2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths) Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Mercredi 23 Avril 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1- 2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths) J’aimais et j’aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n’admettant pas l’hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d’aversion. Stendhal Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -2- 2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths) Table des matières 1 Définition 4 2 Décomposition des entiers en produits de facteurs premiers 5 3 Petit théorème de Fermat 6 4 Applications 4.1 Le codage RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -3- Les nombres premiers 2007 – 2008 1 Classe de Terminale S (Option Maths) Définition Définition 1 : On dit qu’un nombre entier naturel st premier s’il admet exactement deux diviseurs entiers naturels distincts : 1 et lui même. Notation : Dans la suite de ce cours, on note P l’ensemble des nombres premiers. Théorème 1 : Tout entier naturel n distinct de 1 admet au moins un diviseur premier. Démonstration : • Si n = 0 alors le théorème est vrai car 2 divise 0. • On note n un entier naturel ≥ 2 et Dn = {p ∈ N, p 6= 1 tel que p|n} n ∈ Dn donc Dn n’est pas vide. Dn admet un plus petit élément que l’on note p1 . Démontrons que p1 est premier. On note d un diviseur entier naturel 6= 1 de p1 . Il en existe au moins un p1 lui même. On a donc d|p1 et p1 |n donc d|n or p1 est le plus petit diviseur de n donc d ≥ p1 De plus comme d|p1 alors d ≤ p1 D’après les deux remarques précédentes, d = p1 . p1 admet donc d et 1 comme seul diviseur donc p1 ∈ P Théorème 2 : L’ensemble P est un ensemble infini. Démonstration : Démontrons ce théorème par l’absurde. On suppose que P est un ensemble fini et on note P = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn }. n Y Soit d = pi + 1 i=1 d n’est pas premier car il est plus grand que tous les pi pour i ∈ [|1, .., n|] Il a donc un diviseur premier m d’après le théorème précédent. m est dans l’ensemble P = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn }. n Y Comme m ∈ {p1 , p2 , p3 , . . . , pn } alors m divise d et m divise pi donc m divise 1. Ce qui est i=1 absurde. Donc l’ensemble des nombres premiers est infini. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -4- 2007 – 2008 2 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths) Décomposition des entiers en produits de facteurs premiers Théorème 3 : Tout entier naturel non nul m distincts de 1 se décompose de façon uniqe sous la forme : (1) m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn avec pi des nombres premiers tels que 0 < p1 < p2 < . . . < pn et αi ∈ N∗ Démonstration : . Existence de la décomposition : Récurrence sur m ≥ 2 : On note Pm la propriété : Tout entier naturel k ( 2 ≤ k ≤ m) admet une décomposition de la forme (1). Initialisation : P2 est vraie car 2 = 21 . Hérédité : On suppose que Pm est vraie : 1. Si m + 1 ∈ P alors m + 1 = (m + 1)1 donc Pm+1 est vraie. 2. Si m + 1 6∈ P : D’après le théorème 1 m + 1 admet un diviseur premier p et m + 1 = pq avec q ∈ N et 2≤q≤m On a q 6= 0 car m + 1 6= 0 et q 6= 1 car m + 1 6∈ P . On applique alors l’hypothèse de récurrence sur q et donc Pm+1 est vraie. Conclusion : Tout entier naturel non nul m distincts de 1 se décompose sous la forme : m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn avec pi des nombres premiers tels que 0 < p1 < p2 < . . . < pn et αi ∈ N∗ . Démontrons maintenant l’unicité d’une telle décomposition : Les seuls nombres premiers divisant m d’après le théorème de Gauss, sont p1 , 2 . . ., pn . Pour tout i ∈ [|1; n|], pαi i divise m mais pαi i +1 ne divise pas m. En effet, si pαi i +1 divise m alors il existe q ∈ N tel que m = pαi i +1 × q et en simplifiant on aurait : pα1 1 × pα2 2 × pα2 i . . . × pα2 i +2 × pαnn = p1i × q et donc pi = p1 ou pi = p2 . . . ou pi = pn ce qui n’est pas le cas. Donc les αi sont les exposants des plus grande puissances de pi , divisant m. Donc la décomposition est unique car nous n’avons pas le choix des pi et des αi . Proposition 1 : On note m un entier dont la décomposition en facteurs premiers est m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn Les diviseurs (positifs)de m sont les entiers de la forme : pβ1 1 × pβ2 2 × . . . ×pβnn avec pour tout i ∈ [|1; n|], 0 ≤ βi ≤ αi Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -5- Les nombres premiers 2007 – 2008 Classe de Terminale S (Option Maths) Théorème 4 : Tout entier naturel n ≥ 2 non premier admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ √ n Démonstration : On note n un entier naturel ≥ 2 et n 6∈ P . On note p1 le plus petit des diviseurs premiers de n. alors il existe k ∈ N tel que n = p1 × k avec k ≤ p1 On a donc n = p1 ×√k ≥ p21 Or la √ fonction x 7→ x est strictement croissante sur R+ donc n ≤ p1 . 3 Petit théorème de Fermat Théorème 5 : Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p. Alors ap−1 − 1 est divisible par p ap−1 ≡ 1 [p] Démonstration : 1. Expliquez pourquoi p ne divise aucun de la suite a, 2a, . . ., (p − 1)a. 2. Démontrer par l’absurde, que le reste des divisions de a, 2a, . . ., (p − 1)a par p sont tous différents. 3. En déduire les restes possibles de la division de a, 2a, . . ., (p − 1)a par p. 4. En déduire que ap−1 × 1 × 2 × 3 . . . (p − 1) ≡ 1 × 2 × 3 . . . (p − 1) [p] 5. En déduire que ap−1 ≡ 1 [p] Corollaire : Si p est un nombre premier et a un entier quelconque Alors ap − a est divisible par p ap ≡ a [p] Démonstration : A faire ... Propriété 1 : Si p est un nombre premier et a un entier, alors p divise a ou p et a sont premiers entre eux Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -6- Les nombres premiers 2007 – 2008 Classe de Terminale S (Option Maths) Démonstration : A faire ... Propriété 2 : Si p est un nombre premier et a et b deux entiers, alors Si p divise ab Alors p divise a ou p divise b. Démonstration : A faire ... 4 4.1 Applications Le codage RSA Voir prochain DM Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -7-