12.calcul des elements secondaires reels

Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.1. Introduction
Dans une structure quelconque on distingue deux types d’éléments :
- Les éléments porteurs principaux qui contribuent directement au contreventement.
- Les éléments secondaires qui ne contribuent pas directement au contreventement.
Dans le présent chapitre nous considérons l’étude des éléments que comporte notre bâtiment. Nous
citons l’acrotère, les escaliers, les planchers, dont l’étude est indépendante de l’action sismique,
mais ils sont considérés comme dépendant de la géométrie interne de la structure.
Le calcul de ces éléments s’effectue suivant le règlement« BAEL 91 modifié 99 » [1] en respectant
le règlement parasismique Algérien « RPA 99 version 2003 » [2].
III.2. Acrotère
III.2.1. Introduction
L’acrotère est un élément non structural, il sera calculé comme une console encastrée au
niveau du plancher terrasse qui est la section dangereuse, d’après sa disposition, l’acrotère est
soumis à une flexion composée due aux charges suivantes :


Son poids propre sous forme d’un effort normal vertical.
Une force horizontale due à une main courante Q=1kN/ml.
Le calcul se fait pour une bande de 1m de largeur dont les dimensions sont les suivantes :
- Largeur b=100cm
- Hauteur H=60cm
- Epaisseur e=10cm
Figure III.1. Acrotère
III.2.2. Evaluation des charges
a. Charge d’exploitation

Q=1kN/ml
40
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Charges permanentes

Surface de l’acrotère :
0,1x0,02  0,069m2

S  0,1x0,6  0,1x0,08 

2



Poids propre de l’acrotère
G p. p   b xS  25 x0,069  1,725kN / ml

Revêtement en ciment (e=2cm ; ρ=18kN/m3)
G R.C   ci xexPcme  18 x0,02 x60  10x 2.10 2  0,504kN / ml
 G  G p. p  G R.C  2,229kN / ml
Figure III.2. Sollicitations de l’acrotère

L’action des forces horizontales Qh (Fp)
L’action des forces horizontales est données par :Fp=4ACpWp [2]
Avec :
A : Coefficient d’accélération de zone obtenu dans le tableau (4-1) pour la zone et le
groupe d’usage appropriés [A=0,30]…………………………………groupe 2
Cp : Facteur de force horizontale donnée par le tableau (6-1)………. [Cp=0,8]
Wp : Poids de l’acrotère =2,229kN
Fp=4x0,30x0,8x2,229=2,14kN
41
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Q u = Max(1,5Q ; Fp ) 
Fp  2,14kN 
  Qu  Qh  2,14kN
1,5Q  1,5kN 
G = 2,229kN/ml
pour une bande de 1m de largeur 
Q = 2,14KN/ml
III.2.3. Calcul des efforts
Pour une bande de 1m de largeur
E.L.S
E.L.U
Nu=1,35G=3,01kN
Mu=1,5Q.h=1,926kNm
Tu=1,5Q=3,21kN
Nser=G=2,229kN
Mser=Q.h=1,284kNm
Tser=Qh=2,14kN
III.2.4. Ferraillage de l’acrotère
e=10cm ; b=100cm ; fc28=25MPa ; σbc=14,17MPa ; c=c’=2cm ; fe=400MPa
Calcul de l’excentricité
M u 1,926


 63,98cm 
h
Nu
3,01

e0   c'  Section partiellement comprimée.
2
h
10

 c' 
 2  3cm
2
2

e0 
Le centre de pression se trouve à l’extérieur de la section.
Les armatures seront calculées à la flexion simple en équilibrant le moment fictif Mf.
42
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Calcul du moment fictif « Mf »
h

M f  M u  N u   c'   2,02kNm
2

M
  2 f  0,017
bd  bc
   R  0,392  As'  0 Les armatures comprimées ne sont nécessaires.


  1,25 1  1  2  0,021
Z  d 1  0,4   8,92cm
  0,015  0,186   s  10%
Asf  f M f
Asf 

et  s 
fe
s
 348MPa
Mf
 65,07 mm 2
Z s
 As1  As  0
 As 2  Asf 
Nu
s
 56,42mm 2
 As1  0cm 2
Donc 
 As 2  0,56cm 2
III.2.5.Vérification de la section d’acier selon « BAEL 91 Modifié 99 » [1]
Il faut vérifier As avec la section minimale imposée par la règle du millième et par la
règle de non fragilité :
 bh
f 
Asmin  Max 
;0,23bd t 28 
fe 
1000
Avec :
ft28=2,1MPa ; fe=400MPa ; b=100cm ; d=9cm
Asmin  Max1cm 2 ;1,087cm 2   1,087cm 2
Donc : nous optons finalement pour 6T6=1,70cm2
100
 20cm
Avec un espacement S t 
5
III.2.6. armatures de répartitions
A
Ar  s  Ar  0,425cm 2
4
Nous choisissons 4T6=1,13cm2 avec un espacement
60  5 55
St 

 18,33cm  St  15cm.
3
3
43
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.2.7. Vérification à l’E.L.S
La fissuration est considérée comme préjudiciable.
e0 
M ser
 57,60cm
N ser
On a :
h
e0   c'  La section est partiellement comprimée (SPC).
2
C : La distance entre le centre de pression et la fibre la plus comprimée.
C=d-eA
Avec : eA 
M ser 
h
  d    61,60cm  C  52,60cm
N ser 
2
C  0
D’après le « BAEL 91 modifié 99 » [1], on doit résoudre l’équation suivant :
y c3  py c  q  0
yc : Distance entre le centre de pression et l’axe neutre.
Avec :
As
As

2
 p  3c  6nc  c' b  6nd  c  b  8206,03

n  15

A
A
q  2c 3  6nc  c'2 s  6nd  c 2 s  285257,47
b
b

44
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
La solution de l’équation du troisième degré est obtenue par :
 4 p3 
  4,92.108
  q 2  
 27 
cos  
3q
2p
3
 0,99    171,89
p
p
 104,60
3
a2


y1  a cos  120   104,48cm
3

 
y 2  a cos   56,51cm
3


y3  a cos  240   47,97cm
3

La solution qui convient est : yc=56,51cm
Car : 0<yser=yc+c<d
0<yser=56,51-52,60=3,91cm<9cm
 y  3,91cm
Donc  ser
 yc  56,51cm
Calcul du moment d’inertie
I


b 3
2
2
yser  n As d  yser   As  yser  c'  2653,20cm 4 avec n  15
3
Vérification des contraintes
a. Contrainte du béton
 N ser 
yc  y ser   bc  0,6 f c 28  15MPa
 I

 bc  
 2,229.10 3 x56,51.10 
 x3,91.10  1,85MPa   bc .................vérifiée
2653,20.10 4


 bc  
45
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Contraintes de l’acier
 N ser 
y c d  y ser    s .............. Acier tendu
 I

N

 s  n ser y c  y ser  c'   s .............. Acier comprimé
 I

 s  n
2

fe; Max (0,5 fe;110 f tj )   201,63MPa..................(  1,6 pour les aciers HA)
3

 s  Min 
 s  36,25MPa   s .................vérifiée
 s  13,60MPa   s .................vérifiée
III.2.8. Vérification de l’effort tranchant
La contrainte de cisaillement est donnée par la formule suivante :
Tu
  u  Min0,1 f c 28 ;4MPa  2,5MPa
bd
3,21.103
u 
 0,035MPa   u .........................vérifiée
90.103
u 
6T6/ml e=15cm
6T6/ml e=15cm
Figure
Ferraillage de
de l’acrotère
l'acrotère
Figure .III.4:
III.3. Ferraillage
46
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.3. Etudes des planchers
III.3.1. Introduction



Les planchers sont des éléments plans horizontaux qui ont pour rôle :
Isolation des différents étages du point de vue thermique et acoustique.
Répartir les charges horizontales dans les contreventements.
Assurer la compatibilité des déplacements horizontaux.
III.3.2. Plancher en corps creux
Ce type de planchers est constitué d’éléments porteurs (poutrelles) et d’éléments de
remplissage (corps creux) de dimension (20x20x65) cm3 avec une dalle de compression de 5cm
d’épaisseur.
Figure III.4. Coupe du plancher du corps creux
a. Etude des poutrelles
Les poutrelles sont des éléments préfabriqués, leur calcul est associé à une poutre
continue semi encastrée aux poutres de rives.
a.1. Dimensions de la poutrelle
1
h
1
 
25 L 20

h  25cm ; h0  5cm

530
530
3 
h
 21,2  h  26,5cm  b  65cm ; b0  12cm
25
20

b  b0
c 
 26,50cm
2

a.2. Calcul des moments
Étant donné que les poutrelles étudiées se présentent comme des poutres continues
sur plusieurs appuis, leurs études se feront selon l’une des méthodes suivantes :
47
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
a.2.1. Méthode forfaitaire [1]
a.2.1.1. Domaine d’application
H1 : Q≤ Max {2G ; 5kN/m2}
H2 : Les moments d’inertie des sections transversales sont les même dans les
différentes travées en continuité.
H3 : Les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25.
H4 : Fissuration non préjudiciable.
a.2.1.2. Exposé de la méthode
 
Q
GQ
 M t  Max1,05M 0 ; 1  0,3 M 0  
Mw  Me
2
M0

1  0,3  2 .....................Travée int ermediare
 Mt  
1,02  0,3  M 0 .................Travée de rive

2
Avec :
M0 : La valeur minimale du moment fléchissant dans chaque travée (moment isostatique).
(Mw ; Me) : Les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite respectivement dans
la travée considérée.
Mt : Le moment maximal en travée dans la travée considérée.
Moment sur appuis




M=0,2M0………………appuis de rive
M=0,6M0………………pour une poutre à deux travées
M=0,5M0………………pour les appuis voisins des appuis de rives d’une poutre a plus de
deux travée
M=0,4M0………………pour les autres appuis intermédiaires d’une poutre à plus de deux
travées
a.2.2. Méthode de CAQUOT [1]
Cette méthode est appliquée lorsque l’une des conditions de la méthode forfaitaire n’est
pas vérifiée.
Cette méthode est basée sur la méthode des poutres continues.
48
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
a.2.2.1. Exposé de la méthode

Moment sur appuis
M a  0,15M 0 ......................... Appuis de rives
Ma  
qwlw'3  qele'3
............... Appuis int ermédiaire s
8,5 lw'  le'

Avec : M 0 

ql 2
8

Moment en travée
qx 2  ql M e  M w 
M t ( x)  
 
x  M w
2 2
l

Avec :
M0 : La valeur maximale du moment fléchissant dans chaque travée (moment isostatique).
(Mw ; Me) : Les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite
respectivement dans la travée considérée.
qw: Charge répartie à gauche de l’appuis considérée.
qe: Charge répartie à droite de l’appuis considérée.
On calcul, de chaque coté de l’appui, les longueurs de travées fictives « l’w » à gauche et « l’e » à
droite, avec :
l’=l……………pour une travée de rive
l’=0,8l………pour une travée intermédiaire
Où « l » représente la portée de la travée libre.
Effort tranchant
ql M e  M w 

Tw  2 
l

T   ql  M e  M w 
 e
2
l
Avec :
Tw : Effort tranchant à gauche de l’appui considéré.
Te : Effort tranchant à droite de l’appui considéré.
a.3. Calcul des poutrelles


Le calcul se fait en deux étapes :
1èreétape : Avant le coulage de la table de compression.
2èmeétape : Après le coulage de la table de compression.
49
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
* 1ère étape Avant le coulage de la table de compression


-
Poutrelle de travée L=4,85m
On considère que la poutrelle est simplement appuyée à ses extrémités, elle
supporte :
Son poids propre.
Poids du corps creux.
Surcharge due à l’ouvrier Q=1kN/m2
Evaluation des charges et surcharges
 Charges permanentes
Poids propre de la poutrelle………………………0,12x0,05x25=0,15kN/ml
Poids du corps creux……………………………...0,65x0,25x14=2,275kN/ml
G=2,425kN/ml
 Charges d’exploitation
Q=1x0,65=0,65kN/ml
Combinaison des charges
E.L.U
qu=1,35G+1,5Q=4,248kN/ml
E.L.S
qser=G+Q=3,075kN/ml
Calcul des moments
q l 2 3,64 x4,95
Mu  u 
 13,01kNm
8
8
2
q l 2 2,62 x4.95
M ser  ser 
 9,41kNm
8
8
2
Ferraillage
La poutre est sollicitée à la flexion simple à l’E.L.U
Mu=13,01kNm ; b=12cm ; d=4,5cm ; σbc=14,17Mpa
D’après l’organigramme de la flexion simple; on a:
Mu
 3,778   R  0,392  As'  0
2
bd  bc
Donc, les armatures de compression sont nécessaires, mais il est impossible de les placer du
point de vue pratique car la section du béton est trop faible.
Nous prévenons donc des étaiements pour aider la poutrelle à supporter les charges qui lui
reviennent avant et lors du coulage sans qu’elle fléchisse.

50
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
* 2ème étape Après le coulage de la table de compression
Après le coulage et durcissement du béton de la dalle de compression, la poutrelle
travaillera comme une poutrelle en « Té »
Evaluation des charges et surcharges
 Plancher terrasse
 Charge permanentes
G=7,08x0,65=4,60kN/ml
 Surcharges d’exploitation
Q=1x0,65=0,65kN/ml
 Plancher courant
 Charge permanente
G=6,19x0,65=4,02kN/ml
 Surcharge d’exploitation
Q=1,5x0,65=0,97kN/ml
Combinaison des charges
 Plancher terrasse
E.L.U qu=1,35G+1,5Q=7,18kN/ml
E.L.S qser=G+Q=5,25kN/ml
 Plancher courant
E.L.U
qu=1,35G+1,5Q=6,88kN/ml
E.L.S
qser=G+Q=5kN/ml
Conclusion
Le plancher terrasse est le plus sollicité.
51
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Calcul des efforts internes
1- Poutrelle à une seule travée
qu  7,18kN / ml
qser  5,25kN / ml
Calcul des moments
Avec:
-Moment en travée: Mt=0,85M0
- Moment sur appui: Ma=0,20M0
E.L.U
M 0u 
qu l 2
 21,99kNm
8
E.L.S
qser l 2

 16,07kNm
8
M 0 ser
M tu  18,69kNm

M tser  13,65kNm
M au  4.39kNm
; 
M aser  3,20kNm
Effort tranchant
E.L.U
Tu 
qu l
 17,77kN
2
E.L.S
Tser 
qser l
 12.99kN
2
2- Poutrelle à trois travées
G=4,60kN/ml
Q=0,65kN/ml
La méthode forfaitaire n’est pas applicable car la 4ème condition n’est pas vérifiée c’est-àdire: Fissuration préjudiciable n’est pas vérifiée, donc, on utilise la méthode de CAQUOT
Les efforts obtenus sont présenté dans les tableaux qui suivent :
52
Chapitre III
Appuis
1
2
3
4
Calcul des éléments secondaires
Moment sur
appuis (kNm)
ELU
ELS
0
0
-16,98
-12,39
-16,98
-12,39
0
0
Travée
1-2
2-3
3-4
Moment en
travée (kNm)
Portée
réelle
(m)
ELU
ELS
4,85
4,90
4,85
14.04
6,42
13,88
10,23
4,58
10,12
Effort tranchant (kN)
ELU
Tw
14,28
18,11
21,11
Te
-21,11
-18,11
-14,28
ELS
Tw
10,18
12,90
15,09
Te
-15,09
-12,90
-10,18
3- Poutrelles à quatre travées
Nous utilisons la méthode de Caquot (la méthode forfaitaire n’est pas applicable car la 4ème
condition n’est pas vérifiée).
Appuis
1
2
3
4
5
Moment sur
appuis (kNm)
ELU
ELS
0
-16,98
-12,99
-17,38
0
0
-12,39
-9,48
-12,69
0
Travée
1-2
2-3
3-4
4-5
Moment en
travée (kNm)
Portée
réelle
(m)
ELU
ELS
4,85
4,90
4,85
4,95
14,04
8,10
7,52
14,62
10,23
5,82
5,40
10,73
Effort tranchant (kN)
ELU
Tw
14,28
18,79
17,05
21,48
Te
-21,11
-17,30
-18,71
-14,62
ELS
Tw
10,28
13,53
12,26
15,49
Te
-15,22
-12,44
-13,47
-10,53
4- Poutrelles à cinq travées
Nous utilisons la méthode de Caquot (la méthode forfaitaire n’est pas applicable car la 3ème
condition n’est pas vérifiée).
53
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Moment sur
appuis (kNm)
Appuis
1
2
3
4
5
6
ELU
ELS
0
-15,83
-7,21
-7,24
-15,15
0
0
-11,56
-5,26
-5,29
-11,06
0
Travée
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
Moment en
travée (kNm)
Portée
réelle
(m)
ELU
ELS
4,95
2,60
4.15
2,65
4,85
15,09
-5,20
8,61
-4,83
14,51
11
-3,75
6,28
-3,72
10,58
Effort tranchant (kN)
ELU
Tw
14,8
13,07
15,11
7,4
20,73
ELS
Te
-21,17
-6,94
-15,12
-12,92
-14,52
Te
10,58
9,30
10,79
5,18
14,82
Tw
-15,13
-4,83
-10,8
-9,19
-10,37
Nous considérons pour le ferraillage le type de poutrelle le plus défavorable c'est-à-dire qui a le
moment le plus grand en travée et sur appuis, et le calcul se fait à l’ELU en flexion simple.
Les efforts maximaux sur appuis et en travée sont :
Mtumax=15,09kNm
Maumax=17,38kNm
Tumax=21,48kN
E.L.U
E.L.S Mtsermax=10,73kNm
Masermax=12,69kNm
b.1. Ferraillage en travée
h=25cm ; h0=5cm ; b=65cm ; b0=12cm ; d=0,9h=22,5cm ; σbc=14,17MPa ; fe=400MPa ;
fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa
Le calcul des sections en forme de « Té » s’effectue différemment selon que l’axe neutre est dans la
table ou dans la nervure.


Si Mu<Mtab : l’axe neutre est dans la table de compression.
Si Mu>Mtab : l’axe neutre est dans la table ou dans la nervure.
h 

M tab  bh0 bc  d  0   92,10kNm
2

Nous avons : Mtu<Mtab
Alors : l’axe neutre est dans la table de compression.
Comme le béton tendu n’intervient pas dans les calculs de résistance, nous conduisons le calcul
comme si la section était rectangulaire de largeur constante égale à la largeur de la table « b ».
Donc, la section étudiée est assimilée à une section rectangulaire (bxh) en flexion simple.
D’après l’organigramme donnant le ferraillage d’une section soumise à la flexion, nous aurons :
Mtu(kNm)
15,09
µ
0,039
µ<µR
Oui
As’(cm2)
0
α
0,050
Z(cm)
220,41
µ<0,186
Oui
ζs
10‰
σs(MPa)
347,82
As(cm2)
1,968
Tableau.III.1. Tableau récapitulatif du calcul des sections d’armatures en travée
54
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b.1.1. Condition de non fragilité
f t 28
 1.962cm 2
fe
As=Max{1,962cm2 ;1,968cm2}=1,968cm2
Asmin  0,23bd
Choix : 3T10 (As=2,36cm2)
b.2. Ferraillage sur appuis
Nous avons Maumax=17,38kNm < Mtab=92,10kNm
 L’axe neutre est dans la table de compression, et la section étudiée est assimilée à une section
rectangulaire (b0xh) en flexion simple.
Mtu(kNm)
17,38
µ
0,218
µ<µR
Oui
As’(cm2)
0
α
0,311
Z(cm)
19,69
µ<0,186
Non
ζs
7,69
σs(MPa)
347,82
As(cm2)
2,53
Tableau.III.2 Tableau récapitulatif du calcul des sections d’armatures sur appuis
b.2.1. Condition de non fragilité
f t 28
 0,326cm 2
fe
As=2,53cm2 > Asmin=0,326cm2
Asmin  0,23b0 d
Choix : 1T12+1T14 (As=2,67cm2)
c. Vérifications
c.1. Effort tranchant
Pour l’effort tranchant, la vérification du cisaillement se fera dans le cas le plus défavorable
c'est-à-dire : Tumax=21,48kN.
Nous devons vérifier que :  u   u

 u  Min 0,2

Tel que :
u 

;5MPa   3,33MPa
b

f cj
max
u
T
 0,79 MPa   u ................Vérifiée
b0 d
55
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Au voisinage des appuis

Appuis de rives
-
Vérification de la compression du béton [1]
Tu
f
 0,4 c 28
0,9b0 d
b
Avec : Tu=14,15kN (appuis de rive)
f
14,82.103
b 
 0,609MPa  0,4 c 28  6,67 MPa...................Vérifiée
0,9 x120 x 225
b
b 
-
Vérification des armatures longitudinales [1]
As  2,67cm 2 
Tu
 0,426cm 2 .......................Vérifiée
fe
s

Appuis intermédiaires
-
Vérification de la contrainte de compression [1]
Tumax
f
21,48.103
b 

 0,883MPa  0,4 c 28  6,67 MPa.............Vérifiée
0,9b0 d 0,9 x120 x 225
b
Vérification des armatures longitudinales [1]
M
Tumax  ua
0,9d
As  2,67cm 2 
 1,84..................Vérifiée
-
s
c.2. Vérification à l’E.L.S
c.2.1. Vérification des contraintes du béton [1]
Soit « y » la distance du centre de gravité de la section homogène (par lequel passe, l’axe
neutre) à la fibre la plus comprimée.
La section étant soumise à un moment Mser, la contrainte à une distance « y » de l’axe neutre :
M
 bc  ser y
I
D’après l’organigramme de la vérification d’une section rectangulaire à l’ELS, nous devons vérifier
que :  bc   bc  0,6 f c 28  15MPa
Détermination de l’axe neutre
Nous supposons que l’axe neutre se trouve dans la table de compression :
b 2
y  nAs  y  c   nAs d  y   0
2
56
Chapitre III
Avec : n 
Calcul des éléments secondaires
Es
 15 ; b=65cm(travée) ; b0=12cm(appuis) ; c=c’=2,5cm
Eb
y : est une solution de l’équation du deuxième degré suivante, puis on calcule le moment d’inertie :
by 2  30 As  As  y  30dAs  c As   0


b 3
2
2
 I  y  15 As d  y   15 As  y  c 
3



Si y  h0  l’hypothèse est vérifiée
Si y  h0  la distance « y » et le moment d’inertie « I » se Calculent par les formules qui
suivent :


b0 y 2  2b  b0 h0  30 As  As y  b  b0 h02  30dAs  c As   0

2

b0 3 b  b0 h03
h0 

2
2
y 
 b  b0 h0  y    15 As d  y   As  y  d 
I 
3
12
2



Travée
Appuis
Mser(kNm)
10,73
12,69
As(cm2)
2,36
2,67
A’s(cm2)
1,54
2,36
Y(cm)
4,40
4,60
I(cm4)
13443.04
14941,36

σbc(MPa)
3,51
0,39
Vérification
Vérifiée
Tableau.III.3. Tableau récapitulatif pour la vérification à l’ELS
c.2.2. Vérification de la flèche
La vérification de la flèche n’est pas nécessaire si les conditions suivantes sont vérifiées [3]
h 1

L 16
A
4,2
 s 
b0 d
fe


Mt
h

L 10 M 0
Avec:
h=25cm; b0=12cm; d=22,50cm; L=4,95m ; Mtser=10,73kNm ; M0=16,07kNm ; As=2,36cm2 ;
fe=400MPa.
57
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Alors:
h
 0,050  0,0625...................non vérifiée
L
A
 s  0,00874  0,0105................vérifée
b0 d


h
 0,050  0,066......................non vérifiée
L
Puisque les deux conditions ne sont pas vérifiées, il est nécessaire de calculer la flèche.
Flèche totale : f T  f v  f i  f [1].
L
 0,99cm
( L  5m)
Tel que : f 
500
fi: La flèche due aux charges instantanées.
fv: La flèche due aux charges de longues durée.
- Position de l’axe neutre « y1 » [1]
bh0
y1 
h0
 h  h0

 h  h0 b0 
 h0   15 As d
2
 2



bh0  h  h0 b0  15 As
- Moment d’inertie de la section totale homogène « I0 » [1]
I0 
b  b0  
b 3 b0
3
3
2
y1  h  y1  
y1  h0   15 As d  y1 
3
3
3
- Calcul des moments d’inerties fictifs [3]
I fi 
1,1I 0
1  i 
; I fv 
I0
1  v 
Avec :
0,05 f t 28
.................... Pour la déformation instantanée.
b0 

2  3 
b

0,02 f t 28
v 
.................... Pour la déformation différée.
b0 

2  3 
b

A
  s : Pourcentage des armatures.
b0 d
1,75 f t 28
  1
4 s  f t 28
i 
58
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
σs : Contrainte de traction dans l’armature correspondant au cas de charge étudiée.
M
 s  ser
As d
Les résultats sont récapitulés dans ce tableau :
Mser
(kNm)
10,73
As
(cm2)
2,36
Y1
(cm)
8,67

0,0078
σs
(MPa)
202,07
λi
λv
µ
4,70
1,88
0,56
I0
(cm4)
23601,24
Ifi
(cm4)
7147,95
Ifv
(cm4)
11497,10
Tableau.III.4. Récapitulatif du calcul de la flèche
- Calcul des modules de déformation
Ei  11000 f c 28 3  32164,20MPa
1
Ev 
Ei
 10721,40MPa
3
- Calcul de la flèche due aux déformations instantanées
fi 
M ser l 2
 0,98cm
10 Ei I fi
(l  4,60m)
- Calcul de la flèche due aux déformations différées
fv 
M ser l 2
 1,84cm
10 Ev I fv
fT  f v  f i  0,86cm  f  0,92cm........................vérifiée
d. Calcul des armatures transversales et l’espacement
L’acier choisi pour les armatures transversales est de type rond lisse de nuance FeE24
(fe=235MPa)

« BAEL
91 modifié 99 » [1]
 u  0,3 f tj K
 At
( K  1 pas de reprise de bétonnage)
b S 
0,8 f e
 0 t
S t  Min 0,9d ;40cm 
A f
 t e  Max  u ;0,4 MPa 
 b0 S t
2

59
Chapitre III

« RPA
Calcul des éléments secondaires
99 version 2003 » [2]
 At
 S  0,003b0
 t

h

S t  Min  ;12l ......................Zone nodale
4



h
S t  ........................................Zone courante
2

Avec :
b
 h
; l ; 
10 
 35
Øl : Diamètre minimum des armatures longitudinales.
Øt≤Min (0,60cm ; 1cm ; 1,20cm)=0,60cm
t  Min 
Nous adoptons : Øt=6mm
Donc :

Selon le « BAEL 91 modifié 99 » [1]
 At
4
 S  5.10 cm
 t
S t  20,25cm
A
 t  0.012cm
 S t

Selon le « RPA 99 version 2003 » [2]
 At
 S  0,036
 t
S t  6.25cm......................Zone nodale
S  12,50cm....................Zone courante
 t

Choix des armatures
Nous adoptons :At=2Ø6=0,57cm2
Choix des espacements
At
 0,036  S t  15,83cm
St
S t  5cm......................Zone nodale
Donc : 
S t  10cm....................Zone courante
60
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Figure III.5. Disposition constructive des armatures des poutrelles
e. Ferraillage de la dalle de compression
Le ferraillage de la dalle de compression doit se faire par un quadrillage dont les dimensions
des mailles ne doivent pas dépasser :
-
20cm : Dans le sens parallèle aux poutrelles.
30cm : Dans le sens perpendiculaire aux poutrelles.
4 L1

50  L1  80cm  A1  fe

Si : 
 L  50cm  A  200
2
 1
fe
( L1 en cm)
Avec :
L1 : Distance entre axes des poutrelles (L1=65cm)
A1 : Armatures perpendiculaires aux poutrelles (AP)
A2 : Armatures parallèles aux poutrelles (AR)
A
A2  1
2
Donc nous obtenons : A1=0,65cm2/ml
Nous prenons : 5T8=2,51cm2
100
St 
 20cm
5
Armatures de répartitions
A
A2  1  1,25cm 2
2
Soit : 5T8=2,51cm2→St=20cm
61
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Conclusion
Pour le ferraillage de la dalle de compression, nous adoptons un treillis soudé dont la dimension
des mailles est égale à 20cm suivant les deux sens.
TS Ø8
Figure III.6. Disposition constructive des armatures de la table de compression
III.3.3. Plancher en dalle pleine
Les dalles pleines sont des éléments d’épaisseur faible par rapport aux autres dimensions,
chargées perpendiculairement à leur plan moyen reposant sur deux, trois ou quatre appuis et même
des dalles pleines en porte à faux (console).
Dans notre structure, nous avons des dalles pleines sous forme rectangulaire qui reposent sur quatre
appuis, pour le calcul nous choisissons la dalle la plus sollicitée.
III.3.3.1. Evaluation des charges
G=7,64kN/m2, Q=3,50kN/m2.
ELU
qu=1,35G+1,5Q=15,56kN/m2
ELS
qser=G+Q=11,14kN/m2
L
4,85
 x 
 0,73  0,4  La dalle travaille dans
Ly 6,65
les deux sens.
III.3.3.2. Calcul des moments


Dans le sens de la petite portée : M x   x qu L2x
Dans le sens de la grande portée : M y   y M x
62
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Les coefficients μx et μy sont fonction de  
Lx
et ν.
Ly
à l ' ELU

0
ν: Coefficient de poisson 
à l ' ELS

0,2
μx et μy sont donnés par l’abaque de calcul des dalles rectangulaire [1].
 x  0,0646
 y  0,4780
  0,73  
M x   x qu L2x  23,64kNm
M y   y M x  11,30kNm

Moments en travées
Mtx=0,75Mx=17,73kNm
Mty=0,75My=8,47kNm

Moments sur appuis
Max=May=0,5Mx=11,82kNm
III.3.3.3. Ferraillage de la dalle
b=100cm ; h=20cm ; d=0,9h=18cm ; fe=400MPa ; fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa ; σs=348MPa
Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant :
Sens
Travée
Appuis
x-x
y-y
x-x
y-y
Mu
(kNm)
17,73
8,47
0,038
0,020
11,82
0,025
µ
As’
(cm2)
0
α
Z(cm)
0,049
0,026
17,64
16,82
Ascal
(cm2)
2,88
1,44
0,032
17,76
1,91
Choix
Asadp
(cm2)
Esp
(cm)
4T12
4,52
25
Tableau III.5. Ferraillage de la dalle pleine
Espacement

Travée
100
 25cm  Min 3h;33cm   33cm................Vérifiée
4
100
 25cm  Min 4h;45cm   45cm................Vérifiée
Sens y-y, esp 
4
Sens x- x, esp 

Appuis
Sens x-x, esp 
100
 25cm  Min 3h;33cm   33cm................Vérifiée
4
63
Chapitre III
Sens y-y, esp 
Calcul des éléments secondaires
100
 25cm  Min 4h;45cm   45cm................Vérifiée
4
III.3.3.4. Condition de non fragilité
Nous avons : 12cm  e  30cm
h=e=20cm; b=100cm
3    bh  1,82cm 2

 Ax   0
2

 Ay   0 bh  1,6cm 2

 0  0,8 0 00 pour les barres à haute adhérence

Avec 
Lx
  L  0,73
y


Travée
Sens x-x, Ax  4,52cm 2  Asmin  1,82cm 2 ...............Vérifiée
Sens y-y, Ay  4,52cm2  Asmin  1,82cm2 ...............Vérifiée

Appuis
Sens x-x, Ax  4,52cm 2  Asmin  1,82cm 2 ............... vérifiée
Sens y-y, Ay  4,52cm2  Asmin  1,82cm2 ............... vérifiée
III.3.3.5. Calcul des armatures transversales
Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci dessous est
Tumax
vérifiée :  u 
  u  0,05 f c 28  1,25MPa
bd
qu Lx L y
15,56 x 4,85 x6,65
Tx 

 30,69kN
2 Lx  L y
2 x 4,85  6,65
Ty 
Tumax
qu Lx
 25,15kN
3
 Max Tx ; Ty   30,69kN
30,69.103
u 
 0,170 MPa   u  1,25MPa..................Vérifiée
1000 x180
64
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.3.3.6. Vérification à L’ELS
a. Evaluation des sollicitations à l’ELS
 x  0,0708
Lx
 0,73  
Ly
 y  0,6138
M  0,85M x  15,77kNm
M x   x q ser L2x  18,55kNm  tx
 M ty  0,85M y  9,67kNm

M y   y M x  11,38kNm

M a  0,3M x  5,56kNm
b. Vérification des contraintes

Béton
b 

M ser
y   bc  0,6 f c 28  15MPa
I
Acier
s 
M ser
d  y    s
I
La fissuration est considérée comme préjudiciable.
 s  15
M ser
d  y    s  Min  2 f e ; max  f e ;110 Ftj   201,63MPa
I
3
2

Avec :
Ftj=2,10MPa
η=1,6 ; pour HA ; fe=400MPa
1- Détermination de la valeur de « y »
b 2
y  nAs  y  c   nAs d  y   0
2
avec : n  15
2- Moment d’inertie
by 3
2
2
I
 nAs d  c   nAs d  y 
3
Les résultats trouvés en travée et sur appui dans les deux sens sont regroupés dans le tableau
suivant :
65
Chapitre III
(x-x)
(y-y)
Appuis
Travée
Calcul des éléments secondaires
Mser(kNm)
As(cm2)
Y(cm)
I(cm4)
σbc(MPa)
15,77
9,67
5,56
4,52
4,52
4,52
4,31
4,17
4,31
14041,19
12369,01
14041,19
4,84
3,26
1,70
 bc   bc
σs(MPa)
vérifiée
198,63
150,46
81,31
s s
vérifiée
Tableau III.6. Vérification des contraintes à l’ELS
c. Vérification de la flèche
Il n’est pas nécessaire de faire la vérification de la flèche, si les trois conditions
citées ci dessous sont vérifiées simultanément : [3]
Mt 
h


Lx 20M x 
0,041  0,037...................vérifiée
h
1 1 
2

à   0,041  0,028à0,037.........vérifiée
Lx 27 35  
3
3
 1,75.10  5.10 .............vérifiée
A
2
3


bd
fe

1
Les trois conditions sont vérifiées, donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire.
Figure III.7. Disposition constructive des armatures de la dalle pleine
66
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.3.4. Etude de la dalle machine
III.3.4.1. Introduction
La dalle machine est une dalle pleine, qui reprend un chargement important par rapport à
celle des dalles de l’étage courant ou terrasse, cela est due au mouvement de l’ascenseur ainsi qu’à
son poids, en tenant compte de la variation des efforts de la machine par rapport à la dalle.
III.3.4.2. Pré dimensionnement
La dalle d’ascenseur doit avoir une certaine rigidité vu le poids de la machine.
Nous avons deux conditions à vérifier :
Lx = 1,45m
a. Résistance à la flexion
Lx
L
145
145
e x 
e
50
40
50
40
2,90cm  e  3,62cm
Ly = 1,60m
b. Condition de l’E.N.A
L’entreprise nationale des ascenseurs (E.N.A) préconise que l’épaisseur de la dalle machine est
e  25cm
Nous prenons : e=25cm
III.3.4.3. Détermination des charges et surcharges
a. Charges permanentes
-
Poids de la dalle machine supportée………………………...50kN/m2
Poids propre de la dalle………………………....0,25x25=6,25kN/m2
G=56,25kN/m2
b. Surcharge d’exploitation
Q=1kN/m2
III.3.4.4. Combinaison des charges
E.L.U qu=1,35G+1,5Q=77,437kN/m2
E.L.S qser=G+Q=57,25kN/m2
III.3.4.5. Calcul des efforts [1]
Le calcul des efforts de la dalle se fait selon la méthode de calcul des dalles reposantes
sur 4 côtés.
67
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Calcul de « ρ »
0,4   
Lx 1,45

 0,906  1
Ly 1,60
 La dalle travail dans les deux sens.
 M x   x qu L2x
 M y  yM x
E.L.U
 x  0,0447  M x  7,28kNm

 y  0,8036  M y  5,85kNm
Selon les conditions d’encastrement d’appuis, nous obtenons les moments suivants :

Moments en travées
Mtx=0,85Mx=6,19kNm
Mty=0,85My=5kNm

Moments sur appuis
Max=0,3Mx=2,18kNm
May=0,3My=1,75kNm
Ma=Max(Max ; May)=2,18kNm
III.3.4.6. Ferraillage de la dalle
Le ferraillage de la dalle machine se fait comme suit :
Pour une bande de 1m, nous aurons une section (b x h)= (100x25) cm2 qui travaille en flexion
simple.
III.3.4.6.1. Ferraillage en travée
a. Dans le sens « Lx »
On a: b=100cm; h=25cm ; d=0,9h=22,50cm ; c=2cm ; σbc=14,17MPa ; σs=348MPa
Mtx(kNm)
6,19
μ
0,0086
A’s(cm2)
0
α
0,0108
Z(cm)
22,40
Acals(cm2)
1,03
Choix
5T8
Aadps(cm2)
2,51
Tableau.III.7. Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage en travée (sens Lx)
Espacement
Esp 
100
 20cm  Min 3h;33cm   33cm................vérifée
5
68
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Dans le sens « Ly»
Nous aurons : b=100cm ; h==25cm ; d=dx-Øx=21,5cm ; c=2cm ; σbc=14,17MPa ;
σs=348MPa
Mty(kNm)
5
μ
0,0076
A’s(cm2)
0
α
0,0095
Z(cm)
21,41
Acals(cm2)
0,87
Choix
5T8
Aadps(cm2)
2,51
Tableau.III.8. Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage en travée (sens Ly)
Espacement
Esp 
100
 20cm  Min 4h;45cm   45cm................vérifée
5
III.3.4.6.2. Ferraillage sur appuis
Nous aurons : b=100cm ; h==25cm ; d=22,5cm ; c=2cm ; σbc=14,17MPa ; σs=348MPa
Ma(kNm)
2,18
Μ
0,0030
A’s(cm2)
0
Α
0,0038
Z(cm)
22,46
Acals(cm2)
0,36
Choix
5T8
Aadps(cm2)
2,51
Tableau.III.9. Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage sur appuis
Espacement
100
 5  20cm  Min 3h;33cm   33cm( sens x  x)
Esp  
100  20cm  Min 4h;45cm   45cm( sens y  y )
 5
.................vérifiée
................vérifiée
III.3.4.7. Calcul des armatures transversales [5]
Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci-dessous est
vérifiée :
Tumax
  u  0,05 f c 28  1,25MPa
bd
qu L x L y
Tx 
 39,92kN
2 Lx  L y
u 
Ty 
Tumax
u 
qu L x
 37,43kN
3
 Max (Tx ; Ty )  39,92kN
39,92.10 3
 0,177 MPa   u  1,25MPa....................vérifiée
1000 x 225
69
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.3.4.8. Vérification à l’E.L.S
a. Vérification des contraintes

Béton
M
 b  ser y   bc  0,6 f c 28  15MPa
I

Acier
M
 s   ser d  y    s
I
La fissuration est considérée comme préjudiciable.
 s  15
M ser
d  y    s  Min  2 f e ; max  f e ;110 Ftj   201,63MPa
I
3
2

Avec :
η=1,6 pour HA ; fe=400MPa
L
  x  0,906 ; q ser  57,25kN / m 2
Ly
 M x   x q ser L2x
 M y  yM x
E.L.S
 x  0,0518  M x  6,23kNm

 y  0,8646  M y  5,39kNm

Moments en travées
Mtx=0,85Mx=5,30kNm
Mty=0,85My=4,58kNm

Moments sur appuis
Ma=Max (0,3Mx; 0,3 My)=1,87kNm
3- Détermination de la valeur de « y »
b 2
y  nAs  y  c   nAs d  y   0
2
avec : n  15
4- Moment d’inertie
by 3
2
2
I
 nAs d  c   nAs d  y 
3
70
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Les résultats trouvés en travée et sur appui dans les deux sens sont regroupés dans le tableau
suivant :
(x-x)
(y-y)
Appuis
Travée
Mt(kNm)
As(cm2)
Y(cm)
I(cm4)
σbc(MPa)
5,30
4,58
1,87
2,51
2,51
2,51
3,76
3,66
3,76
14994,12
13616,96
14994,12
1,32
1,23
0,47
 bc   bc
vérifiée
σs(MPa)
99,36
90
35,06
s s
vérifiée
Tableau.III.10. Vérification des contraintes de la dalle en travée et sur appuis dans les
deux sens
b. Vérification de la condition de non fragilité [3]
h=25cm ; b=100cm
3    bh  2,10cm 2

 Ax   0
2

 Ay   0 bh  2cm 2

pour les barres à haute adhérence [1]
 0  0,8 0 00

Avec 
Lx
  L  0,906
y

 Sens Lx-x
Sur appuis Ax=2,51cm2/ml>2,10cm2………………vérifiée
En travée Ax=2,51cm2/ml>2,10cm2………………vérifiée
 Sens Ly-y
Sur appuis Ay=2,51cm2/ml>2cm2………………vérifiée
En travée Ax=2,51cm2/ml>2cm2………………vérifiée
c. Vérification de la flèche
Il n’est pas nécessaire de faire la vérification de la flèche, si les trois conditions citées cidessous sont vérifiées simultanément :
 h
Mt


 Lx 20M x
0,172  0,042....................vérifiée
 h
1 1


à  0,172  0,028à0,037..........vérifiée
D’après [3] 
 Lx 27 35 1,115.10 3  5.10 3............vérifiée

 As
2



 bd f e
71
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Conclusion
Les trois conditions sont vérifiées donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire.
Figure III.8. Ferraillage de la dalle machine
72
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.4. Escalier
III.4.1. Introduction
Les escaliers sont des éléments constitués d’une succession de gradins, ils permettent le
passage à pied entre différents niveaux du bâtiment.
Notre bâtiment comporte deux types d’escaliers.
III.4.2. Définition des éléments d’un escalier
Nous appelons « marche » la partie horizontale (M) des gradins constituant l’escalier, et « contre
marche » la partie verticale (C.M) de ces gradins.
h : Hauteur de la marche.
g : Largeur de la marche.
L : Longueur horizontale de la paillasse.
H : Hauteur verticale de la paillasse.
e1 : Epaisseur du palier.
e2 : Epaisseur de la paillasse.
Figure III.9. Dimensions de l’escalier
Pour une réalisation idéale et confortable nous devons avoir 2h+g=64
Nous obtenons, le nombre des marches et leur dimension par les relations suivantes :
2h+g=64 ………………………… (1)
n  h  H ………………………… (2)
(n-1)g=L ………………………… (3)
Avec :
n : Le nombre des contre marches
(n-1) : Le nombre des marches
En remplaçant (2) et (3) dans (1), nous obtenons:
64n²-n(64+2H+L)+2H=0
Avec :
n : La racine de l’équation
73
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.4.3. Escalier type "I"
64n²-n1211+612=0
Solution
n1=0,52……………..refusée.
n2=18
Donc nous prenons :
-
le nombre de contre marche …….... n=18
le nombre des marches ……………n-1=17
Alors :
H
 0,17 m  17cm
n
L
g
 0,30m  30cm
n 1
h
a. Vérification de l’équation de « BLONDEL »
59  g  2h   66 cm

16  h  18cm
22  g  33cm

2h  g  64cm

h  17cm
g  30cm


………….Vérifiée
b. Détermination de l’épaisseur de la paillasse
L
L
e
Avec L=535cm
30
20

17,83  e  26,75cm
Nous prenons donc l’épaisseur e=20 cm
N.B : Le palier aura la même épaisseur que la paillasse.
Cette épaisseur sera prise en considération une fois que toutes les vérifications soient
satisfaites.
c. Angle d’inclinaison de la paillasse
tg 
H 306

 0,572    2976
L 535
74
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.4.3.1. Evaluation des charges
a. Palier
a. 1. Charges permanentes
Carrelage (e=2cm) …………………………………………… 0,50KN/m²
Mortier de pose (e=2cm) …………………………………….. 0,40KN/m²
Lit de sable (e=3cm) …………………………………………. 0,54KN/m²
Dalle pleine (e=20cm) …. ..…………. .… ………………….. 5,00KN/m²
Enduit en ciment (e=2cm) …………………………………… 0,36KN/m²
G1=6,80KN/m²
a. 2. Charge d’exploitation
-
Q1=2,50KN/m²
b. Paillasse
b. 1. Charges permanentes
Carrelage (e=2cm) …………………………………………… 0,50KN/m²
Mortier de pose (e=2cm) …………………………………….. 0,40KN/m²
25  0,17
 ……………………… 2,13KN/m²
- Poids propre de la marche
2
 25  0,20 
- Poids propre de la paillasse 
  ……………….…...5,75KN/m²
 cos 29,76 
- Garde corps ……………………………………………………1,00KN/m²
- Enduit en ciment (e=2cm) …………………………………….0,36KN/m²
G2=10,14KN/m²
b. 2. Charge d’exploitation
-
Q2=2,50KN/m²
III.4.3.2. Schéma statique
III.4.3.3. Combinaison des charges
E.L.U
E.L.S
qu1=1,35G1+1,5Q1
qu2=1,35G2+1,5Q2
qser1=G1+Q1
qser2=G2+Q2
75
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Le chargement de la rampe pour une bande de 1m est donné par le tableau suivant :
q1 (KN/ml)
q2 (KN/ml)
ELU
16,30
21,34
ELS
11,80
15,53
Tableau III.11. Charge à l’ELU et l’ELS
Du fait que le système est hyperstatique nous avons opté de modéliser et calculer notre élément sur
le logiciel de calcul SAP2000.
III.4.3.4. Moment pris SAP2000
Moment en travée,
Moment sur appui,
Mt= 31,87KN.m
Ma= 90,30KN.m
III.4.3.5. Calcul des armatures
-
Le calcul se fait pour une section rectangulaire de dimension (b x h)
Tel que : b=100cm ; h=20cm
-
Le ferraillage se fait en flexion simple pour une bande de 1m de largeur (organigramme I,
voir annexe).
f c 28  25MPa
 s  348MPa
f bc  14,17 MPa ; f t 28  2,10MPa ;  b  1,5 ;
 s  1,15 ; fe=400MPa
Mu
(KNm)
Travée
Appuis
31,87
90,30
Ascal / ml
(cm²)
3,44
10,08
Choix
5T12
9T12
Asadp / ml
(cm²)
5,66
10,18
Tableau III.12. Ferraillage de l’escalier Type "I"
Espacement
100
 20cm
5
Nous prenons : esp=15cm
100
esp 
 11,11cm
 Sur appui
9
Nous prenons : esp=10cm

En travée
esp 
Armature de répartition
As
A
 En travée
 Ar  s  1,41cm² / ml  Ar  2,83cm² / ml
4
2
Le choix est de 5T8=2,51cm² avec St=20cm
76
Chapitre III

Sur appui
Calcul des éléments secondaires
As
A
 Ar  s
4
2
 2,54cm² / ml  Ar  5,09cm² / ml
Le choix est de 6T8=3,02cm² avec St=15cm
III.4.3.6. Vérification
a. Condition de non fragilité
f t 28
 3,26cm²
fe
En travée : As  5,66cm 2  Asmin  3,26cm 2 ..................vérifiée
As  Asmin  0,23bd
Sur appui : As  10,18cm 2  Asmin  3,26cm 2 ..................vérifiée
b. Effort tranchant
Nous devons vérifier que :  u   u


;5MPa   3,33MPa
b


max
3
T
58,45  10
 u 
 0,216MPa   u  3,33MPa....................vérifiée
bd
1000  270
  Min 0,2

f c 28
Influence de l’effort tranchant au voisinage des appuis (vérification de l’ancrage)
Les armatures longitudinales tendues inférieures doivent être ancrées au-delà de l’appui, pour
équilibrer l’effort de traction.
M
- Si : Tu  u  0  les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction.
0,9d
M 

Tu  u 

M
0,9d

- Si : Tu  u  0  il faut satisfaire la condition suivante : As  
0,9d
 s



M
76,75.106
- Tu  u  65,68.103 
 250,16KN  0
0,9d
0,9  270
Les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction.

Vérification des armatures transversales
Tumax
 0,216MPa  0,05 f c 28  1,25MPa.................vérifiée
bd
Donc les armatures transversales ne sont pas nécessaires.

77
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
c. Vérification à l’E.L.S
c.1. Vérification des contraintes du béton
- Position de l’axe neutre
b
y ²  nAs' ( y  c' )  nAs (d  y )  0
2
- Moment d’inertie
b 3
y  nAs' ( y  c' )²  nAs (d  y )²
3
Avec :
n=15 ; c’=2cm ; d=27cm ; b=100cm ; A s' =0
I
Nous devons vérifier que:
M ser
y   bc  0,6 f c 28  15MPa
I
Tous les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous
 bc
Mser(KNm)
As(cm²)
Y(cm)
I(cm4)
 bc (MPa)
 bc   bc
23,09
65,43
5,66
10,18
5,97
10,73
44640,49
81600,86
3,09
8,60
Vérifiée
Travée
Appui
Tableau III.13. Vérification à l’E.L.S
c.2. Vérification de la flèche
Il n’est pas nécessaire de calculer la flèche si les inégalités suivantes sont satisfaites :
h 1
 
 L 16
 As 4,2
 
fe
 bd
h
Mt
 
 L 10 M 0
 20
 535  0,0373  0,0625 non vérifiée

 5,66
 0,0031  0,0105 vérifiée
 
100  27

1
 0,1 non vérifiée
0,0373 
10

Deux conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calculer la flèche
Flèche totale : f T  f v  f i  f [1].
78
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires

M ser L2
f

 i 10 E I
i fi


M L2
Avec  f v  ser
10 Ev I fv


L
f 
500


L=5,35m>5m
Moment d’inertie de la section homogène I0
2
I0 
bh 3
h

h

 15 As   d   15 As   d  
12
2

2

11
, I0

 I fi  1   
i

I
0
I 
 fv 1  v 
2
Moment d’inertie fictif
0,05 f t 28

i  
3b 
2  0 

b 


Avec 
  0,02 f t 28
 v
3b 

2  0 

b 


;

As
  b d
0


1,75 f t 28
  1 
4 s  f t 28


M ser
 s 
As d

Ei=32164,20MPa ; Ev=10721,40MPa
Les résultats sont récapitulés dans ce tableau :
Mser
(KNm)
As
(cm2)

23,09
5,66
0,0023
s
(MPa)
183,22
i
v
µ
I0
(cm4)
Ifi
(cm4)
Ifv
(cm4)
9,13
3,65
0,03
237225,6
204841,95
213813,07
Tableau III.14. Vérification de la flèche de l’escalier Type "I"
Donc :
f i  0,10cm 
  f T  f v  f i  0,18cm
f v  0,28cm
L
535
f  0,5 
 0,5 
 1,03cm
1000
500
 fT  0,18cm  f  1,03cm.................vérifiée.
79
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Figure III.10. Ferraillage de l’escalier Type "I"
III.4.4. Escalier type "II"
64n²-n872+448=0
Solution :
n1=0,53……………..refusée.
n2=13
Donc on prend :
-
le nombre de contre marche ……... n=13
le nombre des marches ……………n-1=12
Alors :
H
 0,17m  17cm
n
L
g
 0,30m  30cm
n 1
h
80
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
a. Vérification de l’équation de « BLONDEL »
59  g  2h   66 cm

16  h  18cm
22  g  33cm

2h  g  64cm

h  17cm
g  30cm


Vérifiée
b. Détermination de l’épaisseur de la paillasse
L
L
e
30
20
Avec L=360cm

12  e  18cm
Nous prenons donc l’épaisseur e=15 cm
N.B : Le palier aura la même épaisseur que la paillasse.
Cette épaisseur sera prise en considération une fois que toutes les vérifications soient
satisfaites.
c. Angle d’inclinaison de la paillasse
tg 
H 224

 0,622    31,89
L 360
III.4.4.1. Evaluation des charges
a. Palier
a. 1 Charges permanentes
-
Carrelage (e=2cm) …………………………………………… 0,50KN/m²
Mortier de pose (e=2cm) …………………………………….. 0,40KN/m²
Lit de sable (e=3cm) …………………………………………. 0,54KN/m²
Dalle pleine (e=15cm) ……………………………………….. 3,75KN/m²
Enduit en ciment (e=2cm) …………………………………… 0,36KN/m²
G1=5,55KN/m²
a. 2 Charge d’exploitation
Q1=2,50KN/m
81
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Paillasse
b. 1 Charges permanentes
-
 25  0,15 
Poids propre de la paillasse 
  ……………….…...….4,42KN/m²
 cos 31,89 
Carrelage (e=2cm) ……………………………………………… 0,50KN/m²
Mortier de pose (e=2cm) ………………………………………...0,40KN/m²
25  0,17
 ……………………..…. 2,13KN/m²
Poids propre de la marche
2
Garde corps ………………………………………………….…1,00KN/m²
Enduit en ciment (e=2cm) ……………………………………..0,36KN/m²
G2=8,81KN/m²
b. 2 Charge d’exploitation
Q2=2,50KN/m²
III.4.4.2. Schéma statique
III.4.4.3. Combinaison des charges
Le chargement de la rampe pour une bande de 1m est donné par le tableau suivant :
q1 (KN/ml)
q2 (KN/ml)
ELU
14,61
19,61
ELS
10,55
14,25
Tableau III.15. Charge à l’ELU et l’ELS
Du fait que le système est hyperstatique nous avons opté de modéliser et calculer notre élément sur
le logiciel de calcul SAP2000.
III.4.4.4. Moments pris du SAP2000
Moment en travée, Mt= 14,47KN.m
Moment sur appui, Ma= 41KN.m
82
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.4.4.5. Calcul des armatures
-
Le calcul se fait pour une section rectangulaire de dimension (b x h)
Tel que : b=100cm ; h=15cm
-
Le ferraillage se fait en flexion simple pour une bande de 1m de largeur (organigramme I,
voir annexe).
f c 28  25MPa
 s  348MPa
f bc  14,17 MPa ; f t 28  2,10MPa ;  b  1,5 ;
 s  1,15 ; fe=400MPa
Mu
(KNm)
Travée
Appuis
14,47
41
Ascal / ml
(cm²)
1,86
5,39
Choix
5T12
7T12
Asadp / ml
(cm²)
5,66
7,92
Tableau III.16. Ferraillage de l’escalier Type "II"
Espacement
100
 20cm
5
Nous prenons : esp=15cm
100
esp 
 14,28cm
 Sur appui
7
Nous prenons : esp=10cm

En travée
esp 
Armature de répartition
As
A
 Ar  s  1,41cm² / ml  Ar  2,83cm² / ml
4
2
Le choix est de 5T8=2,51cm² avec St=20cm
As
A
 Sur appui
 Ar  s  1,98cm² / ml  Ar  3,96cm² / ml
4
2
Le choix est de 5T8=2,51cm² avec St=15cm

En travée
III.4.4.6. Vérifications
a. Condition de non fragilité
f t 28
 2,71cm²
fe
En travée : As  5,66cm 2  Asmin  2,71cm 2 ..................vérifiée
As  Asmin  0,23bd
Sur appui : As  7,92cm 2  Asmin  2,71cm 2 ..................vérifiée
83
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Effort tranchant
Nous devons vérifier que :  u   u


;5MPa   3,33MPa
b


max
3
T
40,23  10
 u 
 0,178MPa   u  3,33MPa....................vérifiée
bd
1000  225
  Min 0,2

f c 28
Influence de l’effort tranchant au voisinage des appuis (vérification de l’ancrage)
Les armatures longitudinales tendues inférieures doivent être ancrées au-delà de l’appui, pour
équilibrer l’effort de traction.
M
- Si : Tu  u  0  les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction.
0,9d
Mu 

T

u

M
0,9d 

- Si : Tu  u  0  il faut satisfaire la condition suivante : As  
0,9d
 s



Mu
47,60.106
3
- Tu 
 48,38.10 
 186,68KN  0
0,9d
0,9  225
Les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction.

Vérification des armatures transversales
Tumax
 0,178MPa  0,05 f c 28  1,25MPa.................vérifiée
bd
Donc les armatures transversales ne sont pas nécessaires.

c. Vérification à l’E.L.S
c. 1. Vérification des contraintes du béton
- Position de l’axe neutre
b
y ²  nAs' ( y  c' )  nAs (d  y )  0
2
- Moment d’inertie
b 3
y  nAs' ( y  c' )²  nAs (d  y )²
3
Avec :
n=15 ; d=22,50cm ; b=100cm ; A s' =0
Nous devons vérifier que:
M
 bc ser y   bc  0,6 f c 28  15MPa
I
I
84
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
Tous les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous
Mser(KNm)
As(cm²)
Y(cm)
I(cm4)
 bc (MPa)
 bc   bc
10,48
29,69
5,65
7,92
7,08
8,59
32000,33
44129,43
2,32
5,78
Vérifiée
Travée
Appui
Tableau III.17. Vérification à l’E.L.S
c. 2. Vérification de la flèche
Il n’est pas nécessaire de calculer la flèche si les inégalités suivantes sont satisfaites :
h 1
 
 L 16
 As 4,2
 
fe
 bd
h
Mt
 
 L 10 M 0
 15
 360  0,0416  0,0625 vérifiée

 5,65
 0,0025  0,0105 vérifiée
 
100

22
,
50


1
 0,1 non vérifiée
0,0416 
10

Deux conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calculer la flèche
Flèche totale : f T  f v  f i  f [1].

M ser L2
f

 i 10 E I
i fi


M ser L2
Avec :  f v 
10 Ev I fv


L
f 
500


L=3,60<5m
Moment d’inertie de la section homogène I0
2
bh 3
h

h

I0 
 15 As   d   15 As   d  
12
2

2

11
, I0

 I fi  1   
i

I  I0
 fv 1  v 
2
Moment d’inertie fictif.
85
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
0,05 f t 28

i  
3b 
2  0 

b 


Avec 
  0,02 f t 28
 v
3b 

2  0 

b 


;

As
  b d
0


1,75 f t 28
  1 
4 s  f t 28


M ser
 s 
As d

Ei=32164,20MPa ; Ev=10721,40MPa
Les résultats sont récapitulés dans ce tableau :
s
Mser
(KNm)
As
(cm2)

10,48
5,65
0,0028
(MPa)
82,44
i
v
µ
I0
(cm4)
Ifi
(cm4)
Ifv
(cm4)
7,98
3,19
0,21
47193,75
17637,24
28261,42
Tableau III.18. Vérification de la flèche de l’escalier Type "II"
Donc :
f i  0,23cm 
  fT  f v  f i  0,22cm
f v  0,45cm
L
360
f 

 0,72cm
500 500
 fT  0,22cm  f  0,72cm.................vérifiée
Figure III.11. Ferraillage de l’escalier Type "II"
86
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
III.5. Balcons
III.5.1. Introduction
Notre ouvrage comporte un seul type de balcon qui repose sur quatre appuis, il se calcule
comme une dalle pleine.
Epaisseur de balcon
e=15cm. (Déjà définit dans le chapitre II)
III.5.2. Combinaison des charges
G=5,55kN/m2, Q=3,50kN/m2
Déjà définit dans le chapitre II.
ELU
qu=1,35G+1,5Q=12,74kN/m2
ELS
qser=G+Q=9,05kN/m2
L
1,85
 x 
 0,57  0,4  La dalle travaille dans les deux sens.
Ly 3,25
III.5.3. Calcul des moments


Dans le sens de la petite portée : M x   x qu L2x
Dans le sens de la grande portée : M y   y M x
Les coefficients μx et μy sont fonction de  
Lx
et de ν.
Ly
0
à l ' ELU
ν: Coefficient de poisson 
0,2
à l ' ELS
μx et μy sont donnés par l’abaque de calcul des dalles rectangulaire [1].
 x  0,0865
  0,57  
 y  0,2582
M x   x qu L2x  3,77kNm
M y   y M x  0,97kNm

Moments en travées
Mtx=0,75Mx=2,83kNm
Mty=0,75My=0,73kNm
87
Chapitre III

Calcul des éléments secondaires
Moments sur appuis
Max=May=0,5Mx=1,88kNm
III.5.4. Ferraillage du balcon
b=100cm ; h=15cm ; d=0,9h=13,50cm ; fe=400MPa ; fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa ; σs=348MPa
Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant :
Sens
Travée
Appuis
x-x
y-y
x-x
y-y
Mu
(kNm)
2,83
0,73
0,011
0,003
1,88
0,007
µ
As’
(cm2)
0
α
Z(cm)
0,014
0,004
13,42
12,48
Ascal
(cm2)
0,61
0,17
0,010
13,45
0,40
Choix
Asadp
(cm2)
Esp
(cm)
5T10
3,93
20
Tableau III.19. Ferraillage du balcon
Espacement

Travée
100
 20cm  Min 3h;33cm   33cm................Vérifiée
5
100
 20cm  Min 4h;45cm   45cm................Vérifiée
Sens y-y, esp 
5
Sens x-x, esp 

Appuis
100
 20cm  Min 3h;33cm   33cm................Vérifiée
5
100
 20cm  Min 4h;45cm   45cm................Vérifiée
Sens y-y, esp 
5
Sens x-x, esp 
III.5.5. Condition de non fragilité
On a : 12cm  e  30cm
h=e=15cm ; b=100cm
3    bh  1,46cm 2

 Ax   0
2

 Ay   0 bh  1,2cm 2

  0  0,8 0 00 pour les barres à haute adhérence

Avec : 
Lx
   L  0,57
y

88
Chapitre III

Calcul des éléments secondaires
Travée
Sens x-x, Ax  0,61cm 2  Asmin  1,46cm 2 ...............Non Vérifiée
100
 25cm
Nous prenons : 4T 8  2,01cm 2  esp 
4
Sens y-y, Ay  0,17cm 2  Asmin  1,82cm 2 ...............Non Vérifiée
Nous prenons : 4T 8  2,01cm 2  esp 

100
 25cm
4
Appuis
Sens x-x, Ax  0,40cm 2  Asmin  1,82cm 2 ...............Non Vérifiée
100
 25cm
Nous prenons : 4T 8  2,01cm 2  esp 
4
Sens y-y, Ay  0,40cm 2  Asmin  1,82cm 2 ...............Non Vérifiée
Nous prenons : 4T 8  2,01cm 2  esp 
100
 25cm
4
III.5.6. Calcul des armatures transversales
Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci dessous est
vérifiée :
Tumax
u 
  u  0,05 f c 28  1,25MPa
bd
qu L x L y
12,74 x1,85 x3,25
Tx 

 11,02kN
2 Lx  L y
2 x1,85  3,25
Ty 
Tumax
qu L x
 7,85kN
3
 Max Tx ; Ty   11,02kN
11,02.103
u 
 0,061MPa   u  1,25MPa..................Vérifiée
1000 x180
III.5.7. Vérification à l’ELS
a. Evaluation des sollicitations à l’ELS
 x  0,0910
Lx
 0,57  
Ly
 y  0,4357
M  0,85M x  2,40kNm
M x   x q ser L2x  2,82kNm  tx
 M ty  0,85M y  1,05kNm

M y   y M x  1,23kNm

M a  0,3M x  0,85kNm
89
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
b. Vérification des contraintes

Béton
M
 b  ser y   bc  0,6 f c 28  15MPa
I

Acier
M
 s   ser d  y    s
I
La fissuration est considérée comme préjudiciable.
 s  15
M ser
d  y    s  Min  2 f e ; max  f e ;110 Ftj   201,63MPa
I
3
2

Avec :
η=1,6 pour HA ; fe=400MPa
5- Détermination de la valeur de « y »
b 2
y  nAs  y  c   nAs d  y   0
2
avec : n  15
6- Moment d’inertie
by 3
2
2
I
 nAs d  c   nAs d  y 
3
Les résultats trouvés en travée et sur appui dans les deux sens sont regroupés dans le tableau
suivant :
(x-x)
(y-y)
Appuis
Travée
Mser(kNm)
As(cm2)
Y(cm)
I(cm4)
σbc(MPa)
2,40
1,05
0,85
2,01
2,01
2,01
2,57
2,46
2,57
4167,69
3535,40
4167,69
1,48
0,73
0,52
 bc   bc
σs(MPa)
vérifiée
94,41
44,73
33,44
s s
vérifiée
Tableau III.20. Vérification des contraintes à l’ELS
90
Chapitre III
Calcul des éléments secondaires
c. Vérification de la flèche
Il n’est pas nécessaire de faire la vérification de la flèche, si les trois conditions
citées ci dessous sont vérifiées simultanément : [3]
Mt 
h
1


Lx 20M x 
0,081  0,037...................vérifiée
h
1 1 
2

à   0,081  0,028à0,037.........vérifiée
Lx 27 35  
3
3
 1,49.10  5.10 .............vérifiée
A
2
3


bd
fe

Les trois conditions sont vérifiées, donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire.
Figure III.12. Ferraillage du balcon
91