Exercice : étude d`une fonction avec une racine

Exercice : étude d’une fonction avec une racine
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Exercice : étude d’une fonction avec une racine
√
Soit f la fonction définie sur ] − ∞; −4] ∪ [0; +∞[ par f (x) = 1 + x + x2 + 4x
Etudier cette fonction : dérivée, sens de variation, limites, asymptotes
1. Dérivée à droite en 0.
√
Il est nécessaire de distinguer ce cas car la formule ( u)0 n’est pas applicable
puisque u s’annule (ce qui ne signifie pas forcément que f n’est pas dérivable).
On calcule le taux d’accroissement
et sa limite :
√
f (x) − f (0)
x + x2 + 4x
t(x) =
=
.
x−0
x
0
Losque x tend vers 0, on aboutit à une forme «
», comme il faut toujours s’y
0
attendre avec un taux d’accroissement.
On met en facteur les zéros qui posent des problèmes.
s √
4
.
Pour cela : x2 + 4 = x2 1 +
x
Puis « on sort x » de la racine, en utilisant les propriétés :
√
√ √
Pour
a et b positifs, ab = a b
√
x2 = |x|
r
√
4
Donc, pour x > 0, x2 + 4 = x 1 +
x
r
4
Donc t(x) = 1 + 1 + . Donc lim t(x) = +∞.
x→0
x
x>0
Ce n’est pas un réel, donc f n’est pas dérivable à droite en 0 .
2. Dérivée à gauche en −4.
On calcule le taux d’accroissement
√ et sa limite :
f (x) − f (−4)
x + 4 + x2 + 4x
=
.
t(x) =
x − (−4)
x+4
0
Losque x tend vers −4, on aboutit à une forme « », comme il faut toujours s’y
0
attendre avec un taux d’accroissement.
On met en facteur les zéros qui posent des problèmes. Ici il s’agit de x + 4.
p
√
Pour cela : x2 + 4x = (x + 4)x
Puis on isole x + 4, en utilisant la propriété :
√
√ √
Pour a et b négatifs, ab = −a −b
√
√
√
Donc, pour x < −4, x2 + 4 = −x − 4 −x
On simplifie ensuite en appliquant la propriété :
√
−a
1
= −√
Pour a < 0,
a
−a
√
−x
Donc t(x) = 1 − √
. Donc lim t(x) = −∞.
x→−4
−x − 4
x<−4
Ce n’est pas un réel, donc f n’est pas dérivable à gauche en −4 .
3. Dérivée sur ] − ∞; −4[∪]0; +∞[
√
u0
2x + 4
(car ( u)0 = √ )
f 0 (x) = 1 + √
2 u
2 x2 + 4x
√
x2 + 4x + x + 2
√
f 0 (x) =
(pour l’étude du signe, il vaut mieux rassembler).
x2 + 4x
4. Sens de variation
√
La dérivée est du signe du numérateur. Quand a-t-on x2 + 4x + x + 2 > 0 ?
√
C’est-à-dire : quand a-t-on x2 + 4x > −x − 2 ?
√
Pour résoudre a > b, on raisonne en deux √
cas :
– Si b < 0, la relation est forcément vraie : a > 0 > b
– Si b > 0, la relation est équivalente à celle qu’on obtient en élevant au carré (car
les deux membres sont positifs) : a > b2
Donc ici :
– Si x > −2, alors −x − 2 < 0.
La relation est forcément vraie, donc f 0 (x) > 0.
– Si x < −2, alors −x − 2 > 0.
La relation est équivalente à : x2 + 4x > (−x − 2)2 , soit x2 + 4x > x2 + 4x + 4,
ce qui est toujours faux. Donc f 0 (x) < 0.
Conclusion :
f est décroissante sur ] − ∞; −4[ et croissante sur ]0; +∞[
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y = 2x + 3
5. Limite en +∞
lim 1 + x +
x→+∞
p
x2 + 4x = +∞ (pas d’indétermination)
6. Limite en −∞
On aboutit à une forme indéterminée « −∞ + ∞ »
On utilise la forme conjuguée :
f (x) =
(x + 1)2 − (x2 + 4x)
−2x + 4
√
√
=
.
x + 4 − x2 + 4x
x + 4 − x2 + 4x
On aboutit à une forme indéterminée «
+∞
».
−∞
•
On met les termes dominants en facteur, puis on simplifie par x :
−2 + x4
q
f (x) = · · · =
1 + x4 + 1 +
−4
O
4
x
Pour simplifier, on a utilisé : Pour x < 0,
√
−1
x2 = −x
La nouvelle forme n’est plus indéterminée, et on trouve
lim f (x) = −1
x→−∞
•
7. Asymptote en +∞ : démonter que la droite d’équation y = 2x + 3 est asymptote
√
f (x) − (2x + 3) = −x − 2 + x2 + 4x
On aboutit à une forme indéterminée « −∞ + ∞ »
On utilise la forme conjuguée :
f (x) − (2x + 3) = · · · =
4
√
.
−x − 2 − x2 + 4x
Ce n’est plus une forme indéterminée, et la limite est bien 0 (forme «
Donc
1
4
»).
−∞
la droite d’équation y = 2x + 3 est asymptote en +∞ .
8. Asymptote en −∞
Puisque la limite est −1, il y a une asymptote d’équation y = −1 en −∞
Remarque : les tangentes en −4 et 0 sont verticales (x = −4 et x = 0), ce qui correspond
aux limites infinies trouvées pour les taux d’accroissement (mais attention, il n’y a pas
d’asymptotes, f est bien définie en ces points).