Cours d’Électromagnétisme Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique I. Les propriétés de symétrie du champ électrostatique : 1. Principe de Curie : La symétrie des causes se retrouve dans les effets produits. 2. Les Invariances d’une distribution de charge : Si une distribution est invariante par translation le long de la direction 𝑂𝑥, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝑥 : 𝑬 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑬 𝒚, 𝒛 De même si distribution est invariante par translation suivant 𝒚 et 𝒛 (et 𝒓 en coordonnées cylindrique ou sphérique) Si une distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜽, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝜽 : 𝑬 𝒓, 𝜽, 𝝋 = 𝑬 𝒓, 𝝋 De même si distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜑 en coordonnées sphérique. 3. Les symétries du champ électrostatique : Le champ électrostatique est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire (plan d’antisymétrie). Le champ électrostatique est parallèle à un plan de symétrie paire (plan de symétrie). 2 Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique II. Formulation locale du théorème de Gauss : 1. Forme intégrale : Le théorème de Gauss sous sa forme intégrale est donné par : 𝑺 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑬. 𝒅𝑺 = 𝜺𝟎 2. Forme locale : La charge totale contenue dans une surface 𝑺 est donnée par : 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆. 𝒅𝒗 𝑽(𝑺) Avec 𝝆 est la densité volumique de charges et 𝒅𝝂 un élément de volume contenu dans 𝑺. Le théorème de Gauss s’écrit : 𝑺 𝟏 𝑬. 𝒅𝑺 = 𝜺𝟎 𝝆. 𝒅𝒗 𝑽(𝑺) En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient : 𝑬. 𝒅𝑺 = 𝑺 𝟏 𝐝𝐢𝐯𝑬. 𝒅𝒗 = 𝜺𝟎 𝑽(𝑺) 𝝆. 𝒅𝒗 𝑽(𝑺) ⟺ 𝝆 𝐝𝐢𝐯𝑬 = 𝜺𝟎 3 Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique III.Circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé : 1. La forme intégrale : La circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé 𝐶 est conservative : 𝑬. 𝒅𝓵 = 𝟎 𝑪 2. La forme locale : En utilisant le théorème de Stokes, on obtient la forme locale de la circulation du champ électrostatique : 𝑬. 𝒅𝓵 = 𝑪 𝒓𝒐𝒕𝑬. 𝒅𝑺 = 𝟎 ⟹ 𝒓𝒐𝒕𝑬 = 𝟎 𝑺(𝑪) D’après cette formule, il existe une potentiel scalaire 𝑉 tel que : 𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽 III. Équation locale de poisson : En combinaison les deux relations suivante : 𝝆 𝐝𝐢𝐯𝑬 = 𝜺𝟎 On obtient l’équation de poisson : 𝝆 ∆𝑽 + = 𝟎 𝜺𝟎 ; 𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽 Dans le vide 𝜌 = 0, on obtient l’équation de Laplace : ∆𝑽 = 𝟎 4 Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique I. Les propriétés de symétrie du champ magnétique : 1. Les Invariances d’une distribution de courant : Si une distribution est invariante par translation le long de la direction 𝑂𝑥, le champ magnétique ne dépend pas de 𝑥 : 𝑩 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑩 𝒚, 𝒛 De même si distribution est invariante par translation suivant 𝑦 et 𝑧 (et 𝑟 en coordonnées cylindrique ou sphérique). Si une distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜃, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝜃 : 𝑩 𝒓, 𝜽, 𝝋 = 𝑩 𝒓, 𝝋 De même si distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜑 en coordonnées sphérique. 2. Les symétries du champ magnétique : Le champ magnétique est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire (plan d’antisymétrie). Le champ électrostatique est parallèle à un plan de symétrie paire (plan de symétrie). 5 Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique II. Formulation locale du théorème d’Ampère : 1. La forme intégrale : La circulation du champ magnétostatique le long d’un contour fermé 𝐶 est égale au produit de 𝜇𝟎 par l’intensité enlacée par le contour 𝐶 : 𝑩. 𝒅𝓵 = 𝜇𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒍𝒂𝒄é𝒆 𝑪 2. La forme locale : Considérons une distribution de courant caractérisée par une densité volumique de courant 𝒋. Choisissons un contour fermé orienté 𝐶 pour appliquer le théorème d’Ampère : 𝑩. 𝒅𝓵 = 𝜇𝟎 𝑪 𝒋. 𝒅𝑺 𝑺(𝑪) En utilisant la relation de Stocks, on obtient : 𝑩. 𝒅𝓵 = 𝑪 𝒓𝒐𝒕𝑩 = 𝜇𝟎 𝑺(𝑪) 𝒋. 𝒅𝑺 ⟹ 𝒓𝒐𝒕𝑩 = 𝜇𝟎 𝒋 𝑺(𝑪) 6 Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique Champ électrostatique Champ magnétique III.Flux du champ magnétique le long d’une surface fermé : IV. Équation locale de poisson : D’après les deux relations suivante : 1. La forme intégrale : Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée 𝑆 𝐫𝐨𝐭𝑨 = 𝑩 ; 𝐫𝐨𝐭𝑩 = 𝜇𝟎 𝒋 Avec la condition de Jauge Colomb : est conservative : 𝐝𝐢𝐯 𝑨 = 𝟎 On en déduit l’équation de poisson : 𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎 ∆𝑨 + 𝝁𝟎 𝒋 = 𝟎 𝑺 2. La forme locale : D’après le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient : 𝑩. 𝐝𝑺 = 𝐝𝐢𝐯𝑩. 𝐝𝒗 = 𝟎 ⟹ 𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎 𝑺 D’après cette relation, il existe une potentiel vecteur 𝑨 tel que : 𝐫𝐨𝐭𝑨 = 𝑩 7 Les équations de Maxwell I. Les équations de Maxwell en régime permanent Le champ électrique 𝑬 est à circulation conservative : 𝑬. 𝐝𝓵 = 𝟎 ⟺ 𝐫𝐨𝐭𝑬 = 𝟎 𝓒 Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est donné par : 𝑬. 𝐝𝑺 = 𝑺 𝝉 𝝆 𝒅𝝉 = 𝜺𝟎 𝐝𝐢𝐯𝑬𝒅𝝉 ⟺ 𝝆 𝐝𝐢𝐯𝑬 = 𝜺𝟎 Le champ magnétique 𝑩 crée par une distribution de courants de densité 𝒋 est à flux conservatif. 𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎 ⟺ 𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎 𝑺 La circulation du champ électrique 𝑩 à travers un contour fermé : 𝑩. 𝐝𝓵 = 𝓒 𝐫𝐨𝐭𝑩. 𝐝𝑺 = 𝝁𝟎 𝑺 𝒋. 𝐝𝑺 ⟺ 𝐫𝐨𝐭𝑩 = 𝝁𝟎 𝒋 𝑺 Où 𝓒 est un contour fermé quelconque orienté, 𝑺 est une surface fermée quelconque orientée vers l’extérieur et 𝝉 est le volume intérieur à 𝑺. 8 Les équations de Maxwell II. Les équations de Maxwell en régime variable 1. Conservation de la charge électrique Considérons une surface fermée et fixe 𝓢 contenant un volume 𝓥 de charges électriques. La charge électrique totale contenue dans ce volume à l’instant 𝒕 est : 𝑸 𝒕 = 𝝆(𝑴, 𝒕)𝒅𝝉 𝓥 A l’instant 𝒕 + 𝒅𝒕, elle est : 𝑸 𝒕 + 𝒅𝒕 = 𝝆(𝑴, 𝒕 + 𝒅𝒕)𝒅𝝉 𝓥 La variation de cette charge électrique est : 𝒅𝑸 = 𝑸 𝒕 + 𝒅𝒕 − 𝑸 𝒕 = 𝒅𝒕 𝝆 𝑴, 𝒕 + 𝒅𝒕 − 𝝆(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 = 𝓥 𝓥 𝝏𝝆(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 𝝏𝒕 À l’intérieur du volume 𝓥 il n’y a pas de création spontanée de charge électrique. La variation de charge ne peut être qu’à un transfert à travers la surface 𝓢 limitant le volume 𝓥. Entre les instants 𝑡et 𝑡 + d𝑡, la charge sortant de ce volume est, par définition le flux du vecteur densité de courant électrique : 𝐝𝑸𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕 = 𝒅𝒕 𝒋. 𝐝𝑺 𝓢 9 Les équations de Maxwell II. Les équations de Maxwell en régime variable 1. Conservation de la charge électrique La conservation de la charge électrique du volume 𝒱 s’écrit : 𝒅𝑸 = −𝐝𝑸𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕 ⟺ 𝓥 𝝏𝝆 𝑴, 𝒕 𝒅𝝉 . 𝐝𝐭 = − 𝝏𝒕 𝒋. 𝐝𝑺 . 𝐝𝒕 𝓢 soit en simplifiant par 𝐝𝒕 : 𝓥 𝝏𝝆(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 + 𝝏𝒕 𝒋(𝑴, 𝒕). 𝐝𝑺 = 𝟎 𝓢 En utilisant le théorème d’Ostrogradski, on obtient : 𝓥 𝝏𝝆(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 + 𝝏𝒕 𝐝𝐢𝐯 𝒋(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 = 𝟎 ⟺ 𝓥 𝓥 𝝏𝝆(𝑴, 𝒕) + 𝐝𝐢𝐯 𝒋(𝑴, 𝒕) 𝝏𝒕 𝒅𝝉 = 𝟎 En en déduit l’équation de conservation de charge électrique : 𝝏𝝆 𝑴, 𝒕 + 𝐝𝐢𝐯 𝒋 𝑴, 𝒕 𝝏𝒕 =𝟎 10 Les équations de Maxwell II. Les équations de Maxwell en régime variable 2. Équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-flux Maxwell-Gauss : On admet que l’équation de Maxwell-Gauss : 𝝆 𝐝𝐢𝐯𝑬 = 𝜺𝟎 ⟺ 𝑬. 𝐝𝑺 = 𝑺 𝝉 𝝆 𝒅𝝉 𝜺𝟎 Les lignes du champ peuvent diverger à partir de source ponctuelles appelées charges électrique (monopoles électrique). Cette équation traduit que le théorème de Gauss, se généralise au cas des régimes variables. Maxwell-flux : Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est obtenue en écrivant : 𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎 ⟺ 𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎 𝑺 Cette équation exprime que le flux du champ magnétique est conservatif. Les lignes de champ𝐵 ne peuvent pad diverger à partir de source ponctuelles. Il n’existe pas de monopôles magnétiques. 11 Les équations de Maxwell II. Les équations de Maxwell en régime variable 3. Équation de Maxwell-Faraday D’après la loi de Faraday, on a : 𝒅𝜱 𝒆=− = 𝒅𝒕 𝑬𝒎 . 𝐝𝓵 ⟺ 𝓒 𝓒 𝒅 𝑬𝒎 . 𝐝𝓵 = − 𝒅𝒕 𝑩. 𝐝𝑺 𝑺 en utilisant le théorème de Stokes : 𝑬𝒎 . 𝐝𝓵 = 𝓒 𝑺 𝒅 𝒓𝒐𝒕𝑬𝒎 . 𝐝𝑺 = − 𝒅𝒕 𝑩. 𝐝𝑺 = − 𝑺 𝑺 𝝏𝑩 . 𝐝𝑺 𝝏𝒕 𝝏𝑩 𝒓𝒐𝒕𝑬𝒎 = − 𝝏𝒕 ⟺ De façon générale les charges électriques sont donc soumises à l’action d’un champ électrique 𝑬 qui est la somme du champ électrostatique 𝑬𝒆 et du champ électromoteur 𝑬𝒎 : 𝑬 = 𝑬𝒆 + 𝑬𝒎 Or en régime stationnaire (électrostatique) on a : 𝒓𝒐𝒕𝑬𝒆 = 𝟎, donc : 𝒓𝒐𝒕𝑬 = 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒆 + 𝑬𝒎 = 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒆 + 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒎 = 𝟎 + 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒎 ⟹ 𝝏𝑩 𝒓𝒐𝒕𝑬 = − 𝝏𝒕 ⟺ 𝓒 𝒅 𝑬. 𝐝𝓵 = − 𝒅𝒕 𝑩. 𝐝𝑺 𝑺 Cette équation exprime qu’un champ magnétique dépendant du temps donne naissance à un champ électrique à circulation non conservative. Cette équation rend compte du phénomène d’induction électromagnétique. 12 Les équations de Maxwell II. Les équations de Maxwell en régime variable 3. Équation de Maxwell-Faraday 13
