Prof : Mr Khammour.K 4ème Math Sujet de révision n°4 Mai 2015 Exercice n°1 : Répondre par vrai ou faux. 1) Soit f une fonction dérivable sur [0,1], strictement croissante telle que f(0)=0 et f-1 sa fonction x f(x) 0 0 réciproque. Si on pose pour tout x∈[0 ,1] F x f t dt et G x f t dt. alors on a : 1 F(x) = xF(x) – G(x). 2) L’entier 5 est un inverse modulo 6 de 5. 3) Soit x un entier naturel , si pgcd(x,1451) = 1 alors on a : x2900 11451 . 1 ei 4) Soit le nombre complexe Z i 1 e 2015 , 0, . Z est imaginaire pur. Exercice n°2 : Soit dans l’ensemble C l’équation (E) : z3 4 z 2 5 e2i z 2 1 e2i 0 où 0, . 1) a) Vérifier que 2 est une solution de (E). b) Résoudre alors dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation (E). On désigne par z et z les 1 2 deux autres solutions tel que Im z 0 . 1 c) Ecrire z et z sous forme trigonométriques. 1 2 2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v) ,on considère les points A , B et C d’affixes respectives : 2 ; 1 ei et 1 ei z 2 a) Calculer le nombre complexe 2 .Quelle est la nature du triangle ABC ? z1 2 b) Déterminer pour que le triangle ABC soit isocèle . c) Pour , montrer que OABC est un carré. 2 Exercice n°3 : ABC est un triangle rectangle et isocèle tel que AB, AC 2 2 . On pose D = SA(C). Soit la similitude indirecte qui envoie A en B et B en C. 1) Déterminer le centre de et vérifier que =D. 2) Le plan P muni d’un repère orthonormé A, AB, AC . Soit f : P P ; M ( z) M '( z ') tel que z ' 1 i z 1 a) Montrer que f est une similitude indirecte. b) Montrer que f = . Exercice n°4 : n 13 19 . n 6 12 On considère le système S 1) a) Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. b) Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N 13 12v 6 19u est une solution de (S). n n0 19 . n n0 12 2) a) Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à n n0 19 n n0 12 b) Démontrer que le système équivaut à n n0 12 19 . 3) a) Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante b) Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.). Exercice n°5 : A) 1) On considère la fonction g définie sur IR par : g ( x) x e x 1 . a) Dresser le tableau de variation de g Calculer g(1), en déduire le signe de g. 1 b) En déduire que pour tout réel x, xe x , puis que 1 xe x 0 . e 1 2) On désigne par f la fonction définie sur IR pa f x . Soit C sa courbe représentative dans le 1 xe x plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm) a) Déterminer lim f x et lim f x . Dresser son tableau de variations de f. x x b) Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C. 3) a) Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1, [. 4) b) En déduire que 1 f ( x ) B) Soit f x e pour tout x positif ou nul. e1 1 1 définie sur [0, 1] .On pose I f x dx . 1 xe x 0 1 1) Soit n un nombre entier naturel non nul, et J n x n e nx dx . 0 2 e a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que J1 1 . b) On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et c tels que la fonction H(x) définie par H( x) ( ax 2 bx c)e2 x soit une primitive de h( x) x 2 e2 x . En déduire 1 5 que J2 1 2 . 4 e n 2) Pour tout entier n non nul, on pose U n J k . k 0 a) Montrer que pour tout réel x, U n n x e k kx k 0 1 ( xe x ) n 1 1 xe x 1 n 1 x b) En déduire que I U n x n 1e f x dx 0 c) Montrer que pour tout x positif ou nul : 0 x n1 e( n1) x .Déterminer lim un . n 1 n 1 e . En déduire que 0 x n1 e( n1) x f ( x) 1 e e1 n