations relative,
d'entraînement et de Coriolis de M .
Déterminer les expressions littérales donnant la
norme et la direction du vecteur accélération absolue
du point M .
Dessiner ces vecteurs accélérations à t =3s.
Données:
OM 0 = 1cm ;
=
=
a = 2cm.s
5
2
.M
(
:
7 &+ 1(
3 <= /2
2 E
$5
. t = 3s
$5 @G@
&+ 8
5
&
: /3
!
@2 H
.M
$
5
&
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!
7
7 &+ 1(
$5 <
&+ 8
OM 0 = 1cm :
&
(02+ ) & $ & $
5
.M
!
OX
! OX '
$5 M
!
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.M
02 * $5
>
3
<
&+
(
(02+ ) & $ &
.M
.M
a = 2cm.s 2
;
rad .s 1 .
=
Exercice 4.32
Un disque circulaire de centre A et de rayon R roule
sans glisser sur l’axe OX avec une vitesse
angulaire constante. Au départ t = 0 , un point M
de la circonférence coïncide avec l’origine O .
1/ Quelles sont les coordonnées du point M au
temps t en fonction de , R et t ? En déduire la
nature de la trajectoire.
2/ Calculer la vitesse absolue et la vitesse relative en
précisant leurs directions par rapport à l’axe OX .
3/ A partir des expression des vecteurs de la vitesse
absolue et la vitesse relative, vérifier la norme et la
direction du vecteur vitesse d’entraînement.
=
5
rad .s
&
1
32.4
!
2
2 ) ' 2 XOY 6
$5
A 3
R
* ."! 6 2 I *
t = 0 2 $5 .
@
OX
. O =2
I
M
!
!
2 t
$5 M
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,R
J%
!
/2
. OX
!
1 1(
$ &+ $
*G ! /3
. (
1(
23K
!
(
Y
R
M
A
O
X
Exercice 4.33
Dans le plan
XOY , une droite tourne autour de
OZ avec une vitesse constante = .
Un point mobile M ( OM = r ) se déplace sur la
droite OX ' suivant la loi :
r = r0 ( cos t + sin t ) avec r0 = cte .
1/ Déterminer à l’instant
t en fonction de
et
0
vitesse relative et la vitesse d’entraînement de
A.FIZAZI
, la
M par
OZ )
3
r0 = cte
!
Univ-BECHAR
33.4
8
2 XOY 6
$5
. =
@
( OM = r ) M ! ) !
: !
5 OX ' 8
r = r0 ( cos t + sin t )
0
2 t
$5 2:2 /1
LMD1/SM_ST
121
Mouvement relatif
leurs projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En
déduire la vitesse absolue exprimée dans cette même
base de projection, et montrer que le module de celuici est constant.
2/ Déterminer à l’instant t en fonction de 0 et ,
l’accélération relative l’accélération d’entraînement et
l’accélération complémentaire de M par leurs
projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En
déduire l’accélération absolue exprimée dans cette
même base de projection, et montrer que le module de
celle-ci est constant.
Exercice 4.34
Une mouche M se déplace sur l’aiguille des
secondes d’une montre accrochée à un mur vertical
avec un mouvement uniforme de vitesse v . La
mouche part du point O à l’instant t = 0 pour
atteindre l’extrémité de l’aiguille de longueur 20cm
une minute plus tard.
1/ Ecrire les expressions de la vitesse vM et de
l’accélération aM
de
M dans la base mobile
( ur , u ) associée à la mouche.
M
(
D ! = . X ' O 'Y ' 4
E 02 * >/! $5
7
2 t
$5 22 /2
0
M
$ 3 7
( 7
$ !
D ! = . X ' O 'Y ' 4
8&
$5 1
L
E 02 * >/! $5 #!
&
7
. @ < 02+
8&
1!
$5
1
&
. @ < 02+
<
02
M
.
$5
, xM , yM de la
instants 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s .
2/ Calculer les coordonnées
34.4
@
$! @ I *
M < ) !
! .v 1
! 3
62
2(
*2 2& )" t = 0
$5 O !
. 20cm #
6< I *
1! =
aM 7
vM
$
3 /1
<
( ur , u )
<
3
02
, xM , yM @ 2 E
8
. 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s
M
$5 vM
. t = 60s
7 &+
$5 aM 7
/2
. 2(
)@ /3
M
mouche
aux
Dessiner la trajectoire sur le mur.
3/ Représenter sur la trajectoire le vecteur vitesse
vM au temps t = 45s et le vecteur accélération aM
$5
7 &+
t = 45s
au temps t = 60s .
Exercice 4.35
Dans le plan OXY , un cercle de rayon R , de
diamètre OA , tourne à la vitesse angulaire constante
autour du point O . On lie à son centre mobile
O ' deux axes rectangulaires O ' X ' Y ' (l’axe
O ' X ' est dirigé suivant OA ).
A l’instant t = 0 , A est sur OX , OX et
OX ' étant colinéaires.
Un point M , initialement en A , parcourt la
circonférence dans le sens positif avec la même
vitesse angulaire .
1/ Calculer directement les composantes des vecteurs
vitesse et accélération de M dans le repère OXY (en
dérivant les composantes de OM ).
2/ Calculer les composantes de la vitesse et de
l’accélération relatives de M dans le repère
O ' X ' Y ' puis dans OXY .
3/ a/ Calculer les composantes de la vitesse
d’entraînement dans le repère OXY par la loi de
composition des vitesses.
b/ Calculer de même les composantes de
l’accélération d’entraînement dans le repère OXY ;
en déduire l’accélération complémentaire (Coriolis).
A.FIZAZI
35.4
R
.O
* ."! I *
2 OXY 6
$5
! )
@
OA *
O'4
3
4 +!
.( OA 5 #( O ' X '
) O ' X 'Y '
OX OX
A t=0
$5
. M 5
OX '
) ! A $5 2 $5 ! 3 M
!
.
>/! (
( $5
$ &+ $ 3
0 +
/1
.( OM
3
+!) OXY 8 & $5 M 7
M
! 7
3
/2
. OXY $5 8@ O ' X ' Y ' 8 & $5
OXY 8 & $5 (
3
/ /3
.
3
!* ) &
$5 ( 7
3
)@
/
.(>
3)$ 3 7
D ! = N OXY 8 &
( 7
(
3
23K /4
.
2 7 &+ 8 $
& ) &
$ 3
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
122
Mouvement relatif
4/ vérifier les expressions des composantes de la
vitesse d’entraînement et celle de l’accélération
complémentaire en utilisant les expressions faisant
intervenir le vecteur rotation .
Y
Y'
M
A
X'
O'
O
A.FIZAZI
X
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
123
Mouvement relatif
Corrigés des exercices de 4.28 à 4.35
4.35
4.28
:4.28
ve
v
va
.
va
vr
=
sin10° sin 90°
80°
v
10°
90°
va
va =
ve
vr
=
sin 90° sin 80°
ve
sin10°
vr ; va
sin 90°
vr =
1
17, 4km.h
sin 90°
ve ; vr
sin 80°
117 km.h
1
:4.29
z=
. z )*
1 2
gt + h
2
x ' = vt
(1) :
( 2) :
/1
"#$
t
( + , - .,
:/
2
: t=
.
x' =
%
/
1 2
ae t
2
( 3) :
( 2 ) (1)
"3
x'
v
2
: t2 =
.
"
(
Z
h
h
g
x'
ae
g 2
x'
2v 2
01
1
x ' = aet 2
2
A.FIZAZI
"5
g
z
z'
ae
X'
Univ-BECHAR
( %
Z'
x ' = v.t
O'
/2
(
"5
Z'
z' = h
'
g
x '+ h
ae
z = z'=
.
z'
( 3) (1)
"3
2x '
ae
(
g 2
x' + h
2v 2
z = z' =
&
:/
'
01
"#$ 4
t
z' = h
&
(
O'
O
x'
v
X'
LMD1/SM_ST
124
Mouvement relatif
. ( ur , u , u z )
5* . M 6
ur , u , u z
( M
(" 5 ) .
OM = r = r ' = r.ur
vr = r.ur
+
4.30
.
+ 5 /1
:9:
ar = r .ur
= %
*
>
dOO '
+
dt
d OO '
= 0 (O
dt
= k = .u z
ve =
O'M
O' )
ur
O'M = 0
ve =
r
z Z
k = uz
O, O '
i
X
OXY = %
*
/2
: OXY
)* ; <
Oxy
u
0
0
uz
v e = r .u
0
y
u
ur j
•
M
Y
x
>
+
Oxy
)* ; < +
:
ae =
2
d OO '
+
dt 2
dO ' M d
dO ' M
+
O'M ,
=
dt
dt
dt
d 2 OO '
d
ae =
+
O'M +
O'M
2
dt
dt
(
O ' M = .u z
d
dt
ur
O'M = 0
r
O'M
)
r .u = r 2 ur
u
0
0
uz
=r u
ae = r 2 ur + r u
0
:.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
+
/3
LMD1/SM_ST
125
Mouvement relatif
ac = 2
:
OXY = %
ur
u
v r =2. 0
r
0
0
*
OXY = %
(i , j, k )
ur = i .cos + j .sin
0
va = r.ur + r .u
>
(
aa = r
"
/
:6 & @
3
/4
)*
M
*
aa = ae + ar + ac
(
a c = 2r u
>
va = ve + v r
:
uz
M +
r
2
) .u + ( r
)* ?
) .u
+ 2r
r
=
=
+
* 1@:
=
AB
( u
u
u = i .sin + j .cos
: OX ' Y ' /
OM = r = r.i
'
r=
i = ur
'
vr = r = at.ur :
+ 52
dOO '
O'M
+
dt
d OO '
= 0 ( O O' )
dt
= k = .u z
:4.31
+ 5
9:
/1
1 2
at + r0 .ur
2
"3 (
( 9:
: <
+ 5?5
+ 5
ve =
ve =
ve =
va = ve + v r
va =
( at )
2
A.FIZAZI
0
0
1 2
at + r0
2
0
uz
0
.u
1 2
at + r0
2
1
+ at 2 + r0
2
(", D
u
O'M =
1 2
at + r0
2
va = at.ur +
ur
("5
Univ-BECHAR
:
.u
+ 5
2
.
:C
2
4 *)
"
* &<
LMD1/SM_ST
126
Mouvement relatif
1 2
at + r0
v
2
tg = =
vr
at
: t = 3s 4
= t,
(/
@ /2
= %
1 2
at + r0 , r = 0,1m
2
; y = r.sin , y = 0, 095m
= 1,884rad = 108° ; r =
x = r.cos , x = -0, 031m
vr = at , vr = 0, 06m.s
1 2
at + r0
2
; ve =
1
:
+
, ve = 0,0628m.s
+ 52
ar = a.i = a.ur
+ 5 ? 5 /3
"3 (
ar = a.ur
'
va = vr2 + ve2 , va = 0, 087m.s
tg =
1
v
= 1, 047
vr
1
= 46,3°
:;< +
ae =
2
d OO '
+
dt 2
dO ' M d
+
dt
dt
O'M
0
,
dO ' M
=
dt
O'M
0
ae =
O'M
ve
1 2
at + r0
2
O ' M = .u z
.u = r
2
ae =
ur
1 2
at + r0
2
2
.u
r
Y
va
v
X'
a
v
aa
M
Y'
M0
a
X
O
:.
ac = 2
A.FIZAZI
ur
u
v r =2. 0
at
0
0
+
/3
uz
a c = 2at .u
0
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
127
Mouvement relatif
:?
aa = ae + ar + ac
1 2
at + r0
2
aa = a
aa =
a
2
:?
tg =
+ ( 2at.
C<
a
=
ar
(
.ur + ( 2at.
2
2
1 2
at + r0
2
+
)
) .u
:?
+
+
("
2
?
*) &<
2at
1 2
at + r0
2
a
:4.32
;
OM = OA + AM : * 4 # ( ) " 5
t
M
E
t
&:
. OA ' = vt (
. x = OA ' + xM' :C
B
9
@ /1
:M
%
"#$ :
)1 ='
(
=
2
t
OA ' = v.t = R t
xM' = R.cos
cos = cos
cos
2
2
x = R ( .t .sin .t )
t
t = sin .t
y = R + yM' :( )" 5
y = R + R.sin
sin
0
2
9
.t = cos .t
OM 9:
)
y = R (1 .cos t )
+ 5
& C
)1 2
x = R ( t sin t )
:
C-
F1&
"%
/2
OM y = R (1 cos t )
z=0
.(cycloïde)!
dOM
va =
dt
A.FIZAZI
"
=x = vx = R
(1
:M
cos t )
va y = v y = R sin t
z = vz = 0
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
128
Mouvement relatif
va =
dOM
=R
dt
(1
cos t ) .i + R sin t. j
:
va = x 2 + y 2 + z 2 ; va =
R
va = 2 R 2
va = R
2 1 cos t = R
2.sin 2
(1
(1
+ [ R sin t ]
2
2
cos t )
t
2
2.2 sin 2
=x
cos t )
+ 5 &<
4 *) va + 5
i
(1
= 2R
va .cos
t
2
va = 2 R sin
,
K 1& .(GHG" 5
va .i = va .i.cos
x = 2R
cos t )
t
2
+ 5 )* OX
3
:
I < JB 3$ "
x = va .cos
2
(1
+ 5
cos t )
:2
2 R .sin
t
.cos
2
(1
=R
cos t )
:
2 R.sin
vr =
t
.cos
2
cos
= sin
cos
= cos (
d AM
:C
dt
= 2 R.sin 2
+
t
2
'2
= sin
cos
"3
=
3
t
2
+
2
t
2
=
2
,
=
2
t
2
)
X ' AY ' /
9<
M
: X ' AY '
xM' = R.cos = R.cos
2
xM' = R. s cos t
L *
"3 (
%
M ?5
yM' = R. .sin t
;
vr = R. s cos t.i
%
t = R.cos t
2
:
( M
t = R.sin t
2
yM' = R sin = R.sin
A.FIZAZI
"3
R. .sin t. j :H
Univ-BECHAR
(
+ 5 *
LMD1/SM_ST
129
Mouvement relatif
vr =
+ 5 &< &
( R.
s cos t ) + ( R. .sin t )
2
;
., 9
.
2
vr = R
:
+ 5 &<
.
:H– " 5 2 @ 4
v
i
:C
vr .i = vr .i.cos
vr .cos
= xM' = R cos t
= cos t
cos
=
;
t=2
vr
cos t = cos (
t)
0:)
(
* 0
. 2.M ' A ' M = 2
(
(
)
B
B
.
.,
.
(
v . M ' AM = 2 = vr , OX
) B
: ve <
/3
– H – " 5 2@ 4
& JB 3$
2
3
2
'
))
& #:*
.M
Y
M'
Y'
v=R
ve = v
M
y
2
yM'
va
A
t
v
(
M
R
xM'
A
R
X'
/2
A'
ve = va
ve = 4 R 2
cos
9 ?(
1
O
X
2
vr
sin 2
ve = va2 + vr2
t
+ R2
2
2
A'
2va .vr .cos
2 R .2 R sin
:
t
cos
2
2
X
x
– H – " 5 2@ 4
t
2
ve = R = v
t
t
= sin
2
2
2
XOY = %
B
H
)
. OX
<
)
1@
ve .?
33.4
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
130
Mouvement relatif
: X ' O 'Y ' /
(
OM = r = r ' = r.ur
= %
M 9:
+ 5
/1
?
r = r0 ( cos t + sin t ) .ur
r = r0 ( cos t + sin t )
. % u
+ 5
vr = r.ur
(
vr = r0
r = r0 ( cos t + sin t )
/
sin t + cos t ) .ur
:
dOO '
+
dt
OO ' = 0
ve =
(:
+ 5 "$
O'M
ve =
<
H
r
:
ur
u
ve = 0
r
0
0
uz
t + sin t ) u
0
:
va = ve + v r
( cos
v e = r0
va = r0
( cos
O
t + sin t ) u + r0
:
va = r0
ar = r .ur
d 2 OO '
+
dt 2
ar = r0
2
ve =
r' =
ae =
r0
O'M +
( cos
d
dt
F1
ae =
O'M
t + sin t ) .u
u
0
uz
( cos
t + sin t )
0
ur
5H
:
+
C
< +
*
r'
v r =2.
(
u
0
sin t + cos t )
2
: '#
?
2
( cos
( cos
a c = 2r0
0
0
5 I < H
t + sin t ) u
+
uz
2
(
Q H
sin t + cos t ) u
0
:?
a a = 2r0
:0 :
ae = r0
aa = ae + ar + ac :=
A.FIZAZI
P
t + sin t ) .ur
( cos
t + sin t )
r = r0
( cos
r0
r0
% &*
0
ur
ae = 0
ac = 2
'"
sin t + cos t ) .ur
01
0
0
(
H
2 = Cte
:
ae =
=
H
+
'
?
<
+
A
# =
t + sin t ) ur + ( sin t + cos t ) u
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
131
Mouvement relatif
:
a a = 2r0
% &
*
P
2 = Cte
2
35.4
OM = r = r.ur
=
0
* 2@ C
0
*
:/
(
. % J' C( "
vM = r = v.ur + vt.ur
ur = (
aM = r = v.ur
u =
(
) .ur
vM = v.ur
) .u
v
.u
, ur = (
:
( 1 9: + 5 /1
1 +
)1 H
F < # 9< 1
r = v.t..ur :/
vt
.u
vt
aM = v
) .u
" <
( AB
.u
2
t.ur
3
.
M
2v
.u
/2
M H
, xM , yM = %
0, 2 10 2
2
=
( m / s ) ; = = ( rad / s )
60
3
60 30
2
10
10 2
xM = vt cos t =
.t cos .t ; y M = vt sin t =
.t cos .t
3
30
3
30
v=
t (s)
M
0
=
(
t rad .s
(
rM = vt ms -1
xM ( m )
)
1
)
15
0
yM ( m )
30
/2
0
5.10
0
0
0
5.10
2
10.10
10.10
2
2
( H
2
t = 45s :
vM = v.ur
A.FIZAZI
+ 5
2
15.10
&
2
20.10
2
20.10
2
2
0
(
1 +
.
%
"%
(
=4
/3
t=60s:
aM = v
v.t. .u
vr = 0,33.ur ; v = 1,57.u
+
3 /2
0
0
/
60
15.10
."
"
45
+
1$*
2
t..ur
2v .u
ar = 0, 22.ur ; a = , 07.u
.
Univ-BECHAR
+ 5
. :
1$*
LMD1/SM_ST
132
Mouvement relatif
y
vr = 0.33ur
15.10
vM
2
v = 1,57u
3. vr .u
5.10 2 m
5.10 2 m
ar = 0.22ur
O
10.10 2
3. a .ur
x
aM
5.10
:" 5
/1
)
4 #
2
:
:36.4
+ 5
H
( 9:
OXY
"#$
t
&
E
M
/1
= t
+
: L( " 5 2 @
OM = ( R cos t + R cos 2 t ) i + ( R sin t + R sin 2 t ) j
O ' M = R cos 2 t.i + R sin 2 t. j
+
2
dOM
, va = R ( sin t + 2sin 2 t ) i + R
dt
dv
aa = a , aa = R 2 ( cos t + 4 cos 2 t ) i R
dt
va =
A.FIZAZI
a = 0, 07u r
OM = OO ' + O ' M
. = t : = %
A
&
O ' X 'Y ' /
t C ,
"#$ M
. OXY
2 =2 t
.
+
OXY
OO ' = R cos t.i + R sin t. j
20.10 2
Univ-BECHAR
OM 6
' 5
( cos
t + 2 cos 2 t ) j
(1)
( sin
t + 4sin 2 t ) j
( 2)
"3
2
LMD1/SM_ST
133
Mouvement relatif
Y
X'
M
y
A
Y'
x'
y'
j'
i'
O'
j
j'
O
:" 5
i'
i
X
x
4 #
O ' X 'Y ' /
( 9:
+ 5
O ' M = x '.i '+ y '. j ' = R ( cos t.i '+ sin t. j ')
' 5
.
+
O ' X 'Y '
:
dO 'M
, vr ' = R
dt
dv
ar ' = r ' , ar ' = R
dt
vr ' =
:" 5
4 #
(
2
2
"3
"3
2 O'M 6
.% "
& !'
( cos
t.i '+ sin t. j ' )
( 9:
O ' XY
' 5
() * +
O'M 6
sin t.i '+ cos t. j ')
+ 5
O ' M = x.i + y. j = R ( cos 2 t.i + sin 2 tj )
2
/2
+
M
+
H
$ . OXY
, '- . OXY 6
Q H
M
+
+
.(57.4) " / 0
/ $
&
dOM dOO '
di '
dj '
dk '
dx '
dy '
dz '
=
+ x'
+ y'
+ z'
+i '
+ j'
+k'
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
va
ve
vr = i '
vr
dx '
dy '
dz '
+ j'
+k'
dt
dt
dt
0
:
i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t
x ' = R sin t
j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t
y ' = R cos t
:2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
"5
"3
LMD1/SM_ST
134
Mouvement relatif
vr = ( cos t.i + sin t. j ) . ( R sin t ) + ( sin t.i + cos t. j ) ( R cos t )
vr = 2 R .sin t.cos t. i + R
sin 2 t + cos 2 t j
cos 2 t
1
sin 2 t
2
:)
(
vr = R
"
@
M /
OXY 6
sin 2 t.i + cos 2 t. j )
5 )
v
$D
(
( 3)
- OXY 6
M /
+
:(59.4)
ar = i '
2
2
2
d x'
d y'
d z'
+ j' 2 +k' 2
2
dt
dt
dt
0
i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t
x' = R
2
cos t
j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t
y' = R
2
sin t
ar = ( cos t.i + sin t. j )
ar =
(
2
R
ar = R
2
cos 2 t.i
(
2
R
2
R
)
cos t + ( sin t.i + cos t. j )
cos 2 t sin 2 t .i
R
2
ar = R
OXY 6
2
( cos 2
+R
( cos
2
2
sin t
)
cos t sin t. j
)
t + sin 2 t ) .i + R
H
'"
R
( cos
+
$D
(
<
/ / /3
( 4)
t + 2 cos 2 t ) j
:=
ae =
R
M /
t.i + sin 2 t. j )
:=
( sin
s in 2 t.i
R
1
sin 2 t
2
:)
ve = R
2
(
2 cos t sin t . j
cos 2 t
(1) ( 3) = ve = va vr
ve = R ( sin t + 2sin 2 t ) i
) (
cos t sin t. j + R
:2 @ "3
(
sin 2 t.i + cos 2 t. j )
t + cos 2 t ) . j
H
'"
< +
/H /3
d 2 OO '
d 2i '
d2 j '
d 2k '
+
x
'
+
y
'
+
z
'
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
0
OO ' = R.cos t.i + R sin t. j ,
A.FIZAZI
d 2 OO '
= R
dt 2
Univ-BECHAR
2
.cos t.i
R
2
sin t. j
LMD1/SM_ST
135
Mouvement relatif
i '=
j'=
ae =
(
R
2
2
2
.cos t.i
2
cos t.i
2
sin t.i
2
R
sin t. j ; x ' = R cos t
y ' = R sin t
c os t. j ;
)
sin t. j + R cos t
R sin t
(
2
:2 @ "3
(
2
2
sin t.i
2
cos t.i
c os t. j
)
:M /
ae =
2
R
.cos t
R
sin 2 t + cos 2 t
2
i
R
2
)
sin t. j +
< +
2
1
sin 2 t
2
. ( cos t + cos 2 t ) i
2
R
:
ac = 2
dx '.di ' dy '.dj '
+
dt 2
dt 2
:59.4
( sin
t + sin 2 t ) j
+
*.
* aa = ar + ar + ac
+
ac = + aa
O
ar
i '=
sin t.i +
cos t. j ; x ' = R sin t
j'=
cos t.i
sin t. j ; y ' = R cos t
ac = 2
dx '.di ' dy '.dj '
+
= ar + ar + ac
dt 2
dt 2
R sin t (
cos t. j ) + R cos t (
sin t.i +
ac = 2 R
2
.sin 2 t.i
ac = 2 R
2
. sin 2 t cos 2 t .i
R
2
.sin t cos t. j
2R
2
R
2
2
( cos 2
t.i + sin 2 t. j )
aa = ar + ar + ac
( C
"
ve =
dOO '
+
dt
Univ-BECHAR
)0
. = .k
0"*
34 5
+ 5 Q "$
: <
+ 5
/4
O'M
i
ve = R .sin t.i + R .cos t. j +
0
R cos 2 t
A.FIZAZI
.cos t sin t. j
1
sin 2 t
2
ac = 2 R
(72.4).
2
.sin t cos t . j
cos t
H
R
<
sin t. j )
cos t.i
.cos 2 t.i
@
ar
:
ac = 2
(
sin t + 2sin t.c os t j
cos 2 t
ae = R
$D
j
0
R sin 2 t
k
0
LMD1/SM_ST
136
Mouvement relatif
ve = R .sin t.i + R .cos t. j
R .sin 2 t.i + R .sin 2 t. j
ve = R . ( sin t + sin 2 t ) .i + R . ( cos t + sin 2 t ) . j
:.
+
*
ac =2
< M ( 73.4 ).
+
i
ac = 2
0
R .sin 2 t
vr
ac = 2 R
2
.cos 2 t.i
ac = 2 R
A.FIZAZI
2
2R
2
(C
j
0
R .cos 2 t
"
k
0
.sin 2 t. j
. ( cos 2 t.i + sin 2 t. j )
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST