Valeurs approchees de solutions d equation du type f (x)= k ts
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Chapitre 1 Terminale S Algorithmes : calculs approchés de solutions d’une équation du type f(x) = k Préambule : On considère l’équation x 3 + x = 3 sur [-1 ; 3]. Montrer que cette équation admet une solution unique sur [-1 ; 3]. Le but de cette feuille est de voir plusieurs méthodes permettant de déterminer une valeur approchée ou un encadrement de toute solution d’une équation de la forme f(x) = k, selon une précision p donnée. Méthode 1 : utilisation du menu table de la calculatrice Principe : La calculatrice fait (presque) tout. C’est la méthode que vous utiliserez le plus car elle est presque automatique. 1) Rentrer l’expression de la fonction dans le menu TABLE (CASIO) ou Y = ou f(x) (TI). 2) Paramétrer le tableau : RANG ou SET (CASIO) ou TABLESET ou DEFTABLE (TI) : CASIO : start : a TI : start ou Débtable : a End : b ∆ Tbl ou pas : p Pitch ou step : p 3) Afficher la table : appuyer sur la touche TABL ou TABLE. La table s’affiche et on parcourt les valeurs de y jusqu’à se trouver le plus proche de k. On obtient alors la ou les valeurs proches de la solution α . Exemple : Déterminer un encadrement au dixième de la solution de l’équation x 3 + x = 3 sur [-1 ; 3] Méthode 2 : méthode du balayage Principe : On suppose que f est une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Le principe de la méthode consiste à démarrer à partir de la première borne de l’intervalle et à tester la valeur de l’image par rapport à k. Si elle est en dessous de k, on ajoute la valeur de la précision à la variable. On réitère le procédé jusqu’à ce que l’image soit au dessus de k. On affiche ainsi la valeur de α pour la précision demandée. Il faut comprendre que pour éviter de modifier le programme pour chaque fonction, on va rentrer l’expression de celle-ci dans le MENU Graph ou f(x) ou Y = de la calculatrice. On la disposera dans la ligne Y1 ou Y1 ou y1 ou f1 ( ) selon les modèles. Il suffit alors de faire appel à la fonction dans le programme. Attention pour CASIO Y1 est en gras : Touche VAR, sous menu Grph, Yn puis 1. Attention pour les TI 82-83-84-85 on a Y1 avec indice : touche VAR, sous menu Y =, puis Y1 . Voici l’algorithme de la méthode : Variables : a : réel (borne de départ) k : réel (nombre de l’équation) p : réel (précision) m, y : réels (réel et son image) Début Saisir (a,b,p,k) m prend la valeur a y prend la valeur Y1(m) (Attention pour les vieux modèles CASIO, utiliser toujours la variable x et Y1 sans x) Tant que y < k faire m prend la valeur m + p y prend la valeur Y1(m) Fin Tant que Afficher m fin INCONVENIENT : le nombre d’itérations peut être grand et donc il peut être long à traiter en fonction de la valeur de a. Exemple : programmer cet algorithme et le tester sur l’équation précédente. Exercice : Comment modifier l’algorithme dans le cas d’une fonction décroissante ? Méthode 3 : la dichotomie Principe : On suppose que f est une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Le principe de la méthode consiste à calculer la valeur moyenne de l’intervalle et à calculer son image par rapport à k. Si cette image est inférieure à k, la moyenne devient la borne inférieure de l’intervalle, si l’image est supérieure à k, la moyenne devient la borne supérieure de l’intervalle. On réitère le procédé tant que la différence entre les bornes de l’intervalle est supérieure à la précision demandée. On affiche ainsi la valeur de α pour la précision demandée. De même on va rentrer l’expression de la fonction dans le MENU Graph ou f(x) ou Y = de la calculatrice. On la disposera dans la première ligne. Voici l’algorithme de la méthode : Variables : a, b : réels (bornes) k : réel (nombre de l’équation) p : réel (précision) Début Saisir (a,b,p,k) Tant que b – a > p faire m prend la valeur (a + b)/2 Si Y1(m) < k (Attention pour les vieux modèles CASIO, utiliser toujours la variable x et Y1 sans x) Alors a prend la valeur m Sinon b prend la valeur m Fin Si FinTant que Afficher (a,b) Fin Exemple : programmer cet algorithme et le tester sur l’équation précédente. Exercice : Comment modifier l’algorithme dans le cas d’une fonction décroissante ? Exercice : Taper les programmes pour les fonctions décroissantes des méthodes de balayage et de dichotomie.
